Ga naar inhoud

College 5: Het fotoelektrisch effect, röntgenstraling, Comptonverstrooiing en paarproductie

Maandag 28 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

  • De speciale relativiteit is afgerond; vandaag begint de kwantummechanica, het onderzoeksgebied van de docent. (06:52)
  • De afleiding van de Comptonformule staat ook in het werkcollege en in het key experiment over Comptonverstrooiing op Brightspace, telkens via een iets andere route. Kun je hem in het college niet helemaal volgen, dan is dat niet erg. (79:20)
  • Lees op Brightspace het key experiment over Comptonverstrooiing: daar staat hoe het experiment is uitgevoerd. (110:41)

2. Samenvatting

Na een korte herhaling en een overzicht van de natuurkunde als kubus van natuurconstanten begint de kwantummechanica met vier experimenten die laten zien dat licht zich ook als deeltje gedraagt. Bij het fotoelektrisch effect hangt de remspanning niet af van de intensiteit maar lineair van de frequentie; Einstein verklaarde dit met lichtdeeltjes (fotonen) met energie \(E = hf\), wat \(eV_0 = hf - \phi\) geeft. Röntgenstraling heeft een minimale golflengte die door de versnelspanning wordt bepaald, en bij Comptonverstrooiing verandert de golflengte van licht dat op een elektron botst. Bij paarproductie maakt één foton vlak bij een atoomkern, die de impuls opneemt, een elektron en een positron; dat kost minstens \(2m_ec^2\). Het college sluit af met de afleiding van de Comptonformule via impuls- en energiebehoud, een eerste oefening voor de botsingen later in het vak.

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling en de kubus van de natuurkunde (05:34)

  • Het ruimtetijdinterval lijkt op een vectorlengte, maar met een min in plaats van een plus. Zo gedefinieerd is het Lorentz-invariant: een krachtige manier om natuurkunde in overeenstemming te brengen met het relativiteitsprincipe. (06:00)
  • \(E = \gamma mc^2\) uitschrijven met \(p = \gamma mv\) geeft \(E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\). (06:34)
  • Kubus (slide): op de assen de natuurconstanten \(G\), \(\hbar\) en \(1/c\), alsof je ze aan en uit kunt zetten (\(c\) oneindig betekent relativiteit 'uit', vandaar \(1/c\)). (07:22)
    • Alles uit: Newtoniaanse mechanica. \(1/c\) aan: speciale relativiteit. \(\hbar\) aan: kwantummechanica. \(G\) en \(1/c\) aan: algemene relativiteit (te moeilijk voor dit vak: tensoren). (07:40)
    • Alles aan (ons universum): kwantumzwaartekracht, de 'theory of everything'. Misschien het grootste open probleem van de natuurkunde, mede omdat er weinig plekken zijn waar alle drie de constanten een rol spelen. (08:40)
    • \(\hbar\) en \(G\) zonder speciale relativiteit: het hoekje waar het lab van de docent onderzoek doet. (09:37)
  • Van de vier klassiek onverklaarde experimenten (college 1) is de ether opgelost; vandaag volgt het fotoelektrisch effect. Samen met röntgenstraling, Comptonverstrooiing en paarproductie laat het zien dat licht zich ook als deeltje gedraagt, terwijl Youngs dubbelspleet liet zien dat het een golf is. (09:52)

Het fotoelektrisch effect (11:04)

  • Licht op een oppervlak, meestal een metaal (welk maakt weinig uit; lijstje op de slide), maakt soms elektronen vrij. Versnel je die naar een tweede metalen plaat, dan meet je ze als stroom. (11:49)
  • De elektronen zijn gebonden aan de ionen in het metaal. Om te ontsnappen moeten ze een bindingsenergie overwinnen, de uittree-energie (work function) \(\phi\); die energie komt van het licht. (12:37)
  • Figuur: licht met golflengte \(\lambda\) en een bepaalde intensiteit valt op een oppervlakje, waaruit een elektron wegvliegt. [bord, gereconstrueerd] (13:56)

Demonstratie: elektroscoop met rode en uv-lamp (14:47)

  • Elektroscoop: metalen plaatje met een wijzer die t.o.v. verticale staven draait. Gelijke ladingen stoten af, dus een geladen elektroscoop slaat uit; zo zie je of er elektronen van het plaatje verdwijnen. (16:41)
  • Opladen: vinger op het plaatje (aarde), geladen staaf erbij, vinger weg, staaf weg. Het teken van de staaf bepaalt of je een tekort of een overschot aan elektronen krijgt; voor deze demo een overschot. (17:46)
  • Verwachte uitkomst: een sterke rode lamp (veel infrarood) doet niets, een zwakke lamp dicht bij het ultraviolet ontlaadt het plaatje snel. Uv schiet dus makkelijk elektronen uit het materiaal. (19:49)
  • De demo mislukte: door de hoge luchtvochtigheid ontlaadde de elektroscoop vanzelf direct. (20:31)

Klassieke verwachting en de puzzel (21:19)

  • Licht als golf: het aantal uitgeschoten elektronen zou evenredig zijn met oppervlak × belichtingstijd × intensiteit. De energie van een golf zit in de intensiteit; de golflengte speelt geen rol. (21:25)
  • De demo spreekt dit tegen: de sterke rode lamp maakt geen elektronen vrij, de zwakke uv-lamp wel. De puzzel: waarom doet de golflengte ertoe? (22:04)

Meetopstelling en twee metingen (22:44)

  • Opstelling: belichte kathode en een anode met daartussen een spanning \(V_{AC}\), plus een stroommeter. Bij positieve \(V_{AC}\) worden de elektronen naar de anode versneld, bij negatieve afgestoten. [bord, gereconstrueerd] (23:02)
  • Meting 1: stroom \(i\) tegen \(V_{AC}\) bij intensiteit \(I\) en \(2I\) [bord, gereconstrueerd]. Klassiek verwacht: bij elke spanning twee keer zoveel stroom, en een grotere remspanning bij hogere intensiteit. Gemeten: dezelfde remspanning voor beide intensiteiten. Volgens het boek is de stroom bij grote \(V_{AC}\) wel twee keer zo groot (boek, §38.1); zie sectie 7. (25:04)
  • Remspanning (stopping potential) \(V_0\): de grootte van de tegenspanning waarbij de stroom nul wordt (\(V_{AC} = -V_0\), met \(V_0 > 0\)), omdat geen enkel elektron de anode dan nog haalt. De remspanning zegt dus iets over de maximale energie waarmee elektronen uit het materiaal komen: \(K_{max} = eV_0\) (boek, §38.1) (25:47)
  • Meting 2: \(V_0\) tegen de frequentie \(f\) van het licht (schaalt met \(1/\lambda\)), voor cesium en kalium [bord, gereconstrueerd]. Klassiek verwacht: geen afhankelijkheid van \(f\). Gemeten: lineair stijgend, met een eigen lijn per materiaal. (26:34)

Einsteins verklaring (28:08)

  • Einstein: een lichtdeeltje kan maximaal een energie \(hf\) aan een elektron overdragen, met \(h\) de Planckconstante. Na aftrek van de uittree-energie blijft de maximale kinetische energie over [bord, gereconstrueerd] (28:22)
\[eV_0 = hf - \phi\]
  • Een maximale energie per lichtdeeltje is een eerste hint dat licht zich ook als deeltje gedraagt. Einstein kreeg zijn enige Nobelprijs hiervoor, niet voor de relativiteitstheorie. (31:37)

Constanten en de elektronvolt (32:51)

  • Planckconstante \(h = 6{,}626\cdot10^{-34}\) J·s. Op het bord stond eerst \(1{,}05\cdot10^{-34}\) J·s; dat is de gereduceerde Planckconstante \(\hbar = h/2\pi\), die in de kwantummechanica het meest wordt gebruikt (gecorrigeerd na de pauze). [bord, gereconstrueerd] (61:16)
  • Elektronlading \(e = 1{,}6\cdot10^{-19}\) C. (34:33)
  • Elektronvolt: de energie van een elektron na versnelling over 1 V; \(1\) eV \(= 1{,}6\cdot10^{-19}\) J. Handig bij losse deeltjes, atomen en elektronen, waar je in joule steeds met getallen rond \(10^{-19}\) rekent. (36:23)

Het foton en de verklaring van de metingen (37:32)

  • Licht bestaat uit golven, maar ook uit deeltjes: fotonen (naam van later), met [bord, gereconstrueerd] (37:56)
\[E = hf = \frac{hc}{\lambda},\qquad p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}\]
  • Meting 2 verklaard: \(V_0\) is lineair in \(f\), met een lijn per materiaal. Trek je de lijn door naar \(f = 0\), dan snijdt die de as bij \(-\phi/e\) (delen door \(e\) om van joule naar volt te gaan). [bord, gereconstrueerd] (39:40)
\[V_0 = \frac{h}{e}\,f - \frac{\phi}{e}\]
  • De helling is \(h/e\); bij \(V_0 = 0\) ligt de drempelfrequentie \(f_0 = \phi/h\), waaronder geen elektronen vrijkomen (boek, §38.1)
  • Meting 1 verklaard: bij dezelfde golflengte is de maximale energie per elektron gelijk, welke intensiteit je ook kiest, dus \(V_0\) is gelijk. (40:34) Meer intensiteit betekent meer fotonen en dus meer elektronen (boek, §38.1)
  • Een foton beweegt met \(c\) en heeft dus geen massa. Met \(m = 0\) in \(E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\) volgt \(p = E/c\); de echte afleiding (via een viervector) valt buiten de stof, dus neem dit vanaf nu als waarheid aan. (41:45)
  • Orde van grootte: uittree-energieën zijn enkele eV, dus je hebt golflengtes rond 400 nm nodig: zichtbaar licht aan de uv-kant. Dat verklaart de demo (uv wel, infrarood niet). (42:47)

Röntgenstraling (61:34)

  • In zekere zin het omgekeerde: zet een hoge versnelspanning \(V_{AC}\) tussen twee platen en maak elektronen vrij uit de kathode (met wat licht, of door de plaat te verhitten). Ze knallen versneld op de anode, en bij een hoog genoeg voltage komt daar licht uit: röntgenstraling (x-rays). [bord, gereconstrueerd] (62:11)
  • Spectrum: intensiteit tegen golflengte, een continue verdeling, getekend voor 30 kV en 50 kV (elektronenergie 30 en 50 keV). Bij hogere spanning neemt de intensiteit toe en wordt de minimale golflengte \(\lambda_{min}\) korter. [bord, gereconstrueerd] (62:53)
  • Klassiek verwacht: alle golflengtes aanwezig, zonder voorkeur. Gemeten: een \(\lambda_{min}\) die afhangt van de versnelspanning. (64:29)
  • Verklaring: de kortste golflengte hoort bij het foton met de grootste energie, en dat is hooguit de energie die het elektron uit de versnelspanning kreeg [bord, gereconstrueerd] (boek, §38.2) (65:10)
\[eV_{AC} = hf_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}}\]
  • De precieze vorm van de verdeling valt buiten de stof. Een vergelijkbare vorm komt terug in het eerste college na het tussentijds tentamen: zwarte stralers, die bij lage energie (lange golflengte) uit zichzelf licht uitzenden. (66:02)
  • Weer klopt \(E = hc/\lambda\), maar dit bewijst nog niet dat licht echt een deeltje is. (67:05)

Comptonverstrooiing (67:39)

  • Weer een foton (\(\lambda_{in}\)) op materiaal met elektronen. Bij veel kortere golflengte (hogere fotonenergie) speelt de uittree-energie geen rol meer: het foton botst op een vrijwel vrij elektron, het eerste botsingsproces in dit vak. (68:28)
  • Het elektron vliegt weg en het foton wordt afgebogen onder een hoek \(\theta\), met een andere golflengte: \(\lambda_{out} \neq \lambda_{in}\). In een golfmodel kan de golflengte niet veranderen; als deeltje kan het foton een deel van zijn energie afstaan. (69:19)
  • Uit de botsing volgt (afleiding hieronder) [bord, gereconstrueerd] (70:42)
\[\lambda_{out} - \lambda_{in} = \frac{h}{m_ec}\,(1 - \cos\theta)\]
  • Het boek schrijft \(\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\phi)\), met \(\phi\) de verstrooiingshoek (boek, §38.3)

Paarproductie (71:40)

  • Een enkel foton valt op materie en verdwijnt vlak bij een atoomkern (waarom die kern nodig is, zie hieronder); er ontstaan een elektron en een positron (positief geladen elektron). Misschien het meest overtuigende bewijs: twee nieuwe deeltjes kunnen alleen ontstaan als er een deeltje verdwijnt. (71:56)
  • Minimale energie: de massa van beide deeltjes moet worden gemaakt (positron en elektron even zwaar) [bord, gereconstrueerd] (73:04)
\[E_{min} = 2m_ec^2,\qquad \lambda_{max} = \frac{hc}{E_{min}}\]
  • Kortere golflengtes mogen ook (meer energie). Pas in 1933 waargenomen, omdat het pas bij veel hogere energie gebeurt. (74:14)
  • Studentvraag over impulsbehoud: het foton had impuls in zijn bewegingsrichting, en die impuls moet na het proces ergens zitten. Elektron en positron kunnen dus niet allebei stilstaan als zij de enige deeltjes zijn (zie ook sectie 7). (77:45)
  • Let op: een foton alleen kan in vacuüm bij geen enkele energie een elektron-positronpaar maken, omdat energie- en impulsbehoud dan niet tegelijk kunnen gelden. Daarom is een atoomkern (of een ander deeltje) nodig. De kern neemt de impuls op, maar omdat hij zo zwaar is, neemt hij vrijwel geen energie op. De drempel ligt daardoor praktisch op \(2m_ec^2\) (precies: \(2m_ec^2\,(1 + m_e/M)\), met \(M\) de massa van de kern), en elektron en positron kunnen dan (vrijwel) stilstaan.

Welk proces bij welke energie? (74:50)

  • Grafiek: hoe vaak elk proces optreedt tegen de fotonenergie \(hf\) in MeV, op een logschaal van 0,01 tot 100 MeV. Bij lage energie domineert het fotoelektrisch effect, daarboven Comptonverstrooiing en bij de hoogste energieën paarproductie. [bord, gereconstrueerd] (75:10)
  • Het blijft licht, maar hier gaat het om golflengtes van ca. 0,1 nm tot ca. 0,01 pm: van röntgen- tot gammastraling. (76:32)
  • Samen tonen deze experimenten steeds overtuigender aan dat licht zich als deeltje gedraagt, met energie \(E = hf\). (76:55)

De afleiding van de Comptonformule (78:58)

  • Schets: een foton met \(\lambda_{in}\) komt langs \(+x\) binnen en botst op een stilstaand elektron. Daarna vliegt het foton onder hoek \(\theta\) met de \(x\)-as weg met \(\lambda_{out}\), en het elektron aan de andere kant van de \(x\)-as. [bord, gereconstrueerd] (80:28)
  • Waarom aan weerszijden? Impulsbehoud geldt in elke richting: vooraf is de impuls in de \(y\)-richting nul, dus erna ook. (82:11)
  • Foton: \(E = hf = hc/\lambda\) en \(p = h/\lambda\), dus \(E = pc\). [bord, gereconstrueerd] (83:48)
  • \(\lambda_{out} > \lambda_{in}\): het foton staat energie af aan het elektron. (84:24)
  • Stappenplan voor elke botsing: (1) impulsbehoud, (2) energiebehoud, (3) identificeer de onbekenden en combineer (1) en (2). Klinkt eenvoudig, maar de algebra wordt vaak lastig. [bord, gereconstrueerd] (85:14)
  • (1), vectorieel; 'in' en 'out' slaan op het foton, het elektron staat eerst stil [bord, gereconstrueerd] (86:54)
\[\vec p_{in} = \vec p_{out} + \vec p_e\]
  • (2): neem de rustenergie van het elektron mee. Schrijf de elektronenergie na de botsing als wortel in plaats van \(\gamma m_ec^2\), want met \(\gamma\) is algebraïsch lastig werken [bord, gereconstrueerd] (88:16)
\[E_{in} + m_ec^2 = E_{out} + \sqrt{m_e^2c^4 + p_e^2c^2}\]
  • (3): gegeven zijn \(p_{in}\) en de hoek \(\theta\); onbekend zijn \(p_{out}\) en de impuls van het elektron (grootte en richting). Dat zijn drie onbekenden, en (1) en (2) geven drie vergelijkingen: impulsbehoud in de \(x\)- en \(y\)-richting en energiebehoud. Uit \(p_{out}\) volgt \(\lambda_{out}\) via \(p = h/\lambda\). Voor de rest is er geen vast recept: oefenen. (90:21)
  • Uit (1): \(\vec p_e = \vec p_{in} - \vec p_{out}\). Neem de lengte in het kwadraat (zonder pijltje = lengte) en gebruik \(\vec u\cdot\vec v = |\vec u|\,|\vec v|\cos\theta\), met \(\theta\) precies de hoek tussen de inkomende en uitgaande fotonimpuls [bord, gereconstrueerd] (93:04)
\[p_e^2 = p_{in}^2 + p_{out}^2 - 2\,\vec p_{in}\cdot\vec p_{out} = p_{in}^2 + p_{out}^2 - 2p_{in}p_{out}\cos\theta\]
  • Uit (2): vul \(E = pc\) in, deel door \(c\) en breng \(p_{out}\) naar links. Kwadrateer om de wortel kwijt te raken (wortels zijn net zo onhandig als \(\gamma\)) [bord, gereconstrueerd] (98:41)
\[p_{in} - p_{out} + m_ec = \sqrt{m_e^2c^2 + p_e^2}\]
\[(p_{in} - p_{out})^2 + 2m_ec\,(p_{in} - p_{out}) + m_e^2c^2 = m_e^2c^2 + p_e^2\]
  • Combineer: vul \(p_e^2\) uit (1) in. \(m_e^2c^2\) valt weg, en na uitwerken van \((p_{in} - p_{out})^2\) ook \(p_{in}^2\) en \(p_{out}^2\) [bord, gereconstrueerd] (103:28)
\[-2p_{in}p_{out} + 2m_ec\,(p_{in} - p_{out}) = -2p_{in}p_{out}\cos\theta\]
  • Deel door \(-2p_{in}p_{out}\), zodat rechts alleen de cosinus overblijft [bord, gereconstrueerd] (107:02)
\[1 - m_ec\left(\frac{1}{p_{out}} - \frac{1}{p_{in}}\right) = \cos\theta\]
  • Vul \(p = h/\lambda\) in en los op [bord, gereconstrueerd] (109:04)
\[\frac{m_ec}{h}\,(\lambda_{out} - \lambda_{in}) = 1 - \cos\theta \;\Rightarrow\; \lambda_{out} - \lambda_{in} = \frac{h}{m_ec}\,(1 - \cos\theta)\]
  • Het meest kwantitatieve experiment: een berekening met licht als binnenkomend deeltje klopt met de metingen. Licht is ook een deeltje, en daarvoor is kwantummechanica nodig. (110:25)

Vooruitblik (110:55)

  • Volgende keer: deeltjes als golven. (110:55)

4. Begrippen & definities

  • Fotoelektrisch effect: licht maakt elektronen vrij uit een (metaal)oppervlak, mits de frequentie hoog genoeg is.
  • Uittree-energie (work function, ook uittree-arbeid) \(\phi\): minimale energie om een elektron uit het materiaal te halen; materiaalafhankelijk.
  • Kathode / anode: de belichte plaat waaruit elektronen komen / de plaat die ze opvangt.
  • Remspanning (stopping potential) \(V_0\): de grootte van de tegenspanning waarbij de stroom nul wordt, dus waarbij geen elektronen meer de anode bereiken (\(V_{AC} = -V_0\)); \(eV_0 = K_{max} = hf - \phi\).
  • Drempelfrequentie (threshold frequency) \(f_0 = \phi/h\): daaronder komen geen elektronen vrij (boek, §38.1)
  • Foton: massaloos lichtdeeltje met \(E = hf = hc/\lambda\) en \(p = E/c = h/\lambda\).
  • Planckconstante \(h = 6{,}626\cdot10^{-34}\) J·s; gereduceerde Planckconstante \(\hbar = h/2\pi = 1{,}055\cdot10^{-34}\) J·s.
  • Elektronvolt (eV): energie van een elektron na versnelling over 1 V; \(1\) eV \(= 1{,}6\cdot10^{-19}\) J.
  • Röntgenstraling (x-rays): kortgolvig licht dat ontstaat als snel versnelde elektronen op een anode botsen; in het boek bremsstrahlung (remstraling) (boek, §38.2)
  • Comptonverstrooiing (Compton scattering): botsing van een foton met een elektron, waarbij de golflengte van het foton toeneemt.
  • Comptongolflengte: \(h/(m_ec) = 2{,}426\cdot10^{-12}\) m (boek, §38.3)
  • Paarproductie: een foton verdwijnt vlak bij een atoomkern en er ontstaan een elektron en een positron. De kern neemt de impuls op; een foton alleen kan in vacuüm geen paar maken. De drempelenergie is praktisch \(2m_ec^2\), omdat de zware kern vrijwel geen energie opneemt.
  • Positron: positief geladen tegenhanger van het elektron, met dezelfde massa.
  • Inproduct: \(\vec u\cdot\vec v = |\vec u|\,|\vec v|\cos\theta\), met \(\theta\) de hoek tussen de vectoren.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

  • \(E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\): gebruik je veel bij de relativistische botsingen aan het eind van het vak. (06:42)
  • De Planckconstante hoef je niet uit je hoofd te kennen; die wordt op het tentamen gegeven. (32:51)
  • \(p = E/c = h/\lambda\) voor een foton mag je vanaf nu als gegeven gebruiken; de afleiding valt buiten de stof. (42:18)
  • De vorm van het röntgenspectrum valt buiten de stof. (66:20)
  • De Comptonafleiding is een vingeroefening voor de vele botsingen in de laatste colleges en komt terug in het werkcollege. (71:30)
  • Maak bij een botsing een schets en bepaal met impulsbehoud per richting hoe de deeltjes wegvliegen. (80:24)
  • Stappenplan voor elke botsing: impulsbehoud, energiebehoud (met rustenergie), onbekenden identificeren en combineren. (85:14)
  • Trucs: schrijf de energie van een deeltje met massa als \(\sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}\) in plaats van \(\gamma mc^2\), en kwadrateer om wortels kwijt te raken. (89:27)

6. Oefenvragen

  1. Noem twee waarnemingen bij het fotoelektrisch effect die het klassieke golfmodel niet kan verklaren, en leg uit hoe Einsteins fotonmodel ze verklaart.
  2. Licht met \(\lambda = 400\) nm valt op kalium (\(\phi = 2{,}3\) eV). (a) Bereken de fotonenergie, \(K_{max}\) en \(V_0\), en de grootste golflengte die nog elektronen vrijmaakt. (b) Schets \(V_0\) tegen \(f\) voor kalium. Wat is de helling, en waar snijdt de (doorgetrokken) lijn de \(f\)-as en de \(V_0\)-as? Hoe ligt de lijn van cesium (\(\phi = 2{,}1\) eV) ten opzichte van die van kalium? (Gebruik \(hc = 1240\) eV·nm, \(h = 6{,}626\cdot10^{-34}\) J·s en \(e = 1{,}6\cdot10^{-19}\) C.)
  3. Een röntgenbuis werkt met \(V_{AC} = 30\) kV. Bereken \(\lambda_{min}\). Wat gebeurt er met \(\lambda_{min}\) als je de stroom door de buis verdubbelt, en als je de spanning verhoogt naar 50 kV?
  4. Een foton met \(\lambda_{in} = 10{,}0\) pm wordt onder \(\theta = 90^\circ\) verstrooid aan een stilstaand elektron (\(h/(m_ec) = 2{,}43\) pm). (a) Bereken \(\lambda_{out}\) en de kinetische energie van het elektron. (b) Welke drie vergelijkingen stel je volgens het stappenplan op om de Comptonformule af te leiden, en welke onbekenden los je ermee op? Waarom vliegen foton en elektron aan weerszijden van de \(x\)-as weg?
  5. Waarom kan een foton in vacuüm geen elektron-positronpaar maken? Wat is de drempelenergie in de buurt van een atoomkern, en de bijbehorende maximale golflengte (\(m_ec^2 = 0{,}511\) MeV)?
  6. Fotonen met (a) \(hf = 10\) keV, (b) \(hf = 1{,}0\) MeV en (c) \(hf = 50\) MeV vallen op materie. Bereken telkens de golflengte. Welk proces domineert volgens de grafiek uit het college, en waarom kan bij (b) nog geen paarproductie optreden? (Gebruik \(hc = 1240\) eV·nm en \(m_ec^2 = 0{,}511\) MeV.)
Antwoorden
  1. (a) \(V_0\), dus de maximale energie van de elektronen, hangt niet af van de intensiteit: één foton draagt maximaal \(hf\) over, dus \(K_{max} = hf - \phi\) hangt alleen van \(f\) af; meer intensiteit betekent alleen meer fotonen. (b) Sterk rood licht maakt geen elektronen vrij en \(V_0\) stijgt lineair met \(f\): onder \(f_0 = \phi/h\) is \(hf < \phi\), hoeveel fotonen er ook zijn, en daarboven groeit \(eV_0 = hf - \phi\) lineair met \(f\).
  2. (a) \(E = 1240/400 = 3{,}1\) eV; \(K_{max} = 3{,}1 - 2{,}3 = 0{,}8\) eV, dus \(V_0 = 0{,}8\) V. Grootste golflengte: \(\lambda_0 = hc/\phi = 1240/2{,}3 \approx 540\) nm. (b) \(V_0 = (h/e)\,f - \phi/e\) is een rechte lijn met helling \(h/e = 6{,}626\cdot10^{-34}/1{,}6\cdot10^{-19} \approx 4{,}1\cdot10^{-15}\) V·s, voor elk metaal dezelfde. De lijn snijdt de \(f\)-as bij de drempelfrequentie \(f_0 = \phi/h = 2{,}3\cdot1{,}6\cdot10^{-19}/6{,}626\cdot10^{-34} \approx 5{,}6\cdot10^{14}\) Hz (dezelfde drempel als \(\lambda_0 = 540\) nm) en, doorgetrokken, de \(V_0\)-as bij \(-\phi/e = -2{,}3\) V. De lijn van cesium loopt evenwijdig (zelfde helling), maar ligt naar links verschoven: \(f_0 \approx 5{,}1\cdot10^{14}\) Hz en snijpunt \(-2{,}1\) V. Bij dezelfde \(f\) is \(V_0\) voor cesium dus 0,2 V groter.
  3. \(\lambda_{min} = hc/(eV_{AC}) = 1240\) eV·nm \(/\ 30\,000\) eV \(\approx 0{,}041\) nm \(= 41\) pm. Dubbele stroom: meer elektronen, dus meer intensiteit, maar \(\lambda_{min}\) blijft gelijk. Bij 50 kV: \(\lambda_{min} \approx 25\) pm.
  4. (a) \(\lambda_{out} = 10{,}0 + 2{,}43\,(1 - \cos 90^\circ) = 12{,}4\) pm. \(E_{in} = 1240\) eV·nm \(/\ 0{,}0100\) nm \(= 124\) keV en \(E_{out} = 1240/0{,}0124 \approx 100\) keV, dus het elektron krijgt \(K_e \approx 24\) keV (energiebehoud). (b) Impulsbehoud \(\vec p_{in} = \vec p_{out} + \vec p_e\) in de \(x\)- en de \(y\)-richting, en energiebehoud met de rustenergie van het elektron: \(E_{in} + m_ec^2 = E_{out} + \sqrt{m_e^2c^4 + p_e^2c^2}\). Gegeven zijn \(p_{in}\) en \(\theta\); onbekend zijn \(p_{out}\) en de grootte en richting van \(\vec p_e\): drie vergelijkingen voor drie onbekenden. Vooraf is de impuls in de \(y\)-richting nul; dat moet na de botsing ook zo zijn, dus de \(y\)-componenten van foton en elektron zijn tegengesteld.
  5. Voor elk deeltje met massa geldt \(E = \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2} > pc\), voor een foton \(E_\gamma = p_\gamma c\). Zonder kern geeft impulsbehoud \(\vec p_{e^-} + \vec p_{e^+} = \vec p_\gamma\), dus \(E_{e^-} + E_{e^+} > (p_{e^-} + p_{e^+})\,c \geq |\vec p_{e^-} + \vec p_{e^+}|\,c = p_\gamma c = E_\gamma\) (de tweede stap is de driehoeksongelijkheid). Het paar zou dus bij elke fotonenergie meer energie hebben dan het foton: energie- en impulsbehoud kunnen niet tegelijk gelden. Bij een atoomkern neemt de kern de impuls op, maar door zijn grote massa vrijwel geen energie (bij lood ca. 3 eV). Elektron en positron kunnen dan (vrijwel) stilstaan, dus de drempel is de rustenergie van beide deeltjes: \(E_{min} \approx 2m_ec^2 = 1{,}022\) MeV. Dan \(\lambda_{max} = hc/E_{min} = 1240\) eV·nm \(/\ 1{,}022\cdot10^6\) eV \(\approx 1{,}21\cdot10^{-3}\) nm \(= 1{,}21\) pm.
  6. Met \(\lambda = hc/(hf)\): (a) \(1240\) eV·nm \(/\ 10^4\) eV \(\approx 0{,}12\) nm (röntgenstraling), (b) \(1{,}24\cdot10^{-3}\) nm \(= 1{,}24\) pm, (c) \(2{,}5\cdot10^{-5}\) nm \(\approx 0{,}025\) pm (gammastraling). Op de logschaal van de grafiek (0,01 tot 100 MeV) ligt (a) helemaal links, waar het fotoelektrisch effect domineert, (b) in het midden, waar Comptonverstrooiing domineert, en (c) rechts, waar paarproductie domineert. Paarproductie kan bij (b) nog niet: daarvoor is minstens \(2m_ec^2 = 1{,}022\) MeV nodig om de massa van elektron en positron te maken, en \(1{,}0\) MeV is net te weinig (de golflengte is groter dan \(\lambda_{max} = 1{,}21\) pm uit vraag 5).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

  • ~07:22: De kubus met natuurconstanten stond op een slide; de asindeling (\(G\), \(\hbar\), \(1/c\)) is uit de audio afgeleid.
  • ~12:03: De lijst met metalen stond op de slide (vermoedelijk de tabel met uittree-energieën uit het boek); cesium stond er niet in (~29:11).
  • ~22:47: 'Rond 1800' is vermoedelijk een verspreking: de experimenten zijn van rond 1900.
  • ~26:09: Studentvraag over het symbool \(I\) deels onverstaanbaar; de stroom staat op de verticale as. De notities volgen het boek: \(i\) = stroom, \(I\) = intensiteit.
  • ~27:45 en ~40:44: De docent zegt dat de stroom niet lineair met de intensiteit toeneemt en dat je met licht van één golflengte 'nooit meer dan zoveel elektronen' vrijmaakt. Volgens het boek is de stroom bij grote \(V_{AC}\) wel evenredig met de intensiteit; alleen de maximale energie per elektron, en dus \(V_0\), hangt er niet van af. Vermoedelijk bedoeld: niet meer dan zoveel energie per elektron.
  • ~28:22: 'De maximale energie van de elektronen is \(hf\)': bedoeld is de maximale energie die een foton overdraagt; de maximale kinetische energie is \(hf - \phi\), zoals de docent daarna opschrijft.
  • ~32:51: De waarde van \(h\) stond eerst als \(1{,}05\cdot10^{-34}\) J·s op het bord (dat is \(\hbar\)); bij ~61:16 gecorrigeerd. De opmerking over eenheden (~34:42) is verminkt.
  • ~35:11 en ~41:45: Studentvragen (massa van het foton, herkomst van \(p = E/c\)) onverstaanbaar; afgeleid uit de antwoorden.
  • ~63:56: De docent zegt eerst dat röntgenstraling later ontdekt is en corrigeert zich: ze was eerder bekend (Röntgen, 1895), maar werd pas later in deze context begrepen.
  • ~64:06: 'Meer stroom aanleggen' is vermoedelijk 'hogere versnelspanning': alleen een hogere spanning verkort \(\lambda_{min}\), een grotere stroom geeft alleen meer intensiteit.
  • ~65:21: De formule voor \(\lambda_{min}\) is onvolledig uitgesproken; aangevuld uit het boek.
  • ~76:00: 'Naarmate de golflengte toeneemt' moet zijn: naarmate de energie toeneemt (de golflengte afneemt).
  • ~76:32: Onduidelijk bij welk deel van de grafiek 'zichtbaar licht' werd genoemd; bij 0,01 MeV is \(\lambda \approx 0{,}12\) nm (röntgenstraling), dus zichtbaar licht ligt ver links buiten de grafiek.
  • ~77:45 en ~78:27: In de opname zegt de docent op een studentvraag dat de minimale energie door impulsbehoud hoger ligt dan \(2m_ec^2\). Let op: zonder atoomkern (of ander deeltje) kan paarproductie helemaal niet, en met een kern ligt de drempel praktisch op \(2m_ec^2\) (zie sectie 3). De tweede studentopmerking (~78:39) is onverstaanbaar.
  • ~84:09: De fotonimpuls stond eerst als \(hc/\lambda\) op het bord; bij ~98:10 gecorrigeerd naar \(h/\lambda\).
  • ~101:43: Bij het kwadrateren schakelt de docent halverwege over op het samennemen van \(p_{in} - p_{out}\); nakijken wat op het bord bleef staan.
  • ~105:33: Tekenfout gecorrigeerd: de term \(2m_ec\,(p_{in} - p_{out})\) heeft een plusteken.
  • ~107:42 en ~109:04: Het delen door \(-2p_{in}p_{out}\) en de laatste stappen gingen snel ('zonder comments') en zijn verminkt; tussenstappen gereconstrueerd.