College 4: De insluitstelling en continue functies

Donderdag 10 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

De formele definitie van de limiet (boek, §1.5) hoef je voor het tentamen niet te kennen; je hebt haar alleen nodig om de rekenregels te bewijzen. (37:34)
Het volgende college gaat verder met functies. (111:28)

2. Samenvatting

Limieten die je niet door invullen of vereenvoudigen vindt, bereken je met de insluitstelling en de rekenregels: zo volgt \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) uit oppervlaktes in de eenheidscirkel, en daarmee \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac12\). Met de limiet wordt continuïteit precies: \(f\) is continu in \(a\) als \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\), en eenzijdige limieten geven links- en rechtscontinuïteit, zoals bij de snelheid van een vallende knikker. Sommen, producten, quotiënten en samenstellingen van continue functies zijn weer continu, mits je op het domein let. Op een gesloten, begrensd interval heeft een continue functie een minimum en een maximum en neemt ze elke tussenliggende waarde aan; dat laatste geeft een eenvoudige methode om nulpunten te benaderen.

3. Aantekeningen per onderwerp

Insluitstelling (06:34)

Insluitstelling (Squeeze Theorem): geldt \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) voor alle \(x\) in een open interval rond \(a\), behalve eventueel in \(a\) zelf, en is \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\), dan bestaat \(\lim_{x\to a}g(x)\) en is die ook \(L\) (boek, §1.2). Handig als \(g\) lastig is, zoals bij een \(\tfrac00\)-vorm. (07:11)

De limiet van sin x / x voor x naar 0 (10:04)

Figuur [bord, gereconstrueerd]: eenheidscirkel met middelpunt \(O\), hoek \(x\) met \(0<x<\tfrac\pi2\) en punt \((\cos x,\sin x)\) op de cirkel; de raaklijn in \((1,0)\) snijdt het verlengde van de straal in \((1,\tan x)\). (10:47)
De driehoek \(O,(1,0),(\cos x,\sin x)\) ligt binnen de sector, en de sector binnen de driehoek \(O,(1,0),(1,\tan x)\). De sector heeft oppervlakte \(\pi\cdot1^2\cdot\frac{x}{2\pi}=\frac x2\); let op: dat geldt alleen met \(x\) in radialen. (13:19)

\[\tfrac12\sin x\le\tfrac x2\le\tfrac12\tan x\qquad\left(0<x<\tfrac\pi2\right)\]

Links maal \(\frac2x\) geeft \(\frac{\sin x}{x}\le1\); rechts maal \(\frac{2\cos x}{x}\) geeft \(\cos x\le\frac{\sin x}{x}\). Dat mag omdat \(x>0\) en \(\cos x>0\): vermenigvuldigen met iets negatiefs keert een ongelijkheid om. (18:43)
Voor \(-\tfrac\pi2<x<0\) geldt hetzelfde, want beide kanten veranderen niet als je \(x\) door \(-x\) vervangt. (19:48)
Insluiten tussen \(\cos x\) en \(1\), die allebei naar \(1\) gaan, geeft \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\). (20:18)

Insluiten voor x naar oneindig (24:46)

De docent noemt \(\lim_{x\to\infty}\) hier een oneigenlijke limiet; het boek spreekt van een limiet op oneindig (zie college 3). (24:46)
Voor \(x>0\) is \(-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x\); beide grenzen gaan naar \(0\), dus \(\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0\). Met \(\frac{1}{|x|}\) werkt hetzelfde voor \(x\to-\infty\). (27:11)

Rekenregels voor limieten (28:30)

Bestaan \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) en \(\lim_{x\to a}g(x)=M\), dan gaat \(f+g\) naar \(L+M\), \(fg\) naar \(LM\) en \(\frac fg\) naar \(\frac LM\), dat laatste mits \(M\neq0\) (boek, §1.2). Is \(M=0\), dan zegt de quotiëntregel niets. (29:52)
Voorbeeld: \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) geeft bij invullen \(\tfrac00\) (de docent zegt eerst \(x\to\infty\); dan is de limiet \(0\), zie oefenvraag 1). Vermenigvuldig met \(\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\); dat mag, want \(1+\cos x\approx2\neq0\) bij \(0\), zoals bij de worteltruc in college 3. (33:52)

\[\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}\to1^2\cdot\frac12=\frac12\]

Hier gebruik je de product- en quotiëntregel met de al bewezen limiet \(\frac{\sin x}{x}\to1\). (36:46)

Continuïteit (38:32)

Continu: is \(a\) een inwendig punt van het domein van \(f\), dus in het domein en niet op de rand (boek, §1.4), dan is \(f\) continu in \(a\) als \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Bestaat de limiet niet of is ze niet gelijk aan \(f(a)\), dan is \(f\) discontinu in \(a\). (40:16)
Let op: de docent noemt \(\frac1x\) bij \(0\) niet continu, maar continuïteit gaat alleen over punten van het domein. \(\frac1x\) is continu in elke \(x\neq0\), en het boek noemt zo'n functie gewoon continu (boek, §1.4). (43:11)
Daarna tekent de docent een functie met één waarde voor elke \(x\) die toch niet continu is [bordinhoud onduidelijk ~43:46].
Intuïtie: je kunt de grafiek tekenen zonder de pen op te tillen. (44:20)

Voorbeeld: vallende knikker (44:38)

Een knikker rolt tot \(t=1\) over een tafel op hoogte \(h\), valt dan en ligt vanaf \(t_{\text{grond}}\) stil op de grond. Hoogte [bord, gereconstrueerd]: (47:00)

\[z(t)=\begin{cases}h, & 0\le t<1,\\ h-\tfrac12g(t-1)^2, & 1\le t<t_{\text{grond}},\\ 0, & t\ge t_{\text{grond}}.\end{cases}\]

De docent schrijft eerst \(h-\tfrac12gt^2\). Dan is \(\lim_{t\downarrow1}z(t)=h-\tfrac12g\neq h=\lim_{t\uparrow1}z(t)\): een sprong die een knikker niet maakt. De val begint op \(t=1\), dus het moet \(t-1\) zijn. (50:31)
Met \(t-1\) zijn de eenzijdige limieten gelijk in \(t=1\) en in \(t_{\text{grond}}\) (waar \(h-\tfrac12g(t_{\text{grond}}-1)^2=0\)), dus \(z\) is continu. (51:08)
Snelheid [bord, gereconstrueerd]: \(v(t)=0\) voor \(t<1\), \(v(t)=-g(t-1)\) voor \(1\le t<t_{\text{grond}}\) en \(v(t)=0\) daarna. Het minteken voegt de docent later toe. (70:57)
In \(t=1\) is \(v\) continu (beide kanten \(0\)). In \(t_{\text{grond}}\) is de linkerlimiet \(-g(t_{\text{grond}}-1)=-\sqrt{2gh}\neq0\) en de rechterlimiet \(0\): de knikker raakt de grond met een snelheid ongelijk aan \(0\), dus \(v\) is daar discontinu. (72:30)
Spreek je af dat \(v(t_{\text{grond}})=0\), dan is \(v\) daar rechtscontinu, maar niet linkscontinu. (75:23)
Links- en rechtscontinu: \(f\) is linkscontinu in \(c\) als \(\lim_{x\uparrow c}f(x)=f(c)\), en rechtscontinu als \(\lim_{x\downarrow c}f(x)=f(c)\). In een inwendig punt is \(f\) dus continu precies dan als ze daar links- én rechtscontinu is (eenzijdige limieten: zie college 3). (76:41)

Rekenregels en samenstellingen (77:34)

Zijn \(f\) en \(g\) continu in \(a\), dan zijn ook \(f+g\) en \(fg\) continu in \(a\), en \(f/g\) mits \(g(a)\neq0\) (boek, §1.4). (77:46)
Samenstelling: is \(f(g(x))\) gedefinieerd op een interval waarin \(a\) ligt, is \(\lim_{x\to a}g(x)=L\) en is \(f\) continu in \(L\), dan is \(\lim_{x\to a}f(g(x))=f(L)\). Is bovendien \(g(a)=L\), dan is \(f(g(x))\) continu in \(a\) (boek, §1.4). Ga steeds na of de binnenste functie alleen waarden geeft waar de buitenste gedefinieerd is. (79:55)
Voorbeeld: \(\sin x\) is overal continu en \(\sqrt y\) is continu voor \(y>0\) en rechtscontinu in \(0\). Dus \(\sin\sqrt y\) is continu voor \(y>0\) en rechtscontinu in \(0\), en \(\sqrt{\sin x}\) is op \([0,\pi]\) continu in \((0,\pi)\), rechtscontinu in \(0\) en linkscontinu in \(\pi\); net daarbuiten is \(\sin x<0\). (83:48)
Het boek noemt een functie in een randpunt van haar domein continu als ze daar eenzijdig continu is; zo is \(\sqrt y\) continu op \([0,\infty)\) (boek, §1.4).

Min-max-stelling (86:43)

Min-max-stelling (Max-Min Theorem): is \(f\) continu op het gesloten, begrensde interval \([c,d]\), dan zijn er \(p,q\in[c,d]\) met \(f(p)\le f(x)\le f(q)\) voor alle \(x\in[c,d]\). Dus \(f\) heeft een minimum \(f(p)\) en een maximum \(f(q)\) (boek, §1.4). (87:51)
Gevolg: \(f\) is begrensd: er is een \(K\) met \(|f(x)|\le K\) voor alle \(x\in[c,d]\) [bord, gereconstrueerd]. De kleinste zo'n \(K\) is \(\max\big(|f(p)|,|f(q)|\big)\), maar elke grotere is ook goed. (90:01)
Voorbeeld [bord, gereconstrueerd]: \(x^2\) op \([-1,2]\) heeft een minimum in \(p=0\) en een maximum in \(q=2\), dus \(|f(x)|\le4\); ook \(|f(x)|\le6\) klopt. (93:14)
Zonder continuïteit gaat het mis: \(\frac1x\) met \(f(0)=0\) op \([-1,1]\) is onbegrensd en heeft geen minimum of maximum. (95:37)
Zonder gesloten interval ook: \(\frac1x\) op \((0,1)\) is continu, maar onbegrensd (geen maximum), en \(f(x)>1\) terwijl \(1\) niet wordt aangenomen (geen minimum). (97:59)
Let op: de docent zegt dat deze functie ‘een kleinste waarde’ heeft. Die is er niet; \(1\) is alleen een ondergrens. (98:50)

Tussenwaardestelling (100:07)

Tussenwaardestelling (Intermediate-Value Theorem): is \(f\) continu op \([a,b]\) en ligt \(s\) tussen \(f(a)\) en \(f(b)\), dan is er minstens één \(c\in[a,b]\) met \(f(c)=s\) (boek, §1.4). De grafiek is een ononderbroken lijn en raakt dus elke tussenliggende hoogte. (101:24)
Let op: precies één \(c\) heb je alleen bij een strikt monotone functie; de docent zegt ‘monotoon’, maar een functie die ergens constant is, kan een waarde vaker aannemen. (103:57)
Samen met de min-max-stelling: \(f([a,b])=[f(p),f(q)]\); elke waarde tussen minimum en maximum wordt aangenomen. (104:57)
Voorbeeld: \(f(x)=x^3+x+1\) is continu met \(f(-1)=-1\) en \(f(0)=1\), dus er is een \(c\in[-1,0]\) met \(f(c)=0\). (108:08)
Halveringsmethode: \(f(-\tfrac12)=\tfrac38>0\), dus het nulpunt ligt in \((-1,-\tfrac12)\); ga zo verder met halveren. Eenvoudig en altijd bruikbaar bij een continue functie met een tekenwissel, maar er bestaan snellere methoden. (110:10)

4. Begrippen & definities

Insluitstelling: uit \(f\le g\le h\) rond \(a\) en \(\lim f=\lim h=L\) volgt \(\lim g=L\); ook voor \(x\to\pm\infty\).
Continu in \(a\) (\(a\) inwendig punt van het domein): \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\); anders discontinu.
Links-/rechtscontinu in \(c\): \(\lim_{x\uparrow c}f(x)=f(c)\) / \(\lim_{x\downarrow c}f(x)=f(c)\); in het boek \(x\to c^-\) en \(x\to c^+\).
Continue functie (boek): continu in elk punt van het domein, in een randpunt eenzijdig.
Begrensd op \([c,d]\): er is een \(K\) met \(|f(x)|\le K\) voor alle \(x\in[c,d]\).
Min-max-stelling: een continue functie op een gesloten, begrensd interval heeft daar een minimum en een maximum.
Tussenwaardestelling: een continue functie op \([a,b]\) neemt elke waarde tussen \(f(a)\) en \(f(b)\) minstens één keer aan.
Halveringsmethode: een nulpunt insluiten door het interval steeds te halveren en de helft met een tekenwissel te houden.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Zelf een onder- en bovengrens met dezelfde limiet kiezen voor de insluitstelling, en bij het vermenigvuldigen of delen van ongelijkheden op het teken letten. (19:28)
Bij de quotiëntregel eerst nagaan dat de limiet van de noemer niet \(0\) is. (31:16)
Een eerder bewezen limiet zoals \(\frac{\sin x}{x}\to1\) inzetten met de rekenregels. (36:46)
Een stuksgewijs gedefinieerde functie op continuïteit onderzoeken door in elk overgangspunt beide eenzijdige limieten met de functiewaarde te vergelijken; zo vind je ook fouten in de formule. (50:13)
Bij een samengestelde functie het domein bewaken: aan de rand is hooguit links- of rechtscontinuïteit mogelijk. (82:13)
Weten dat de min-max-stelling continuïteit én een gesloten, begrensd interval nodig heeft, en een voorbeeld geven van wat er anders misgaat. (89:50)
Met de tussenwaardestelling aantonen dat een nulpunt bestaat, en het door halveren insluiten. (100:45)

6. Oefenvragen

(a) Welke drie oppervlaktes geven voor \(0<x<\tfrac\pi2\) de ongelijkheid \(\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1\), en waarom geldt die ook voor \(-\tfrac\pi2<x<0\)? (b) Bereken \(\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\).
Bereken \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}\). Waarom kun je de quotiëntregel niet direct toepassen?
(a) Laat met eenzijdige limieten in \(t=1\) zien dat \(z(t)=h-\tfrac12gt^2\) voor \(1\le t<t_{\text{grond}}\) niet kan kloppen. (b) Is \(v(t)\) continu in \(t=1\) en in \(t_{\text{grond}}\)? Welke \(v(t_{\text{grond}})\) maakt \(v\) daar rechtscontinu?
Waar is \(\sqrt{\cos x}\) op \([-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]\) continu, en waar alleen links- of rechtscontinu?
(a) Geef voor \(x^2\) op \([-1,2]\) de punten \(p\) en \(q\) uit de min-max-stelling en de kleinst mogelijke \(K\). (b) Geef voor beide voorwaarden van de stelling een voorbeeld uit het college waarin die ontbreekt en de conclusie misgaat.
(a) Toon aan dat \(x^3+x+1\) precies één nulpunt heeft in \([-1,0]\). (b) Bepaal met twee halveringsstappen een interval van lengte \(\tfrac14\) waarin het ligt.

Antwoorden

(a) De driehoek \(O,(1,0),(\cos x,\sin x)\) (\(\tfrac12\sin x\)), de sector (\(\tfrac x2\), \(x\) in radialen) en de driehoek \(O,(1,0),(1,\tan x)\) (\(\tfrac12\tan x\)) liggen in elkaar. Links maal \(\tfrac2x\) en rechts maal \(\tfrac{2\cos x}{x}>0\) geeft de ongelijkheid. Voor \(x<0\): \(\cos(-x)=\cos x\) en \(\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}\). (b) \(0\le\frac{1-\cos x}{x^2}\le\frac{2}{x^2}\) voor \(x\neq0\), en \(\frac{2}{x^2}\to0\), dus de limiet is \(0\).
De noemer gaat naar \(0\), dus de quotiëntregel zegt niets. Maal \(\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\) (mag, want \(1+\cos x\approx2\)): \(\frac{1-\cos x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}\to1\cdot\frac02=0\).
(a) Van links \(h\), van rechts \(h-\tfrac12g\neq h\): een sprong. Met \(t-1\) zijn beide \(h\). (b) In \(t=1\) continu (beide kanten \(0\)). In \(t_{\text{grond}}\) links \(-\sqrt{2gh}\neq0\), rechts \(0\): discontinu. Met \(v(t_{\text{grond}})=0\) is \(v\) daar rechtscontinu.
Samenstelling van \(\cos\) (overal continu) en \(\sqrt y\) (continu voor \(y>0\), rechtscontinu in \(0\)). Op \((-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2)\) is \(\cos x>0\), dus daar continu. Net buiten het interval is \(\cos x<0\), dus in \(-\tfrac\pi2\) alleen rechtscontinu en in \(\tfrac\pi2\) alleen linkscontinu.
(a) \(p=0\), \(q=2\), kleinste \(K=4\). (b) Niet continu: \(\frac1x\) met \(f(0)=0\) op \([-1,1]\), onbegrensd zonder minimum of maximum. Niet gesloten: \(\frac1x\) op \((0,1)\), onbegrensd en zonder minimum, want \(f(x)>1\) en \(1\) wordt niet aangenomen.
(a) \(f\) is continu en \(f(-1)=-1<0<1=f(0)\), dus volgens de tussenwaardestelling is er een nulpunt. Omdat \(x^3\) en \(x\) strikt stijgend zijn, is \(f\) dat ook, dus er is er maar één. (b) \(f(-\tfrac12)=\tfrac38>0\) geeft \((-1,-\tfrac12)\); \(f(-\tfrac34)=-\tfrac{11}{64}<0\) geeft \((-\tfrac34,-\tfrac12)\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~14:11: Tot ongeveer 24:40 twijfelt de docent aan de oppervlakte van de kleine driehoek en stelt de afschatting \(\tfrac12\sin x\le\tfrac x2\) uit. Wat dan op het bord staat, is niet de definitieve afleiding; die volgt na de pauze (69:03).
~43:36: Welke functie de docent tekent als voorbeeld van een functie met één waarde voor elke \(x\) die toch niet continu is, wordt niet gezegd; kijk op het bord.