College 7: Klassieke golven, de Schrödingervergelijking, de Born-regel, het deeltje in een doos en het meetprobleem

Maandag 12 oktober 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Kwantummechanica bouwt eigenlijk voort op vakken die nog komen (statistische fysica volgend jaar, lineaire algebra, golven, optica in het tweede semester); dit college blijft daarom aan de oppervlakte. (05:45)
Alle stof van dit college staat ook in het boek. (71:46)
Volgende week is het tussentijds tentamen, met opgaven op het niveau van het werkcollege. Op Brightspace staan veel oefententamens: maak er een om te zien wat je kunt verwachten. (107:15)
Tentamenstof: alles tot en met dit college, inclusief het werkcollege van vandaag. Omdat dat kort voor het tentamen is, gaat het niet uitgebreid over de Schrödingervergelijking. (107:27)
Kom op tijd: wie te laat komt, krijgt een ingewikkelde toegangsprocedure. (107:43)
Neem een eenvoudige rekenmachine mee; een grafische rekenmachine is niet toegestaan. (107:57)
Heb je recht op extra tijd, dan zit je in een andere zaal: controleer waar je moet zijn. (108:06)

2. Samenvatting

In de kwantummechanica wordt een deeltje beschreven door een complexe golffunctie \(\Psi(x,t)\) die voldoet aan de Schrödingervergelijking; volgens de Born-regel is \(|\Psi|^2\) de kansdichtheid om het deeltje op plaats \(x\) te vinden. Net als de klassieke golfvergelijking heeft de Schrödingervergelijking sinus- en cosinusoplossingen, maar alleen als \(B = iA\) en \(\hbar\omega = \hbar^2k^2/2m\): de relatie \(E = p^2/2m\) in golfvorm. Anders dan klassieke golfpakketjes spreiden Schrödingergolven uit. Bij een tijdsonafhankelijke potentiaal bestaan stationaire toestanden met vaste energie; voor een deeltje in een doos volgt uit de randvoorwaarden dat er \(n\) halve De Broglie-golflengtes in de doos passen, met \(E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2mL^2\). Tot slot: superpositie, meting, verstrengeling en het meetprobleem (de kat van Schrödinger).

3. Aantekeningen per onderwerp

Klassieke golven en de golfvergelijking (09:08)

Golven komen overal voor: geluid, licht, water, snaren. In een snaar met vaste uiteinden passen alleen bepaalde staande golven (grondtoon en hogere tonen). (11:34)
Een deeltje opgesloten tussen twee wanden met oneindige potentiële energie (binnen nul) is wiskundig bijna hetzelfde probleem; zie het deeltje in een doos hieronder. [bord, gereconstrueerd] (12:19)
Golfvergelijking voor de uitwijking \(y(x,t)\) van een snaar, met golfsnelheid \(v\) [bord, gereconstrueerd] (14:29)

\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\]

\(\partial/\partial x\) is een partiële afgeleide: je differentieert alleen naar \(x\) en houdt \(t\) constant. (14:59)
Testfunctie, met golfgetal \(k = 2\pi/\lambda\) en hoekfrequentie \(\omega = 2\pi f\) [bord, gereconstrueerd] (16:21)

\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t) + B\sin(kx - \omega t)\]

Invullen (werkcollege): links komt \(-k^2y\), rechts \(-(\omega^2/v^2)\,y\). Dit is dus voor alle \(A\) en \(B\) een oplossing, precies dan als [bord, gereconstrueerd] (20:48)

\[\omega = vk \quad\Leftrightarrow\quad \lambda f = v\]

De golfvergelijking voor een snaar volgt uit de wetten van Newton voor de stukjes snaar; \(v\) hangt af van de mechanische eigenschappen. (22:20) Voor een gespannen snaar is \(v = \sqrt{F/\mu}\), met spankracht \(F\) en massa per lengte \(\mu\) (boek, §15.4)

De Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje (23:22)

Voor deeltjesgolven geldt een vergelijkbare partiële differentiaalvergelijking: de eendimensionale Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje (geen potentiële energie) [bord, gereconstrueerd] (23:49)

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = i\hbar\,\frac{\partial\Psi}{\partial t}\]

\(\hbar = h/2\pi\), \(m\) de massa van het deeltje, \(i = \sqrt{-1}\): de vergelijking is complex. Rechts staat een eerste afgeleide naar \(t\), bij de golfvergelijking een tweede. (24:21)
Dezelfde testfunctie is een oplossing precies dan als (werkcollege) [bord, gereconstrueerd] (26:57)

\[\hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m} \qquad\text{en}\qquad B = iA\]

Dus \(\Psi = A[\cos(kx - \omega t) + i\sin(kx - \omega t)] = Ae^{i(kx - \omega t)}\) (boek, §40.1)
Anders dan bij de golfvergelijking zijn \(A\) en \(B\) niet vrij (de golffunctie is complex) en geldt \(\omega \propto k^2\) in plaats van \(\omega = vk\). (27:20)
Interpretatie: met \(\hbar\omega = hf\) (de energie, zoals bij een foton) en \(\hbar k = h/\lambda = p\) (De Broglie) staat er [bord, gereconstrueerd] (28:10)

\[E = hf = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} = \tfrac12 mv^2\]

De Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje is dus de relatie 'energie = kinetische energie' in golfvorm. (29:22)

Klassieke golven en Schrödingergolven vergeleken (31:56)

Animaties: een klassieke golf (sinus of los pulsje) plant zich onveranderd voort; tussen vaste uiteinden tellen een links- en een rechtsgaande golf op tot een staande golf. (32:07)
Een bult op een snaar met vaste uiteinden splitst klassiek in twee pulsen die heen en weer reflecteren en hun vorm houden. Hetzelfde beginprofiel volgens de Schrödingervergelijking wordt steeds breder en interfereert bij de wanden met zichzelf; na lange tijd keert de beginvorm terug (ook dit is periodiek). (34:08)
Golfpakketje: een som van veel sinussen en cosinussen met een omhullende (rood: \(|\Psi|^2\)), hoog op één plek en vrijwel nul daarbuiten, dus deeltjesachtig. (36:06)
Let op: reëel en imaginair deel zijn een cosinus en een sinus, die een kwart periode uit fase lopen (gevolg van \(B = iA\)); de docent zei 'een halve periode'. (37:07)
Het pakketje botst op een potentiaalbarrière (gebied met hogere potentiële energie): een deel reflecteert, een deel gaat erdoor, en beide delen spreiden verder uit. (37:18)
Kern: klassieke golfpakketjes blijven bij elkaar, Schrödingergolven spreiden uit en kunnen deels door een barrière. (38:01)

De golffunctie en de Born-regel (39:25)

Bij een klassieke golf is \(y(x,t)\) direct de uitwijking; \(\Psi\) is een waarschijnlijkheidsgolf. (40:37)
Born-regel: \(|\Psi(x,t)|^2\) is de kansdichtheid om het deeltje op tijdstip \(t\) op positie \(x\) te vinden. (41:18)
De absolute waarde in het kwadraat maakt de complexe golffunctie tot een reële kans. Voor \(c = a + bi\) (\(a\), \(b\) reëel) [bord, gereconstrueerd] (42:07)

\[|c|^2 = c^*c = (a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2\]

Let op: de uitkomst is \(a^2 + b^2\), reëel en nooit negatief, zoals een kans moet zijn; in het college kwam \(a^2 - b^2\) uit. (43:07)

Continue kansverdelingen (43:54)

Discreet (dobbelsteen): elk aantal ogen heeft kans \(1/6\), dus \(P(n \leq 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3\). (44:17)
Continu, bijv. de temperatuur in juli met kansdichtheid \(f(T)\): een piek rond het gemiddelde \(\mu\) met breedte \(\sigma\). [bord, gereconstrueerd] (45:25)
De kans op precies 13 °C is nul; je vraagt altijd naar een interval: de oppervlakte onder de kromme [bord, gereconstrueerd] (46:39)

\[P(12\ °\text{C} < T < 14\ °\text{C}) = \int_{12}^{14} f(T)\,dT\]

Gemiddelde \(\langle T\rangle = \int T\,f(T)\,dT\); over het hele domein \(\int_{-\infty}^{\infty} f(T)\,dT = 1\). [bord, gereconstrueerd] (48:16)
Voor een deeltje op tijdstip \(t\) [bord, gereconstrueerd] (50:05)

\[P(x_1 < x < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} |\Psi(x,t)|^2\,dx\]

Normalisatie (52:39)

Het deeltje is gegarandeerd ergens, dus [bord, gereconstrueerd] (53:02)

\[\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1\]

Deze extra voorwaarde legt de amplitude vast; voor een specifiek geval in het werkcollege. (53:39)

De algemene Schrödingervergelijking en stationaire toestanden (71:43)

Het gaat steeds om de golffunctie van één deeltje dat alleen langs \(x\) beweegt; voor meer deeltjes wordt \(\Psi\) ingewikkelder. (71:57)
Met een potentiële energie \(U(x,t)\) [bord, gereconstrueerd] (73:01)

\[i\hbar\,\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + U(x,t)\,\Psi\]

Hangt \(U\) alleen van \(x\) af, dan kun je de variabelen scheiden (separation of variables) [bord, gereconstrueerd] (74:41)

\[\Psi(x,t) = \psi(x)\,\phi(t)\]

Dat geeft twee vergelijkingen, een in \(x\) en een in \(t\). Die in \(t\) heeft als oplossing \(\phi(t) = e^{-i\omega t}\), met \(E = \hbar\omega\). [bord, gereconstrueerd] (75:20) Het boek schrijft \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}\) (boek, §40.1)
Dit zijn toestanden met vaste energie (energie-eigentoestanden). Ze heten stationair, omdat de kansdichtheid niet van \(t\) afhangt [bord, gereconstrueerd] (77:20)

\[|\Psi(x,t)|^2 = \psi^*(x)\,e^{i\omega t}\,\psi(x)\,e^{-i\omega t} = |\psi(x)|^2\]

Het ruimtelijke deel voldoet aan de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking, een gewone differentiaalvergelijking in alleen \(x\) [bord, gereconstrueerd] (80:07)

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2} + U(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x)\]

Het deeltje in een doos (81:08)

Oneindige potentiaalput (infinite square well): \(U = 0\) voor \(0 < x < L\), oneindig daarbuiten. [bord, gereconstrueerd] (82:34)
Binnen de doos is de algemene oplossing [bord, gereconstrueerd] (81:18)

\[\psi(x) = A\sin kx + B\cos kx\]

Waar de potentiële energie oneindig is, is de kans om het deeltje te vinden nul: \(\psi = 0\) buiten de doos. Omdat \(\psi\) continu is, geldt \(\psi(0) = \psi(L) = 0\). [bord, gereconstrueerd] (83:33)
\(\psi(0) = 0\) geeft \(B = 0\); \(\psi(L) = A\sin kL = 0\) geeft [bord, gereconstrueerd] (85:49)

\[k_n = \frac{n\pi}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \qquad \psi_n(x) = A\sin\frac{n\pi x}{L}\]

\(n = 0\) geeft overal \(\psi = 0\): dan is er geen deeltje (boek, §40.2)
De Broglie-golflengte [bord, gereconstrueerd] (87:14)

\[\lambda_n = \frac{2\pi}{k_n} = \frac{2L}{n}\]

Let op: er passen dus \(n\) halve golflengtes in de doos (\(L = n\lambda_n/2\)), met knopen op de wanden, zoals bij een snaar. Vergelijk het Bohrmodel (college 6), waar een geheel aantal hele golflengtes in de baan past. (87:36)
Energieën uit \(E = \hbar\omega = \hbar^2k^2/2m\) [bord, gereconstrueerd] (89:02)

\[E_n = \frac{\hbar^2k_n^2}{2m} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\]

Het boek schrijft \(E_n = n^2h^2/8mL^2\); de laagste energie \(E_1\) is niet nul (boek, §40.2)
\(A\) volgt uit normalisatie: \(\int_0^L A^2\sin^2(n\pi x/L)\,dx = A^2L/2 = 1\), dus \(A = \sqrt{2/L}\) (boek, §40.2)
Let op: de docent twijfelde en schreef \(\sqrt{L/2}\); correct is \(\sqrt{2/L}\). (93:04)
Volledige golffunctie [bord, gereconstrueerd] (93:04)

\[\Psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\frac{n\pi x}{L}\;e^{-i\omega_n t}, \qquad \omega_n = \frac{E_n}{\hbar}\]

Superpositie (95:28)

De Schrödingervergelijking is lineair: de afgeleide van een som is de som van de afgeleiden. Zijn \(\Psi_1\) en \(\Psi_2\) oplossingen, dan ook [bord, gereconstrueerd] (96:34)

\[\Psi_3 = C\,(\Psi_1 + \Psi_2)\]

Gevolg: een deeltje kan in een superpositie van twee plaatsen tegelijk zijn en met zichzelf interfereren, zoals bij de dubbelspleet met losse elektronen (college 6). (97:42)

Meting, verstrengeling en het meetprobleem (98:54)

De tijdsevolutie volgt uit de Schrödingervergelijking. Nieuw ten opzichte van alle andere theorieën: een meting verandert het systeem zelf, niet alleen onze kennis. Meet je de positie, dan wordt een uitgespreide golffunctie een scherpe piek (deltafunctie) op de gemeten plaats. (99:03)
Voorbeeld (animatie): een deeltje in een dubbele potentiaalput kan links, rechts of in een superpositie van beide zitten. (101:01)
Een foton dat erop reflecteert, wordt deel van de superpositie: het komt vroeg terug (links gereflecteerd) of laat (rechts). Dit heet verstrengeling (entanglement). (101:51)
Meet je met een enkelfotondetector de aankomsttijd, dan wordt de golffunctie 'links' (vroeg) of 'rechts' (laat), elk met kans ½. (102:29)
Meetprobleem: de detector bestaat zelf ook uit atomen. Waarom raakt die niet gewoon verstrengeld, maar laat hij de superpositie ineenstorten? Waar houdt de kwantummechanica op? (103:07)
Extreme variant, de kat van Schrödinger: een atoom vervalt wel of niet; een detector laat dan een hamer op een gifbeker vallen, en de kat in de doos is dood of levend. Is het geheel een superpositie van een dode en een levende kat? Schrödinger vond dat absurd. Radioactief verval komt na het tussentijds tentamen. (103:54)
Waarom we geen interferentie met katten zien, is bekend: door de omgeving (bijv. lucht op kamerdruk) verliest een superpositie snel haar vaste fase (decoherentie). In lucht gaat dat zelfs voor een deeltje van 10 µm extreem snel; kleinere deeltjes en een beter vacuüm geven langere tijden, in ultrahoog vacuüm tot ca. een seconde voor een molecuul. (105:08)
Open blijft waar de kwantummechanica ophoudt; daarover bestaan verschillende interpretaties. (106:05)

4. Begrippen & definities

Golfvergelijking: \(\partial^2y/\partial x^2 = (1/v^2)\,\partial^2y/\partial t^2\); \(A\cos(kx - \omega t) + B\sin(kx - \omega t)\) is een oplossing precies dan als \(\omega = vk\).
Golfgetal \(k = 2\pi/\lambda\); hoekfrequentie \(\omega = 2\pi f\).
Partiële afgeleide \(\partial/\partial x\): afgeleide naar één variabele, met de andere constant.
Golffunctie \(\Psi(x,t)\): complexe functie die de toestand van een deeltje beschrijft.
Schrödingervergelijking: \(i\hbar\,\partial\Psi/\partial t = -(\hbar^2/2m)\,\partial^2\Psi/\partial x^2 + U\Psi\); voor een vrij deeltje is \(U = 0\).
Born-regel: \(|\Psi(x,t)|^2\) is de kansdichtheid; \(P(x_1 < x < x_2) = \int_{x_1}^{x_2}|\Psi|^2\,dx\).
Kansdichtheid (continue kansverdeling): functie waarvan de integraal over een interval de kans op dat interval geeft; de integraal over alles is 1.
Normalisatie: de voorwaarde \(\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^2\,dx = 1\).
Golfpakket: som van veel golven die samen op één plek geconcentreerd zijn; spreidt volgens de Schrödingervergelijking uit.
Potentiaalbarrière: gebied met hogere potentiële energie; een golfpakket wordt er deels door gereflecteerd en gaat er deels doorheen.
Scheiden van variabelen: \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,\phi(t)\), mogelijk als \(U\) alleen van \(x\) afhangt.
Stationaire toestand (energie-eigentoestand): \(\Psi = \psi(x)\,e^{-i\omega t}\) met vaste energie \(E = \hbar\omega\); \(|\Psi|^2\) hangt niet van \(t\) af.
Tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking: \(-(\hbar^2/2m)\,d^2\psi/dx^2 + U(x)\,\psi = E\psi\).
Deeltje in een doos (oneindige potentiaalput): \(U = 0\) voor \(0 < x < L\), oneindig daarbuiten; \(\psi_n = \sqrt{2/L}\,\sin(n\pi x/L)\), \(E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2mL^2\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
Superpositie: een som van oplossingen van de Schrödingervergelijking is weer een oplossing.
Meting: verandert de golffunctie; na een positiemeting is ze een scherpe piek op de gemeten plaats.
Verstrengeling: twee systemen delen één superpositie (deeltje links met foton vroeg, plus deeltje rechts met foton laat).
Meetprobleem: de vraag waarom en waar een meting een superpositie beëindigt; de kat van Schrödinger is de extreme variant.
Decoherentie: verlies van de vaste fase van een superpositie door wisselwerking met de omgeving, waardoor interferentie niet meer meetbaar is.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Een testfunctie invullen in de golfvergelijking en de Schrödingervergelijking en de voorwaarden afleiden; een golffunctie normaliseren (werkcollege). (19:27)
De afleiding via scheiden van variabelen hoef je niet te kunnen reproduceren. (73:43)
Deeltje in een doos: gegeven een vorm van de oplossing de randvoorwaarden toepassen en \(k_n\), \(\lambda_n\) en \(E_n\) afleiden; \(A\) uit normalisatie (de integraal van \(\sin^2\) kun je zelf uitrekenen). (93:50)
Kernpunten volgens de docent: deeltjesgolven \(\Psi\) voldoen aan de complexe Schrödingervergelijking; \(|\Psi|^2\) is de kansdichtheid; Schrödingergolven spreiden uit, klassieke niet; bij een tijdsonafhankelijke potentiaal bestaan oplossingen \(\psi(x)\); in een doos zijn dat sinussen waarin de De Broglie-golflengte past. (106:26)

6. Oefenvragen

(a) Vul \(y = A\cos(kx - \omega t) + B\sin(kx - \omega t)\) in de golfvergelijking in. Onder welke voorwaarde is het een oplossing? (b) Een golf in een snaar heeft \(v = 300\) m/s en \(\lambda = 0{,}60\) m. Bereken \(f\), \(k\) en \(\omega\).
(a) Onder welke voorwaarden is dezelfde testfunctie een oplossing van de Schrödingervergelijking voor een vrij deeltje, en welke natuurkundige relatie staat er dan? (b) Waarom houdt een klassiek golfpakket zijn vorm, terwijl een Schrödingerpakket uitspreidt?
(a) Bereken \(|c|^2\) voor \(c = 3 + 4i\). Waarom is de kansdichtheid \(|\Psi|^2\) en niet \(\Psi\) zelf? (b) Waarom is de kans dat het in juli precies 13 °C is nul, en hoe bereken je de kans op 12 tot 14 °C? (c) Hoe bereken je de kans om een deeltje tussen \(x_1\) en \(x_2\) te vinden, en wat geeft de integraal over alle \(x\)?
Laat zien dat \(|\Psi|^2\) voor \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,e^{-i\omega t}\) niet van de tijd afhangt. Hoe heten zulke toestanden en welke energie hebben ze?
Een elektron zit in een doos met \(L = 1{,}0\) nm. (a) Leid uit \(\psi = A\sin kx + B\cos kx\) en de randvoorwaarden \(k_n\) en \(\lambda_n\) af. (b) Bereken \(E_1\) en \(E_2\) in eV (\(h = 6{,}63\cdot10^{-34}\) J·s, \(m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\) kg, \(1\) eV \(= 1{,}60\cdot10^{-19}\) J). (c) Normaliseer \(\psi_n\). (d) Waarom bestaat \(n = 0\) niet?
(a) Waarom is \(C(\Psi_1 + \Psi_2)\) een oplossing als \(\Psi_1\) en \(\Psi_2\) dat zijn? (b) Een deeltje zit in een dubbele put in een superpositie van links en rechts. Een foton reflecteert erop en wordt vroeg gedetecteerd. Wat gebeurt er met de golffunctie? (c) Wat is het meetprobleem, en waarom zien we geen interferentie met katten?

Antwoorden

(a) \(\partial^2y/\partial x^2 = -k^2y\) en \(\partial^2y/\partial t^2 = -\omega^2y\), dus \(-k^2y = -(\omega^2/v^2)\,y\): een oplossing voor alle \(A\) en \(B\) precies dan als \(\omega = vk\), oftewel \(\lambda f = v\). (b) \(f = v/\lambda = 500\) Hz, \(k = 2\pi/0{,}60 \approx 10{,}5\) rad/m, \(\omega = 2\pi f \approx 3{,}1\cdot10^3\) rad/s (controle: \(vk \approx 3{,}1\cdot10^3\) rad/s).
(a) \(B = iA\) en \(\hbar\omega = \hbar^2k^2/2m\), dus \(\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}\). Met \(E = \hbar\omega = hf\) en \(p = \hbar k = h/\lambda\) staat er \(E = p^2/2m = \tfrac12 mv^2\): de kinetische energie. (b) Klassiek is \(\omega = vk\): alle componenten gaan even snel, dus de vorm blijft. Bij Schrödinger is \(\omega = \hbar k^2/2m\): componenten met verschillende \(k\) gaan verschillend snel, dus het pakketje loopt uit elkaar.
(a) \(|c|^2 = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25\). \(\Psi\) is complex; \(|\Psi|^2\) is reëel en nooit negatief, zoals een kans moet zijn. (b) Bij een continue verdeling heeft één punt geen breedte, dus geen oppervlakte onder de kromme; \(P = \int_{12}^{14} f(T)\,dT\). (c) \(P = \int_{x_1}^{x_2}|\Psi(x,t)|^2\,dx\); over alle \(x\) geeft de integraal 1 (normalisatie).
\(|\Psi|^2 = \psi^*e^{i\omega t}\,\psi\,e^{-i\omega t} = |\psi(x)|^2e^0 = |\psi(x)|^2\), onafhankelijk van \(t\). Het zijn stationaire toestanden (energie-eigentoestanden) met vaste energie \(E = \hbar\omega\).
(a) \(\psi(0) = 0\) geeft \(B = 0\); \(\psi(L) = A\sin kL = 0\) geeft \(k_n = n\pi/L\) en \(\lambda_n = 2\pi/k_n = 2L/n\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)). (b) \(E_1 = h^2/8mL^2 = (6{,}63\cdot10^{-34})^2/(8 \cdot 9{,}11\cdot10^{-31} \cdot 10^{-18}) \approx 6{,}0\cdot10^{-20}\) J \(\approx 0{,}38\) eV; \(E_2 = 4E_1 \approx 1{,}5\) eV. (c) \(\int_0^L A^2\sin^2(n\pi x/L)\,dx = A^2L/2 = 1\), dus \(A = \sqrt{2/L}\) en \(\psi_n = \sqrt{2/L}\,\sin(n\pi x/L)\). (d) Dan is \(\psi = 0\) overal en is er geen deeltje.
(a) De vergelijking is lineair: de afgeleide van een som is de som van de afgeleiden, en \(C\) komt er gewoon voor te staan. Vul je \(C(\Psi_1 + \Psi_2)\) in, dan voldoet elk deel apart. (b) Door de reflectie raakt het foton verstrengeld met het deeltje (links met vroeg, rechts met laat). De meting 'vroeg' maakt de golffunctie 'links'; vooraf had elke uitkomst kans ½. (c) Ook de detector (of de kat) bestaat uit atomen; de theorie zegt niet waarom die niet gewoon verstrengeld raakt en waar de kwantummechanica ophoudt. Interferentie met grote objecten zie je niet, omdat de omgeving de vaste fase van de superpositie razendsnel verstoort (decoherentie).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~32:00–38:06: De animaties van klassieke golven, Schrödingergolven en het golfpakket met barrière zijn alleen in de opname te zien.
~38:25: Studentvraag over het golfpakket onverstaanbaar.
~42:47: De uitwerking van \((a + bi)(a - bi)\) is verminkt; op het bord stond mogelijk \(a^2 - b^2\) (correct: \(a^2 + b^2\)).
~51:42: Studentvraag (vermoedelijk over de rol van tijd in de kwantummechanica) onverstaanbaar; de docent weet het antwoord niet.
~75:05: Welke symbolen voor de twee factoren (\(\psi\), \(\phi\)) en voor de potentiaal op het bord stonden, is niet zeker.
~79:44: Op aanwijzing van een student wordt iets op het bord verbeterd; onduidelijk wat.
~84:20: Studentvraag, vermoedelijk of ook de afgeleide van \(\psi\) continu moet zijn; de docent komt er niet op terug. Bij een oneindig hoge wand hoeft \(d\psi/dx\) niet continu te zijn.
~89:02 en ~93:04: Op het bord stonden mogelijk \(2mL\) in plaats van \(2mL^2\) in \(E_n\) en \(\sqrt{L/2}\) in plaats van \(\sqrt{2/L}\); de docent wilde de normalisatieconstante nog opzoeken.
~93:34: De tijdsfactor van de volledige golffunctie is verminkt uitgesproken; gereconstrueerd als \(e^{-i\omega_n t}\).
~94:56: Studentvraag deels onverstaanbaar; het antwoord gaat over \(k = 2\pi/\lambda\).
~101:01–105:50: De animatie van de dubbele put en de getallen over hoe snel een superpositie haar fase verliest (lucht, deeltjes van 10 µm en 10 nm, ultrahoog vacuüm) stonden op de slides.