College 2: Michelson–Morley, de postulaten van Einstein, tijddilatatie en lengtecontractie

Maandag 7 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Vóór het college kun je introvragen invullen; laat het weten als je er niet in komt. (01:48)
Een medewerker van het practicum verzorgt de demonstraties. (06:13)
Tijddilatatie, lengtecontractie en de Lorentztransformatie staan duidelijk in het boek. (34:59)
Iedereen zou nu toegang tot Brightspace moeten hebben. Onder General Information: weekplanning, studiemateriaal en contactgegevens. (78:12)
Het course schedule is de makkelijkste ingang, met links naar extra notes en documenten over de experimenten. (78:53)
Eén werkcollegeopgave is huiswerk; inleveren via Brightspace, telt mee voor de bonus. (79:30)
Werkcollegegroepen zijn ingedeeld op mentorgroepnummer; de locaties voor de komende twee weken staan op Brightspace. (79:48)
In het rooster heet alles nu 'werkgroep 101' (fout). Er komen vijf werkgroepen met eigen namen (bijv. mentorgroep 3 → werkgroep 102); dan vind je je zaal in My Timetable. (80:02)
Zie je het werkcollege niet in My Timetable (mogelijk zelf toevoegen)? De docent zoekt het uit en meldt het volgende week. (80:43)
Eerste werkcollege: vandaag vanaf 13:15. (81:17)

2. Samenvatting

Na een interferentiedemonstratie (licht is een golf) en een herhaling van inertiaalstelsels en de ether bespreekt de docent het Michelson–Morley-experiment: geen verschil in lichtsnelheid tussen richtingen, dus geen ether. Einstein maakte daarom het relativiteitsprincipe en de constante lichtsnelheid tot postulaten en liet de Galileitransformatie los. Met een lichtklok in een rijdende trein volgt tijddilatatie (\(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\)), waarna de tweelingparadox kort aan bod komt. Het Hafele–Keating-experiment bevestigt tijddilatatie met atoomklokken in vliegtuigen. Tot slot volgt met dezelfde lichtklok, nu langs de bewegingsrichting, lengtecontractie (\(l = l_0/\gamma\)).

3. Aantekeningen per onderwerp

Demonstratie: interferentie (06:37)

Laser door een tralie (veel spleten; scherper patroon, komt bij optica): stippenpatroon op het scherm. Elke spleet werkt als puntbron; het laserlicht is coherent (dezelfde frequentie en een vaste faserelatie) en interfereert, net als watergolven. (08:16)
Conclusie: zo'n patroon krijg je alleen met golven, dus licht is een golf. Het experiment komt later terug met elektronen. (09:04)

Herhaling: inertiaalstelsels en de ether (10:24)

Inertiaalstelsel: stelsel waarin de eerste wet van Newton geldt: een voorwerp zonder externe kracht is in rust of beweegt rechtlijnig met constante snelheid. (11:39)
Wel: trein met constante snelheid. Niet: versnellende trein; draaimolen (een losgelegd deeltje rolt zonder kracht naar buiten); omgeving van een zwart gat. (12:18)
Afspraak: S' beweegt met \(u\) naar rechts (\(+x\)) t.o.v. S. (14:34)
Etherprobleem (college 1): met ether volgt \(u = c - c'\) (schendt het relativiteitsprincipe); zonder ether voorspelt Galilei ten onrechte \(c' = c - u\). (16:06)

Het Michelson–Morley-experiment (19:20)

'Beroemdste mislukte experiment': Michelson en Morley wilden de ether aantonen, met de aarde als trein. Bord: aarde in een baan om de zon, een half jaar later met tegengestelde snelheid \(u\); ether (streepjes) overal, mogelijk met eigen snelheid \(v_{\text{ether}}\). [bord, gereconstrueerd] (20:24)
Verwachting: langs de bewegingsrichting een andere \(c\) t.o.v. de aarde dan loodrecht erop; dat verschil meet je met interferentie. (22:42)
Interferometer: lichtbron → bundelsplitser (beamsplitter) → twee loodrechte armen met elk een spiegel → bundels terug naar een scherm. Een verschil in \(c\) tussen de armen verschuift het interferentiepatroon. [bord, gereconstrueerd] (23:31)
Op een draaitafel gemeten bij verschillende oriëntaties, dag/nacht en seizoenen: geen enkel effect. \(c\) is in elke richting gelijk: geen ether. (25:23)
Uitweg ether dragging (de aarde sleept de ether mee, zoals een trein zijn lucht) is door anderen uitgesloten met stellaire aberratie (waargenomen sterposities door het jaar heen). (26:49)
Conclusie: de Galileitransformatie moet worden losgelaten. (28:37)

De postulaten van Einstein (28:55)

'Geen ether' en de Lorentztransformaties waren al bekend; Einstein had de moed het relativiteitsprincipe voorop te zetten. (29:09)
Postulaat 1 (principle of relativity): de natuurwetten hebben in alle inertiaalstelsels dezelfde vorm. (29:27)
Postulaat 2: \(c\) is in alle inertiaalstelsels gelijk (dus geen ether). In het boek: in vacuüm, onafhankelijk van de beweging van de bron (boek, §37.1) (29:42)
Een postulaat neem je zonder bewijs aan; de hele speciale relativiteit volgt uit deze twee. (30:26)
De aarde is geen inertiaalstelsel (ze draait om de zon en om haar as), maar omdat \(c\) zo groot is, zijn zulke effecten meestal verwaarloosbaar. (31:40)
Eerst de natuurkundige gevolgen, daarna de Lorentztransformatie, die net als Galilei de coördinaten van inertiaalstelsels koppelt. (34:09)

Tijddilatatie (36:09)

Figuur: trein S' met \(u\) naar rechts t.o.v. S; in S' staan lichtbron en detector op één plek, een spiegel op afstand \(d\) loodrecht op de beweging (langs \(y\)). [bord, gereconstrueerd] (37:16)
Licht is de klok: het gaat met \(c\), en \(c\) is in elk stelsel gelijk. (38:17)
In S' (event 1: puls vertrekt; event 2: puls gedetecteerd) [bord, gereconstrueerd] (38:37)

\[\Delta t_0 = \frac{2d}{c}\]

Eigentijd (proper time): tijdsinterval tussen twee events die in een stelsel op dezelfde plaats gebeuren. (39:37)
In S loopt de puls schuin heen en terug; de detector schuift \(u\,\Delta t\) op, met \(\Delta t\) de duur gemeten in S. [bord, gereconstrueerd] (41:46)
\(d\) is in S en S' gelijk. Gedachte-experiment: messen in de trein snijden op afstand \(d\) in papier op het station; een verschil zou het relativiteitsprincipe schenden, want evengoed beweegt het station. (44:37)
Pythagoras op de helft van het traject, met \(l\) de lengte van één schuin stuk in S; het licht legt \(2l\) af met \(c\) [bord, gereconstrueerd] (45:52)

\[l = \sqrt{d^2 + \left(\frac{u\,\Delta t}{2}\right)^2}, \qquad \Delta t = \frac{2l}{c}\]

Kwadrateren en \(4d^2/c^2 = \Delta t_0^2\) herkennen [bord, gereconstrueerd] (48:39)

\[\Delta t^2 = \frac{4d^2}{c^2} + \frac{u^2}{c^2}\,\Delta t^2 \;\Rightarrow\; \Delta t^2\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right) = \Delta t_0^2\]

Tijddilatatie [bord, gereconstrueerd] (51:44)

\[\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}\]

Grafiek van \(\gamma\) tegen \(u\): \(\gamma \geq 1\), vrijwel 1 voor \(u \ll c\), sterk stijgend naar \(c\) toe [bord, gereconstrueerd]. Taylorbenadering, ook in het eerste werkcollege [bord, gereconstrueerd] (53:06)

\[\gamma \approx 1 + \frac12\,\frac{u^2}{c^2} + \mathcal{O}\!\left(\frac{u^4}{c^4}\right)\]

\(\gamma = 2\) bij \(u = \tfrac{\sqrt3}{2}c \approx 0{,}87c\); de docent noemde 0,75c, waar \(\gamma \approx 1{,}51\) (zie sectie 7). (54:11)
Het snelste door mensen gemaakte object (ca. 690.000 km/u \(= 0{,}00064c\)) heeft \(\gamma \approx 1{,}0000002\): dagelijks verwaarloosbaar, maar niet bij extreme precisie zoals gps. (55:47)
Betekenis: \(\Delta t > \Delta t_0\), dus een bewegende klok loopt langzamer (boek, §37.3). In het college viel hier 'tikt sneller' (zie sectie 7). (56:44)

De tweelingparadox (57:47)

Een tweeling blijft op aarde, de ander vliegt met constante, zeer hoge snelheid weg en terug. Met \(\gamma = 2\) en 40 jaar op de raketklok (\(\Delta t_0\)) verstrijkt op aarde 80 jaar. (58:11)
Paradox: beweging is relatief, dus waarom niet andersom? Wordt over twee weken in het werkcollege uitgewerkt met ruimtetijddiagrammen. (60:07)
Oplossing: de reiziger zit niet de hele tijd in één inertiaalstelsel; afremmen, omkeren en terugversnellen is niet-inertiaal. (60:16)

Het Hafele–Keating-experiment (82:25)

Een van de key experiments uit het course schedule op Brightspace. Hafele (docent natuurkunde) rekende uit dat atoomklokken tijddilatatie in een vliegtuig kunnen meten en deed het met astronoom Keating, voor ca. 8000 dollar. (82:37)
Vier atoomklokken (meerdere, om elkaar te controleren) vlogen oost- en westwaarts rond de wereld en werden vergeleken met de referentietijd op de grond. Gepubliceerd in Science. (85:03)
Voorspelling in ns t.o.v. de grond: gravitationeel deel (algemene relativiteit: hoogte in het zwaartekrachtpotentiaal) plus kinematisch deel (tijddilatatie). Kinematisch: oost \(-184\) ns, west \(+96\) ns. (87:26)
Tegengestelde tekens, want het grondstation is geen inertiaalstelsel. In het stelsel van het stilstaande aardmiddelpunt beweegt het grondstation oostwaarts mee: oostwaarts vlieg je sneller dan de grond (klok loopt achter), westwaarts langzamer (klok loopt voor). (90:14)
Totaal voorspeld: oost \(-40\) ns, west \(+275\) ns. De foutmarges van meting en voorspelling (die gemeten vluchtgegevens bevat) overlappen: consistent met de theorie. (91:44)

Lengtecontractie (93:43)

Zelfde lichtklok, maar de spiegel ligt nu langs de \(x\)-as (bewegingsrichting), op afstand \(l_0\) in S'. Weer een eigentijd [bord, gereconstrueerd] (95:43)

\[\Delta t_0 = \frac{2l_0}{c}\]

In S heet de afstand \(l\). Cruciaal: lengtes langs de beweging mogen verschillen, loodrecht erop niet. (98:20)
Heenweg (\(\Delta t_1\), spiegel schuift \(u\,\Delta t_1\) op) en terugweg (\(\Delta t_2\), detector komt \(u\,\Delta t_2\) tegemoet) [bord, gereconstrueerd] (101:55)

\[\Delta t_1 = \frac{l + u\,\Delta t_1}{c} \Rightarrow \Delta t_1 = \frac{l}{c-u}, \qquad \Delta t_2 = \frac{l - u\,\Delta t_2}{c} \Rightarrow \Delta t_2 = \frac{l}{c+u}\]

Totaal [bord, gereconstrueerd] (103:03)

\[\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{2lc}{c^2 - u^2} = \frac{2l}{c}\,\frac{1}{1 - u^2/c^2}\]

Vul \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = \gamma\,2l_0/c\) in en los op naar \(l\) [bord, gereconstrueerd] (107:22)

\[l = l_0\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} = \frac{l_0}{\gamma}\]

Een bewegend object is in de bewegingsrichting korter dan in zijn ruststelsel: lengtecontractie. (109:31)
Studentvragen: heen- en terugweg zijn aparte paren events (denk je een detector bij de spiegel in). De tijddilatatieformule mag hier, want een tijdsinterval heeft geen richting en \(\Delta t_0\) is een eigentijd. (112:18)

Vooruitblik (113:12)

De afleiding van de Lorentztransformatie volgt volgende keer; niet nodig voor het eerste werkcollege. (113:12)
De relativiteit van gelijktijdigheid (boek, §37.2) is in dit college niet behandeld.

4. Begrippen & definities

Coherent licht: golven met dezelfde frequentie (dus dezelfde golflengte) en een vaste faserelatie, zoals laserlicht.
Interferometer: verdeelt licht over twee loodrechte armen en laat de bundels interfereren; gevoelig voor verschillen in lichtsnelheid.
Postulaten van Einstein: (1) de natuurwetten zijn in alle inertiaalstelsels hetzelfde; (2) \(c\) is in alle inertiaalstelsels gelijk.
Eigentijd (proper time) \(\Delta t_0\): tijdsinterval tussen twee events op dezelfde plaats in een stelsel.
Tijddilatatie: \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\); een bewegende klok loopt langzamer.
Gamma-factor: \(\gamma = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2} \geq 1\).
Eigenlengte (proper length) \(l_0\): lengte gemeten in het ruststelsel van het object (boek, §37.4)
Lengtecontractie: \(l = l_0/\gamma\), alleen langs de bewegingsrichting.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Wat een inertiaalstelsel is, en wat er geen is (versnellende trein, draaimolen, aarde). (10:27)
De werking van de Michelson–Morley-interferometer; deels onderwerp van het werkcollege. (23:26)
Einsteins twee postulaten: je valt er in dit vak steeds op terug. (31:00)
Licht als klok gebruiken in gedachte-experimenten. (38:09)
Eigentijd herkennen; komt nog vaak terug. (40:00)
Goed nadenken over wélk tijdsinterval in welk stelsel; een bron van veel verwarring. (41:57)
De factor \(\gamma\) (komt heel vaak terug) en de Taylorbenadering, ook in het eerste werkcollege. (52:15)
De tweelingparadox, met ruimtetijddiagrammen in het werkcollege over twee weken. (60:07)
Lengtes loodrecht op de beweging veranderen niet, langs de beweging wel. (98:27)
Redeneren in events. (111:51)

6. Oefenvragen

Michelson en Morley gebruikten de aarde als 'trein' door de ether. (a) Hoe zou hun interferometer de beweging door de ether moeten aantonen, en wat vonden ze? Waarom redt ether dragging de ether niet? (b) Welke transformatie moet hierdoor worden losgelaten? Formuleer de twee postulaten waarop Einstein de speciale relativiteit bouwde.
Een lichtklok in S' heeft spiegelafstand \(d = 1{,}5\) m loodrecht op de beweging; S' beweegt met \(u = 0{,}60c\) t.o.v. S (\(c = 3{,}0\cdot10^8\) m/s). (a) Bereken \(\Delta t_0\) en \(\Delta t\) voor één keer heen en terug. Welke van de twee is de eigentijd, en waarom? (b) Waar gebruik je in de afleiding van tijddilatatie postulaat 2, en waarom is \(d\) in S en S' gelijk?
Het snelste door mensen gemaakte object beweegt met ongeveer \(0{,}00064c\) t.o.v. een inertiaalstelsel S. (a) Bepaal \(\gamma\) met de Taylorbenadering. (b) Tussen twee tikken van de boordklok zit volgens die klok precies één dag (86.400 s). Is de eigentijd hier het interval volgens de boordklok of dat in S? Hoeveel langer duurt dit interval in S?
Bij de tweelingparadox blijft de ene tweeling op aarde en vliegt de andere met constante, zeer hoge snelheid weg en weer terug, zó snel dat \(\gamma = 2\). (a) Hoe groot is \(u\)? Op de raketklok verstrijkt 40 jaar; hoeveel jaar verstrijkt er op aarde? (b) Voor de reiziger beweegt juist de aarde. Waarom is de aardtweeling toch niet de jongste?
Bij het Hafele–Keating-experiment voorspelde de tijddilatatie (het kinematische deel) t.o.v. de klok op de grond \(-184\) ns voor de oostwaartse vlucht en \(+96\) ns voor de westwaartse. Waarom hebben deze tegengestelde tekens, terwijl beide vliegtuigen t.o.v. de grond bewegen?
Een staaf ligt in rust in S' en is daar 2,0 m lang; S' beweegt met \(u = 0{,}80c\) t.o.v. S (\(c = 3{,}0\cdot10^8\) m/s). (a) Hoe lang is de staaf in S als hij langs \(x\) ligt, en als hij langs \(y\) ligt? (b) Maak van de staaf (langs \(x\)) een lichtklok: bron en detector aan het achterste uiteinde, spiegel aan het voorste. Bereken in S de tijd \(\Delta t_1\) voor de heenweg en \(\Delta t_2\) voor de terugweg, en controleer dat \(\Delta t_1 + \Delta t_2 = \gamma\,\Delta t_0\).

Antwoorden

(a) Een bundelsplitser verdeelt het licht over twee loodrechte armen met elk een spiegel; de teruggekaatste bundels interfereren op een scherm. Beweegt de aarde door de ether, dan is \(c\) t.o.v. de aarde langs de bewegingsrichting anders dan loodrecht erop, en verschuift het interferentiepatroon als je de opstelling draait (of met dag/nacht en seizoen). Gevonden: geen enkele verschuiving, dus \(c\) is in elke richting gelijk: geen ether. Een meegesleepte ether is door anderen uitgesloten met stellaire aberratie. (b) De Galileitransformatie: zonder ether is \(c\) in elk stelsel gelijk, terwijl Galilei \(c' = c - u\) voorspelt. Postulaat 1: de natuurwetten hebben in alle inertiaalstelsels dezelfde vorm. Postulaat 2: \(c\) is in alle inertiaalstelsels gelijk.
(a) \(\Delta t_0 = 2d/c = 3{,}0/(3{,}0\cdot10^8) = 1{,}0\cdot10^{-8}\) s; \(\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}36} = 1{,}25\), dus \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = 1{,}25\cdot10^{-8}\) s. \(\Delta t_0\) is de eigentijd: in S' gebeuren vertrek (event 1) en detectie (event 2) op dezelfde plaats, in S niet. Controle in S: de detector schuift \(u\,\Delta t = 2{,}25\) m op, dus één schuin stuk is \(l = \sqrt{1{,}5^2 + 1{,}125^2} = 1{,}875\) m en \(2l/c = 1{,}25\cdot10^{-8}\) s. (b) Postulaat 2: het licht gaat ook langs het schuine pad in S met \(c\), dus \(\Delta t = 2l/c\); daardoor werkt licht in beide stelsels als klok. \(d\) is gelijk door postulaat 1: messen op afstand \(d\) in de trein snijden in papier op het station, en een verschil zou het ene stelsel bevoorrechten, terwijl evengoed het station beweegt. Loodrecht op de beweging veranderen lengtes dus niet.
(a) \(\gamma \approx 1 + \tfrac12\,(6{,}4\cdot10^{-4})^2 = 1 + 2{,}0\cdot10^{-7}\), dus \(\gamma \approx 1{,}0000002\). (b) De boordklok: beide tikken gebeuren in het ruststelsel van het object op dezelfde plaats, dus \(\Delta t_0 = 1\) dag. In S is \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\), dus het interval is \((\gamma - 1)\,\Delta t_0 \approx 2{,}0\cdot10^{-7} \cdot 8{,}64\cdot10^4\) s \(\approx 0{,}018\) s langer. Dagelijks verwaarloosbaar, maar niet voor zeer precieze toepassingen zoals gps.
(a) \(1 - u^2/c^2 = 1/\gamma^2 = \tfrac14\), dus \(u = \tfrac{\sqrt3}{2}c \approx 0{,}87c\). De raketklok meet \(\Delta t_0 = 40\) jaar, dus op aarde verstrijkt \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = 80\) jaar. (b) De situatie is niet symmetrisch: de reiziger remt af, keert om en versnelt weer, en zit dus niet de hele reis in één inertiaalstelsel; de aardtweeling wel (bij benadering). Daarom mag je alleen vanuit de aarde zonder meer \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\) toepassen.
Het grondstation draait mee met de aarde en is dus geen inertiaalstelsel. In het inertiaalstelsel van het stilstaande aardmiddelpunt beweegt het grondstation oostwaarts mee. Oostwaarts is het vliegtuig sneller dan de grond (meer tijddilatatie: de klok loopt achter, \(-184\) ns), westwaarts langzamer dan de grond (minder tijddilatatie: de klok loopt voor, \(+96\) ns).
(a) \(\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}64} = 5/3\). Langs \(x\): \(l = l_0/\gamma = 1{,}2\) m. Langs \(y\): 2,0 m, want loodrecht op de beweging verandert niets. (b) In S is de staaf \(l = 1{,}2\) m lang. Heenweg (de spiegel loopt weg): \(\Delta t_1 = l/(c - u) = 1{,}2/(0{,}20 \cdot 3{,}0\cdot10^8) = 2{,}0\cdot10^{-8}\) s. Terugweg (de detector komt tegemoet): \(\Delta t_2 = l/(c + u) = 1{,}2/(1{,}80 \cdot 3{,}0\cdot10^8) \approx 0{,}22\cdot10^{-8}\) s. Samen \(\approx 2{,}22\cdot10^{-8}\) s. In S' is \(\Delta t_0 = 2l_0/c \approx 1{,}33\cdot10^{-8}\) s, en \(\gamma\,\Delta t_0 = \tfrac53 \cdot 1{,}33\cdot10^{-8} \approx 2{,}22\cdot10^{-8}\) s: klopt.

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~27:14: De uitleg van stellaire aberratie ging snel en is deels onduidelijk.
~50:02: Tussenstappen van het kwadrateren deels onverstaanbaar; gereconstrueerde vorm nakijken.
~54:11: De docent kon zijn aantekening niet lezen en noemde \(\gamma = 2\) bij 0,75c; correct is \(\approx 0{,}87c\). Dezelfde 0,75c keert terug bij de tweelingparadox (~58:44).
~54:36: Naam van het snelste object onverstaanbaar (vermoedelijk de Parker Solar Probe). De genoemde \(\gamma\) klinkt als \(1{,}0002\); uit de snelheid volgt \(1{,}0000002\), zoals de docent later zegt (~83:36).
~56:02: De docent zegt dat de bewegende klok 'sneller tikt'; volgens de formule en het boek loopt hij langzamer, zoals de docent later bij Hafele–Keating ook zegt.
~59:02: Getallen bij de tweelingparadox verward (40, 20 en 80 jaar); de notities geven één consistente versie.
~82:37: De docent noemt 'volgens mij 1973'; Hafele–Keating vond plaats in 1971 en verscheen in 1972 in Science.
~86:27: Tabel met voorspellingen en meetwaarden stond op de slide. Gepubliceerde meetwaarden: oost \(-59 \pm 10\) ns, west \(+273 \pm 7\) ns.
~91:10: De docent noemt NIST als referentie; in de publicatie was dat de US Naval Observatory.
~99:45: De docent corrigeert op aanwijzing van een student fouten in de afleiding van \(\Delta t_1\); nakijken.
~104:34: Algebra voor het gelijknamig maken verminkt; alleen het eindresultaat is zeker.