Ga naar inhoud

College 8: Samenstelling, isomorfismen, coördinaten, projectie en spiegeling, en de 2×2-determinant als oppervlakte

Dinsdag 13 oktober 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

  • Volgende keer: determinanten van \(n\times n\)-matrices en het uitproduct (3D). (108:44)

2. Samenvatting

Na een herhaling van lineaire afbeeldingen en hun matrix (kolommen = beelden van de standaardbasisvectoren) leidt de docent de rotatiematrix af en haalt daaruit de somformules voor sinus en cosinus. Samenstelling van lineaire afbeeldingen correspondeert met het matrixproduct en is weer lineair. Een isomorfisme is een lineaire afbeelding met kern \(\{0\}\) en beeld het hele codomein; zo'n afbeelding heeft een (lineaire) inverse. Met de afbeelding \(\varphi_B\) bij een rijtje vectoren worden onafhankelijkheid, opspannen en basis vertaald naar kern en beeld, en vind je coördinaten t.o.v. een basis via \(A^{-1}\); dat wordt gebruikt om de matrices van projectie en spiegeling in de lijn \(y=2x\) te bepalen. Tot slot blijkt \(|\det A|\) van een 2×2-matrix de oppervlakte van het parallellogram van de kolommen.

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling: lineaire afbeeldingen en hun matrix (04:49)

  • \(U\subseteq\mathbb{R}^n\), \(V\subseteq\mathbb{R}^m\) lineaire deelruimten; \(f:U\to V\) heeft domein \(U\) en codomein \(V\). Lineair betekent, voor alle \(x,y\in U\) en \(c\in\mathbb{R}\): (05:27)
\[f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(cy)=c\,f(y)\]
  • Gevolg: \(f(c_1x_1+\dots+c_kx_k)=c_1f(x_1)+\dots+c_kf(x_k)\). (06:24)
  • \(f(0)=0\); let op: links de nul van \(\mathbb{R}^n\), rechts de nul van \(\mathbb{R}^m\). (07:41)
  • Als \(U=\mathbb{R}^n\) en \(V=\mathbb{R}^m\): \(f=f_A\) (vermenigvuldigen met \(A\)), met \(A=\big(f(e_1)\ f(e_2)\ \cdots\ f(e_n)\big)\) [bord, gereconstrueerd] (09:27)
  • Reden: \(f_A(e_j)=Ae_j\) = \(j\)-de kolom = \(f(e_j)\). Gelijk op de \(e_j\) ⇒ gelijk op alle lineaire combinaties ⇒ gelijk op heel \(\mathbb{R}^n\). (10:04)
  • Het boek schrijft lineaire afbeeldingen als \(T\) in plaats van \(f\) (boek, §2.3).

Rotaties en de somformules (12:16)

  • \(R_\alpha:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\): rotatie over hoek \(\alpha\), altijd om de oorsprong (om een ander punt gaat \(0\) niet naar \(0\), dus niet lineair). (13:49)
  • Lineair: \(x+y\) is het vierde hoekpunt van het parallellogram van \(x\) en \(y\); roteren draait het hele parallellogram mee, dus \(R_\alpha(x+y)=R_\alpha(x)+R_\alpha(y)\). Figuur: parallellogram en zijn gedraaide beeld [bord, gereconstrueerd] (14:39)
  • \(R_\alpha(e_1)=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) en \(R_\alpha(e_2)=(-\sin\alpha,\cos\alpha)\) (rechthoekige driehoeken in de eenheidscirkel), dus \(A_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\) [bord, gereconstrueerd] (16:23)
  • Dezelfde matrix staat in het boek (rotatie tegen de klok in) (boek, §2.4).
  • Toepassing: \((\cos\varphi,\sin\varphi)\) over \(\alpha\) roteren geeft \((\cos(\alpha+\varphi),\sin(\alpha+\varphi))\). Uitrekenen met \(A_\alpha\) levert \(\cos(\alpha+\varphi)=\cos\alpha\cos\varphi-\sin\alpha\sin\varphi\) en \(\sin(\alpha+\varphi)=\sin\alpha\cos\varphi+\cos\alpha\sin\varphi\) [bord, gereconstrueerd] (19:36)
  • Speciaal geval \(\alpha=\varphi\): \(\cos2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\). (21:45)

Samenstelling (22:22)

  • \(f_B:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n\), \(f_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\): \((f_A\circ f_B)(x)=A(Bx)=(AB)x\), dus \(f_A\circ f_B=f_{AB}\). (25:05)
  • Volgorde: in \(f_A\circ f_B\) ("\(f_A\) na \(f_B\)") wordt eerst \(f_B\) toegepast, hoewel die rechts staat. (25:29)
  • Zonder matrices: \(g:W\to U\) en \(f:U\to V\) lineair ⇒ \(f\circ g:W\to V\) lineair. Optelling: \((f\circ g)(x+y)=f(g(x)+g(y))=f(g(x))+f(g(y))\); schaling zelf nagaan. (28:14)

Isomorfismen (30:15)

  • Lineaire \(f:U\to V\) is een isomorfisme als er voor elke \(v\in V\) precies één \(u\in U\) is met \(f(u)=v\). (31:08)
  • Equivalent: \(\operatorname{im}f=V\) én \(\ker f=\{0\}\), met \(\operatorname{im}f=\{f(u):u\in U\}\) en \(\ker f=\{u\in U:f(u)=0\}\) (zoals bij matrices). (32:38)
  • "Minstens één \(u\)" ⟺ \(\operatorname{im}f=V\) (het beeld ligt altijd in \(V\)). (34:10)
  • "Hooguit één" ⇒ \(\ker f=\{0\}\): neem \(v=0\); \(0\) zit altijd in de kern. (35:13)
  • Omgekeerd: \(f(u)=f(u')\) ⇒ \(f(u-u')=0\) ⇒ \(u-u'\in\ker f=\{0\}\) ⇒ \(u=u'\). (37:31)
  • Met andere woorden: injectief (one-to-one, hooguit één) én surjectief (onto, minstens één). (41:39)

Inverse afbeelding (39:25)

  • Voor een isomorfisme \(f:U\to V\): \(g:V\to U\), \(g(v)\) = de unieke \(u\) met \(f(u)=v\). Goed gedefinieerd, want zo'n \(u\) bestaat en is uniek. (40:15)
  • \(g\circ f=\mathrm{id}_U\) en \(f\circ g=\mathrm{id}_V\); notatie \(g=f^{-1}\). (45:56)
  • Voor inverteerbare \(A\): \(f_A\circ f_{A^{-1}}=f_I=\mathrm{id}\), dus \((f_A)^{-1}=f_{A^{-1}}\). (46:53)
  • \(f^{-1}\) is weer lineair (zelf nagaan). (48:09)
  • Voorbeeld: \(R_\alpha^{-1}=R_{-\alpha}\). Met \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\): \(\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}=I\) (diagonaal \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\), de rest valt weg) [bord, gereconstrueerd] (50:13)

Voorbeeld: inverse van een concrete afbeelding (51:45)

  • \(f(x,y)=(x+2y,\,-2x+y)\), dus \(f=f_A\) met \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}\) [bord, gereconstrueerd] (53:02)
  • 2×2-regel (alleen voor 2×2): \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) als \(ad-bc\neq0\) [bord, gereconstrueerd] (54:25)
  • \(\det A=1\cdot1-2\cdot(-2)=5\), dus \(A^{-1}=\tfrac15\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}\) en \(f^{-1}(x,y)=(\tfrac15x-\tfrac25y,\ \tfrac25x+\tfrac15y)\). (55:12)
  • Controle eerste coördinaat van \(f^{-1}(f(x,y))\): \(\tfrac15(x+2y)-\tfrac25(-2x+y)=x\); de rest zelf nagaan. (56:00)

De afbeelding \(\varphi_B\) (69:38)

  • \(B=(v_1,\dots,v_k)\) met \(v_i\in\mathbb{R}^n\) (vectoren, geen getallen). \(\varphi_B:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^n\), \((a_1,\dots,a_k)\mapsto a_1v_1+\dots+a_kv_k\). (70:03)
  • Lineair: coëfficiënten optellen geeft de som van de lineaire combinaties. (71:09)
  • \(\ker\varphi_B=\{0\}\) ⟺ \(v_1,\dots,v_k\) lineair onafhankelijk. (73:30)
  • Tussendoor: een matrix is een blok getallen, een lineaire afbeelding een functie. Elke lineaire \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) komt van een matrix, maar houd de begrippen gescheiden: later zijn er lineaire afbeeldingen zonder matrix, bijv. differentiëren op differentieerbare functies \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) (kern: de constante functies). Een spiegeling in een vlak in \(\mathbb{R}^3\) beschrijf je makkelijk zonder matrix. (74:29)
  • \(\operatorname{im}\varphi_B=\mathbb{R}^n\) ⟺ \(v_1,\dots,v_k\) spannen \(\mathbb{R}^n\) op. (77:20)
  • \(B\) basis van \(\mathbb{R}^n\) ⟺ \(\varphi_B\) isomorfisme; dan \(k=n\). (78:10)
  • Matrix van \(\varphi_B\): \(A=(v_1\ \cdots\ v_k)\), want \(\varphi_B(e_j)=v_j\). (79:56)
  • \(\varphi_B^{-1}(v)=v_B\), de coördinatenvector van \(v\) t.o.v. \(B\) (de unieke coëfficiënten met \(a_1v_1+\dots+a_nv_n=v\)). Dus \(v_B=A^{-1}v\). (81:42)

Voorbeeld: coördinaten t.o.v. een basis (82:32)

  • \(b_1=(1,2)\), \(b_2=(-2,1)\); \(b_1\cdot b_2=0\), dus loodrecht en geen veelvouden: \(B=(b_1,b_2)\) is een basis van \(\mathbb{R}^2\). (83:40)
  • \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}\), \(A^{-1}=\tfrac15\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}\) [bord, gereconstrueerd] (84:31)
  • Grotere inverses: veeg \([A\mid I]\) tot \([I\mid A^{-1}]\). (84:42)
  • \(\varphi_B^{-1}(x,y)=(\tfrac15x+\tfrac25y,\ -\tfrac25x+\tfrac15y)\). (85:28)
  • \(e_1=\tfrac15b_1-\tfrac25b_2\); controle: \(\tfrac15(1,2)-\tfrac25(-2,1)=(1,0)\). Evenzo \(e_2=\tfrac25b_1+\tfrac15b_2\) (zelf nagaan). (86:42)

Projectie op een lijn (88:25)

  • \(L\): \(y=2x\), opgespannen door \(b_1=(1,2)\). \(P_L(v)=\lambda b_1\) met \((v-\lambda b_1)\cdot b_1=0\). Figuur: \(v\), zijn loodrechte projectie op \(L\) en de verschilvector loodrecht op \(L\) [bord, gereconstrueerd] (90:38)
  • Hieruit \(\lambda=\frac{v\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}\), dus: (91:21)
\[P_L(v)=\frac{v\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}\,b_1\]
  • Lineair: \(b_1\) en \(b_1\cdot b_1\) zijn vast, en \(v\mapsto v\cdot b_1\) is lineair. (92:03)
  • Handige basis: \(P(b_1)=b_1\) (ligt op \(L\)), \(P(b_2)=0\) (loodrecht op \(L\)); beide volgen ook uit de formule. (94:05)
  • \(P(e_1)=\tfrac15P(b_1)-\tfrac25P(b_2)=\tfrac15b_1=(\tfrac15,\tfrac25)\) en \(P(e_2)=\tfrac25b_1=(\tfrac25,\tfrac45)\). (96:20)
  • Matrix \(\tfrac15\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) [bord, gereconstrueerd] (97:20)
  • Niet inverteerbaar: \(\ker P\) = alle veelvouden van \(b_2\); tweede kolom = 2 × eerste. (97:37)

Spiegeling in een lijn (98:22)

  • \(S_L\): \(S(b_1)=b_1\), \(S(b_2)=-b_2\). (98:57)
  • \(S(e_1)=\tfrac15b_1+\tfrac25b_2=(-\tfrac35,\tfrac45)\) en \(S(e_2)=\tfrac25b_1-\tfrac15b_2=(\tfrac45,\tfrac35)\), dus matrix \(\tfrac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}\) [bord, gereconstrueerd] (100:00)
  • Projectie: na één keer lig je op \(L\), dus \(P\circ P=P\) en \(A^2=A\) (zelf nagaan). (100:43)
  • Spiegeling: twee keer spiegelen geeft het origineel, dus \(A^2=I\) (zelf nagaan). (101:19)
  • De interpretatie geeft hier meer inzicht dan het rekenwerk: heen en weer gaan tussen afbeelding en matrix. (100:57)

2×2-determinant als oppervlakte (101:43)

  • Bewering: de kolommen \(u=(a,c)\) en \(w=(b,d)\) van \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) spannen een parallellogram op met oppervlakte \(|\det A|=|ad-bc|\) (boek, §4.1). (102:08)
  • Bewijs: neem \(n=(-c,a)\): even lang als \(u\) en loodrecht erop (\(u\cdot n=-ac+ca=0\)). Figuur: parallellogram met basis \(u\) en hoogte \(h\) in de richting van \(n\) [bord, gereconstrueerd] (104:33)
  • Oppervlakte \(=\|u\|\cdot h\) met \(h=\|P_n(w)\|=\frac{|w\cdot n|}{n\cdot n}\|n\|=\frac{|w\cdot n|}{\|n\|}=\frac{|w\cdot n|}{\|u\|}\), waarbij \(P_n\) de projectie op \(\operatorname{span}(n)\) is [bord, gereconstrueerd] (106:04)
  • Dus oppervlakte \(=|w\cdot n|=|-bc+da|=|ad-bc|\). (108:22)
  • In \(\mathbb{R}^3\) geldt iets soortgelijks (volume = absolute waarde van een 3×3-determinant); daarvoor eerst het uitproduct, volgende keer (boek, §4.1). (108:32)

4. Begrippen & definities

  • Lineaire afbeelding \(f:U\to V\): respecteert optellen en schaling; \(U\) = domein, \(V\) = codomein.
  • \(f_A\): de afbeelding \(x\mapsto Ax\).
  • Samenstelling \(f\circ g\): eerst \(g\), dan \(f\).
  • Beeld \(\operatorname{im}f\): \(\{f(u):u\in U\}\subseteq V\).
  • Kern \(\ker f\): \(\{u\in U:f(u)=0\}\).
  • Isomorfisme: lineaire \(f\) met voor elke \(v\) precies één \(u\) met \(f(u)=v\); ⟺ \(\operatorname{im}f=V\) en \(\ker f=\{0\}\).
  • Injectief / surjectief: hooguit één / minstens één origineel voor elke \(v\).
  • Inverse \(f^{-1}\): \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_U\), \(f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_V\).
  • \(\varphi_B\): \((a_1,\dots,a_k)\mapsto a_1v_1+\dots+a_kv_k\) voor \(B=(v_1,\dots,v_k)\).
  • Coördinatenvector \(v_B\): unieke coëfficiënten van \(v\) t.o.v. basis \(B\); \(v_B=\varphi_B^{-1}(v)\).
  • Projectie op lijn \(L=\operatorname{span}(b_1)\): \(P_L(v)=\frac{v\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}b_1\).
  • Spiegeling in lijn \(L\): vectoren op \(L\) vast, vectoren loodrecht op \(L\) naar hun tegengestelde.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

  • Matrix van een lineaire afbeelding \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\): beelden \(f(e_j)\) als kolommen. (09:27)
  • \(f(0)=0\), maar dat zijn twee verschillende nullen. (07:43)
  • Rotaties (lineair) alleen om de oorsprong. (13:54)
  • Volgorde bij samenstelling: in \(f\circ g\) eerst \(g\). (27:34)
  • Isomorfisme ⟺ \(\operatorname{im}f=V\) en \(\ker f=\{0\}\), inclusief het bewijs met \(u-u'\in\ker f\). (31:49)
  • 2×2-inverseformule (alleen voor 2×2; groter via vegen). (54:25)
  • Coördinaten t.o.v. een basis: \(v_B=A^{-1}v\), met de basisvectoren als kolommen van \(A\). (82:05)
  • Matrix van projectie of spiegeling bepalen via een handige basis (\(b_1\) op de lijn, \(b_2\) loodrecht erop). (93:59)
  • Lineaire afbeeldingen en matrices niet verwarren. (74:29)
  • Zelf nagaan (opgedragen): samenstelling respecteert schaling (29:57), inverse is lineair (48:09), \(A^2=A\) voor de projectie (100:43), \(A^2=I\) voor de spiegeling (101:19).

6. Oefenvragen

  1. Gebruik \(R_\alpha\circ R_\varphi=R_{\alpha+\varphi}\) en de rotatiematrices om de formule voor \(\sin(\alpha+\varphi)\) af te leiden. Welke rotatie wordt in \(R_\alpha\circ R_\varphi\) als eerste toegepast?
  2. Is \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y)=(x+2y,\,2x+4y)\) een isomorfisme? Bepaal kern en beeld.
  3. (a) Laat zien dat \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(g(x,y)=(x+2y,\,-x+y)\) een isomorfisme is, en bepaal \(g^{-1}\) met de 2×2-regel. (b) Bewijs dat de inverse van een isomorfisme \(f:U\to V\) lineair is.
  4. Bepaal de coördinatenvector \(v_B\) van \(v=(4,3)\) t.o.v. de basis \(B=(b_1,b_2)\) uit het college, met \(b_1=(1,2)\) en \(b_2=(-2,1)\), en controleer je antwoord.
  5. Bepaal met de methode uit het college de matrices van de projectie \(P\) op en de spiegeling \(S\) in de lijn \(y=x\), en controleer \(P^2=P\) en \(S^2=I\).
  6. Bereken de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door \(u=(3,1)\) en \(w=(1,2)\): eerst met \(|\det A|\), en dan zoals in het bewijs, met \(n=(-c,a)\) en de hoogte \(h\).
Antwoorden
  1. In \(R_\alpha\circ R_\varphi\) wordt eerst \(R_\varphi\) toegepast, dan \(R_\alpha\); hier maakt de volgorde niet uit, want beide volgordes geven een rotatie over \(\alpha+\varphi\). De matrix van \(R_\alpha\circ R_\varphi\) is \(A_\alpha A_\varphi\), dus \(A_\alpha A_\varphi=A_{\alpha+\varphi}\). Het (2,1)-element links is \(\sin\alpha\cos\varphi+\cos\alpha\sin\varphi\), rechts \(\sin(\alpha+\varphi)\). Het (1,1)-element geeft de cosinusformule.
  2. Nee. Er geldt \(f(x,y)=(x+2y)(1,2)\), dus \(f(x,y)=0\) precies als \(x+2y=0\), oftewel \(x=-2y\): \(\ker f=\operatorname{span}((-2,1))\neq\{0\}\). Het beeld bestaat uit de veelvouden van \((1,2)\), de lijn \(y=2x\) (tweede kolom = 2 × eerste).
  3. (a) \(g=f_A\) met \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}\) en \(\det A=1\cdot1-2\cdot(-1)=3\neq0\). Dus \(A\) is inverteerbaar: voor elke \(v\) is \(u=A^{-1}v\) de enige \(u\) met \(g(u)=v\), en \(g^{-1}=f_{A^{-1}}\) met \(A^{-1}=\tfrac13\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}\), oftewel \(g^{-1}(x,y)=(\tfrac13x-\tfrac23y,\ \tfrac13x+\tfrac13y)\). Controle eerste coördinaat van \(g^{-1}(g(x,y))\): \(\tfrac13(x+2y)-\tfrac23(-x+y)=x\). (b) Neem \(v,v'\in V\), \(c\in\mathbb{R}\) en zet \(u=f^{-1}(v)\), \(u'=f^{-1}(v')\), dus \(f(u)=v\) en \(f(u')=v'\). Dan \(f(u+u')=f(u)+f(u')=v+v'\); omdat \(f^{-1}(v+v')\) de unieke vector met beeld \(v+v'\) is, volgt \(f^{-1}(v+v')=u+u'=f^{-1}(v)+f^{-1}(v')\). Evenzo \(f(cu)=cf(u)=cv\), dus \(f^{-1}(cv)=cu=cf^{-1}(v)\).
  4. \(v_B=A^{-1}v\) met \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}\) en \(A^{-1}=\tfrac15\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}\), dus \(v_B=\tfrac15(4+6,\,-8+3)=(2,-1)\). Controle: \(2(1,2)-(-2,1)=(4,3)\).
  5. \(b_1=(1,1)\) ligt op de lijn, \(b_2=(-1,1)\) staat er loodrecht op; \(e_1=\tfrac12b_1-\tfrac12b_2\), \(e_2=\tfrac12b_1+\tfrac12b_2\). Projectie: \(P(b_1)=b_1\) en \(P(b_2)=0\), dus \(P(e_1)=P(e_2)=\tfrac12b_1=(\tfrac12,\tfrac12)\) en matrix \(\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\). Spiegeling: \(S(b_1)=b_1\) en \(S(b_2)=-b_2\), dus \(S(e_1)=\tfrac12b_1+\tfrac12b_2=(0,1)\) en \(S(e_2)=\tfrac12b_1-\tfrac12b_2=(1,0)\): matrix \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). Controle: \(\big(\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\big)^2=\tfrac14\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) en \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}^2=I\).
  6. \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}\), dus oppervlakte \(|\det A|=|3\cdot2-1\cdot1|=5\). Via het bewijs: \(n=(-1,3)\) staat loodrecht op \(u\) en \(\|n\|=\|u\|=\sqrt{10}\). Met \(w\cdot n=-1+6=5\) is \(h=\frac{|w\cdot n|}{\|n\|}=\frac{5}{\sqrt{10}}\), dus oppervlakte \(\|u\|\cdot h=\sqrt{10}\cdot\frac{5}{\sqrt{10}}=5\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

  • ~17:29: vraag uit de zaal onverstaanbaar.
  • ~22:12: de docent kondigt een tweede afleiding van de somformules aan, maar rondt die niet expliciet af (vermoedelijk via \(A_\alpha A_\varphi=A_{\alpha+\varphi}\), zie oefenvraag 1).
  • ~41:39–42:23: antwoorden op onverstaanbare vragen (injectief/surjectief; de kern bevat altijd \(0\)).
  • ~72:26–73:56: vragen en antwoorden van studenten niet hoorbaar.
  • ~74:29: de vraag (zijn lineaire afbeeldingen niet hetzelfde als matrices?) is alleen af te leiden uit 88:31.
  • ~84:17: de docent twijfelt of een eerdere matrix de min op een andere plek had; die van 53:02 is inderdaad de getransponeerde van deze.
  • ~95:51–96:12: rekenfout bij \(P(e_1)\) (\(P(b_2)\) niet als \(0\) genomen), na een opmerking uit de zaal gecorrigeerd; bord nakijken.
  • ~99:46–100:11: factor \(\tfrac15\) van de spiegelmatrix niet uitgesproken; die volgt uit \(S(e_1)\) en \(S(e_2)\). De docent noemt deze matrix ook \(A\) (rood krijt), net als de projectiematrix (zwart).
  • ~103:40–104:00: de docent gebruikt bij de kolommen o.a. de namen \(b_1,b_2\), die eerder de basisvectoren waren; welk element welke naam kreeg, is onzeker. Hier heten de kolommen daarom \(u\) en \(w\) en de loodrechte vector \(n\); in de opname hoor je andere namen.
  • ~106:04–107:14: de afleiding van de hoogte \(h\) is moeilijk te volgen (waar de normstrepen staan); controleer het bord.