College 3: Het relativistische Dopplereffect, de Lorentztransformatie en ruimtetijddiagrammen

Maandag 14 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Log vóór het college in om de startvragen (twee korte vragen) in te vullen; dat kan ook nog in de eerste minuten. (03:08)
Volgend college is het laatste over speciale relativiteit; daarna begint kwantummechanica. (12:08)
Heb je de werkcollege-opgave over de afleiding van \(t'\) nog niet gemaakt, maak die dan alsnog. (82:19)
Lees de notes op Brightspace (herhaling en coördinatentransformaties) als je dat nog niet gedaan hebt. (90:12)
Werkcollege vandaag: opgaven over ruimtetijddiagrammen en de tweelingparadox met het Dopplereffect. Het volgende werkcollege behandelt de tweelingparadox opnieuw, met ruimtetijddiagrammen. (104:10)

2. Samenvatting

Na een herhaling van eigentijd en rustlengte leidt de docent het Dopplereffect af voor een bewegende luisteraar en een bewegende bron, telkens eerst voor geluid en dan voor licht. Bij geluid hangt de uitkomst af van wie er beweegt, omdat de lucht een voorkeursstelsel vormt; bij licht geven beide gevallen \(f_L = \sqrt{(c+u)/(c-u)}\,f_0\), zoals het relativiteitsprincipe vereist. Daarna volgt de Lorentztransformatie uit een minimaal aangepaste Galileitransformatie plus Einsteins postulaten, met de bijbehorende snelheidstransformatie. Tot slot komen ruimtetijddiagrammen aan bod: een Lorentz-boost kantelt de assen naar de lichtlijn, waaruit onder meer volgt dat gelijktijdigheid relatief is.

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling: eigentijd en rustlengte (06:52)

Eigentijd (proper time) \(\Delta t_0\): tijd tussen twee events op dezelfde plaats in een inertiaalstelsel. In elk ander inertiaalstelsel is het interval langer: \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\) met \(\gamma > 1\). (08:17)
Rustlengte \(l_0\): lengte van een object in het inertiaalstelsel dat met het object meebeweegt (daar is het in rust). In elk ander stelsel is het korter: \(l = l_0/\gamma\). (09:47)

Dopplereffect: bewegende luisteraar, geluid (13:05)

Opbouw: eerst een bewegende luisteraar, dan een bewegende bron, telkens voor geluid en voor licht. (13:05)
Afspraak: de luisteraar (of bron) beweegt naar de ander toe; de andere richting krijg je met een minteken in de snelheid. (14:45)
Figuur: bron rechts met frequentie \(f_0 = 1/T_0\) en golftoppen als streepjes; luisteraar links, die met snelheid \(v_L\) naar rechts beweegt (naar de bron toe) en \(f_L = 1/T_L\) hoort. [bord, gereconstrueerd] (14:01)
De golftoppen gaan met de geluidssnelheid \(v\) van de bron weg, dus \(\lambda = vT_0\). (16:33)
De luisteraar beweegt tegen de golftoppen in (relatieve snelheid \(v + v_L\)): \(T_L = \Delta t = \lambda/(v + v_L)\), dus [bord, gereconstrueerd] (18:21)

\[f_L = \frac{v + v_L}{\lambda} = \frac{v + v_L}{v}\,f_0\]

Beweeg je naar de bron toe, dan hoor je een hogere toon. (19:10)

Bewegende luisteraar, licht (19:41)

Er is geen universeel stelsel meer: begin een afleiding in de speciale relativiteit altijd met de keuze van de inertiaalstelsels. (20:00)
Keuze: S in rust t.o.v. de bron; S' beweegt met \(u = v_L\) naar rechts, mee met de luisteraar. Elke keuze mag, maar deze maakt het probleem het eenvoudigst. (20:10)
In S verandert alleen \(v \to c\): \(\lambda = cT_0\) en \(\Delta t = \lambda/(c + u)\). Bij geluid werkten we eigenlijk ook al in het stelsel van de bron. [bord, gereconstrueerd] (22:36)
De crux: \(T_L \neq \Delta t\), vanwege tijddilatatie. (24:19)
Welk interval is de eigentijd? Event 1 en 2: de luisteraar passeert twee opeenvolgende golftoppen. In S gebeurt dat op verschillende plaatsen, in S' op dezelfde plaats. Dus \(T_L = \Delta t_0 = \Delta t/\gamma\). (25:13)
Invullen [bord, gereconstrueerd] (27:07)

\[f_L = \frac{\gamma}{\Delta t} = \gamma\,\frac{c + u}{\lambda} = \gamma\,\frac{c + u}{c}\,f_0\]

Vereenvoudigen: vul \(\gamma\) in, breng \(c\) onder de wortel en gebruik \(c^2 - u^2 = (c+u)(c-u)\) [bord, gereconstrueerd] (28:22)

\[f_L = \frac{c + u}{\sqrt{c^2 - u^2}}\,f_0 = \frac{c + u}{\sqrt{(c+u)(c-u)}}\,f_0 = \sqrt{\frac{c + u}{c - u}}\,f_0\]

Beweeg je naar een lichtbron toe, dan neemt de frequentie toe en de golflengte af: verschuiving naar blauw. (31:41)

Bewegende bron, geluid (31:56)

De bron beweegt met \(v_B\) naar een stilstaande luisteraar; bronfrequentie \(f_0 = 1/T_0\). (32:41)
Tussen het uitzenden van twee golftoppen schuift de bron \(v_BT_0\) op, dus de golflengte wordt korter [bord, gereconstrueerd] (34:15)

\[\lambda = vT_0 - v_BT_0 = (v - v_B)\,T_0\]

De golftoppen komen met \(v\) op de stilstaande luisteraar af: \(T_L = \lambda/v\), dus [bord, gereconstrueerd] (36:06)

\[f_L = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{v - v_B}\,f_0\]

Ook hoger, maar anders dan bij een bewegende luisteraar: met \(v_L = v_B = v/10\) is \(f_L = \tfrac{11}{10}f_0\) (luisteraar beweegt) tegen \(\tfrac{10}{9}f_0\) (bron beweegt). Bij geluid maakt het uit wie beweegt. (37:08)

Bewegende bron, licht (37:56)

Keuze: de luisteraar staat stil in S; S' beweegt met \(u = v_B\), zodat de bron in S' stilstaat; \(v \to c\). (38:06)
In S: \(\lambda = c\,\Delta t - u\,\Delta t\), met \(\Delta t\) de tijd in S tussen het uitzenden van twee golftoppen. Pas op: \(\Delta t\) is niet zomaar \(T_0\). [bord, gereconstrueerd] (39:54)
In S' zendt de bron steeds vanaf dezelfde plaats uit; hier is \(T_0\) dus de eigentijd en geldt \(\Delta t = \gamma\,T_0\). (41:02)
Invullen en vereenvoudigen met hetzelfde trucje [bord, gereconstrueerd] (42:43)

\[f_L = \frac{c}{\lambda} = \frac{c}{(c - u)\,\gamma T_0} = \frac{1}{\gamma}\,\frac{c}{c - u}\,f_0 = \frac{\sqrt{c^2 - u^2}}{c - u}\,f_0 = \sqrt{\frac{c + u}{c - u}}\,f_0\]

Precies hetzelfde als bij een bewegende luisteraar. (45:28)
Verklaring: bij geluid is er een derde object, het medium (lucht), en daarmee een voorkeursstelsel. Licht heeft geen medium: volgens het relativiteitsprincipe kun je niet weten of jij of de bron beweegt, dus moeten beide formules gelijk zijn. (46:27)
Het boek schrijft \(f\) in plaats van \(f_L\); de formule geldt voor bron en waarnemer die elkaar naderen. Verwijderen ze zich van elkaar, vervang dan \(u\) door \(-u\) (boek, §37.6)
Notatie: \(T_0\) en \(f_0\) zijn periode en frequentie van de bron, niet automatisch de eigentijd. Bij de bewegende luisteraar is \(T_L\) de eigentijd, bij de bewegende bron \(T_0\). (63:27)

De Lorentztransformatie afleiden (64:11)

De afleiding gebruikt alleen Einsteins twee postulaten; ze is vooral wiskundig. (64:25)
Figuur: S met assen \(x\), \(y\) en oorsprong \(O\); S' met \(x'\), \(y'\) en \(O'\) beweegt met \(u\) in de \(+x\)-richting. De letters \(x\) en \(x'\) staan ook voor de plaatscoördinaten van een punt; zet desgewenst een dakje op de aslabels. [bord, gereconstrueerd] (64:50)
Event 1: de oorsprongen vallen samen, \((x, t) = (0, 0)\) en \((x', t') = (0, 0)\); op dat moment vertrekt bij \(x = 0\) een lichtdeeltje in de \(+x\)-richting. (67:08)
Event 2: het lichtdeeltje passeert een (gedacht) scherm loodrecht op de \(x\)-as, in S op \((x, t)\) en in S' op \((x', t')\). Doel: het verband tussen deze vier grootheden. (68:25)
Galilei (\(x = x' + ut\), \(x' = x - ut\)) voldoet niet: in een trein met \(\tfrac34 c\) zou je het lichtdeeltje met \(\tfrac14 c\) zien gaan, maar volgens postulaat 2 gaat het met \(c\). (69:51)
Minimale aanpassing: (1) lengtes zijn niet meer gelijk, dus vermenigvuldig met een nog onbekende factor \(\gamma\), volgens postulaat 1 dezelfde in beide richtingen, want je kunt niet zeggen wie beweegt; (2) tijden zijn niet meer gelijk (\(t'\) in plaats van \(t\)); (3) volgens postulaat 2 gaat het lichtdeeltje in beide stelsels met \(c\). [bord, gereconstrueerd] (72:20)

\[x = \gamma\,(x' + ut'),\qquad x' = \gamma\,(x - ut),\qquad x = ct,\qquad x' = ct'\]

Vermenigvuldig de eerste twee vergelijkingen en deel door \(xx'\) [bord, gereconstrueerd] (75:54)

\[1 = \gamma^2\left(1 + \frac{ut'}{x'} - \frac{ut}{x} - \frac{u^2\,tt'}{xx'}\right)\]

Met \(t/x = t'/x' = 1/c\) vallen de middelste termen tegen elkaar weg [bord, gereconstrueerd] (78:25)

\[1 = \gamma^2\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)\;\Rightarrow\;\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}\]

Met \(\gamma\) ligt ook \(t'\) vast (werkcollege-opgave). Samen geeft dat de Lorentztransformatie [bord, gereconstrueerd] (83:15)

\[x' = \gamma\,(x - ut),\qquad y' = y,\qquad z' = z,\qquad t' = \gamma\left(t - \frac{ux}{c^2}\right)\]

Loodrecht op de beweging verandert niets, net als bij Galilei; dat was ook nodig in de afleiding van tijddilatatie. (83:54)

Snelheidstransformatie (86:03)

Galilei gaf \(v'_x = v_x - u\). De Lorentzversie (afleiding in het boek; je mag de formule ook onthouden) [bord, gereconstrueerd] (boek, §37.5) (86:51)

\[v'_x = \frac{v_x - u}{1 - u v_x/c^2}\]

Controle met \(v_x = c\): \(v'_x = (c - u)/(1 - u/c) = c\). Licht gaat in elk stelsel met \(c\). [bord, gereconstrueerd] (87:14)

Ruimtetijddiagrammen (89:26)

Opstap (zie de notes op Brightspace): een rotatie van de assen over een hoek \(\theta\) is een coördinatentransformatie [bord, gereconstrueerd] (90:36)

\[x' = \cos\theta\,x + \sin\theta\,y,\qquad y' = -\sin\theta\,x + \cos\theta\,y\]

In matrixvorm, met \(R\) de rotatiematrix [bord, gereconstrueerd] (92:34)

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = R\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix},\qquad R = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\]

Let op: deze \(R\) draait de assen; hij geeft de coördinaten van een vaste vector in het gedraaide assenstelsel. In het vak Lineaire algebra draait de rotatiematrix de vector zelf; daar staat het minteken bij de sinus rechtsboven in plaats van linksonder.
De Lorentztransformatie is ook een coördinatentransformatie, maar geen rotatie, en in het \((x, t)\)-vlak in plaats van het \((x, y)\)-vlak. (93:50)
Ruimtetijddiagram: \(x\) horizontaal en \(ct\) verticaal, zodat beide assen in meter zijn. Een event is een punt; een lichtdeeltje uit de oorsprong volgt de lijn \(x = ct\) onder 45°. [bord, gereconstrueerd] (94:15)
Met \(\tau = ct\) en \(\beta = u/c\) wordt de transformatie symmetrisch; de matrix heet de Lorentz-boost \(B\) [bord, gereconstrueerd] (95:47)

\[\tau' = \gamma\,(\tau - \beta x),\qquad x' = \gamma\,(x - \beta\tau),\qquad \begin{pmatrix} \tau' \\ x' \end{pmatrix} = B\begin{pmatrix} \tau \\ x \end{pmatrix},\qquad B = \gamma\begin{pmatrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \end{pmatrix}\]

Let op: \(\tau\) is hier \(ct\) (een tijd uitgedrukt in meter), niet de eigentijd. In veel boeken staat \(\tau\) juist voor de eigentijd; die heet hier \(\Delta t_0\).
Effect in het diagram: de \(ct'\)-as (\(x = \beta\,ct\)) en de \(x'\)-as (\(ct = \beta x\)) kantelen over dezelfde hoek naar de 45°-lijn toe; de assen worden rond de lichtlijn samengedrukt. Een lichtdeeltje blijft op dezelfde lijn: \(x' = ct'\). [bord, gereconstrueerd] (99:13)
Tijddilatatie in het diagram: twee events op dezelfde plaats in S, met tussentijd \(\Delta t_0\), liggen in S' verder uit elkaar in de tijd. [bord, gereconstrueerd] (100:31)
Bij een rotatie blijft de lengte van een vector gelijk; bij een Lorentztransformatie niet, maar een andere grootheid blijft wel invariant. Dat is een krachtig rekenmiddel en komt volgend college. (101:24)
Relativiteit van gelijktijdigheid: twee events die in S gelijktijdig zijn op verschillende plaatsen, krijgen in S' verschillende \(t'\) en zijn daar dus niet gelijktijdig. [bord, gereconstrueerd] (103:28)
Hieraan wennen kost tijd. Met ruimtetijddiagrammen kun je tijddilatatie, lengtecontractie en ook de tweelingparadox begrijpen. (104:07)

Vooruitblik (104:46)

Volgend college: de ruimtetijd opnieuw, nu ook met \(y'\) en \(z'\), nuttig voor impuls en energie; daarna een blik op de algemene relativiteit. (104:53)

4. Begrippen & definities

Eigentijd (proper time) \(\Delta t_0\): tijdsinterval tussen twee events op dezelfde plaats in een inertiaalstelsel.
Rustlengte (eigenlengte, proper length) \(l_0\): lengte van een object in het inertiaalstelsel waarin het stilstaat.
Dopplereffect: frequentieverschuiving door relatieve beweging van bron en waarnemer. Voor licht, bij naderen: \(f_L = \sqrt{(c+u)/(c-u)}\,f_0\), ongeacht wie beweegt.
Lorentztransformatie: \(x' = \gamma(x - ut)\), \(y' = y\), \(z' = z\), \(t' = \gamma(t - ux/c^2)\); vervangt de Galileitransformatie.
Snelheidstransformatie (Lorentz): \(v'_x = (v_x - u)/(1 - uv_x/c^2)\).
Coördinatentransformatie: voorschrift dat de coördinaten van een punt of event in het ene assenstelsel omzet naar die in een ander, bijvoorbeeld een rotatie.
Ruimtetijddiagram (spacetime diagram): diagram met \(x\) horizontaal en \(ct\) verticaal; events zijn punten, licht beweegt langs lijnen onder 45°.
Lorentz-boost \(B\): de Lorentztransformatie als matrix op \((ct, x)\): \(B = \gamma\begin{pmatrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \end{pmatrix}\) met \(\beta = u/c\).
Relativiteit van gelijktijdigheid: events die in het ene inertiaalstelsel gelijktijdig zijn op verschillende plaatsen, zijn dat in een ander inertiaalstelsel niet.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Ken de definities van eigentijd en rustlengte paraat; dat helpt bij elk probleem. (08:27)
Begin elke afleiding in de speciale relativiteit met een slimme keuze van inertiaalstelsels, bijvoorbeeld meebewegend met bron of luisteraar. (20:00)
Vraag je bij tijddilatatie altijd eerst af wat de eigentijd is (twee events op dezelfde plaats). (25:03)
Ken \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\) en de definitie van \(\gamma\) uit je hoofd. (26:49)
Het trucje \(c^2 - u^2 = (c+u)(c-u)\) komt heel vaak voor. (29:31)
Pas op met notatie: de bronperiode \(T_0\) is niet automatisch de eigentijd. (63:42)
Lorentztransformatie: op het tentamen geen kale afleiding, maar met gegeven vergelijkingen en hints moet je de afleiding kunnen reproduceren. (85:13)
Ruimtetijddiagrammen: hiermee begrijp je tijddilatatie, lengtecontractie en de tweelingparadox; oefen ermee in de werkcolleges. (104:19)

6. Oefenvragen

Een geluidsbron heeft frequentie \(f_0 = 440\) Hz; de geluidssnelheid is \(v = 340\) m/s. Bereken \(f_L\) als (a) de luisteraar met 34 m/s naar de stilstaande bron beweegt, (b) de bron met 34 m/s naar de stilstaande luisteraar beweegt. Waarom verschillen de antwoorden, terwijl bron en luisteraar elkaar in beide gevallen met 34 m/s naderen?
Een ruimteschip vliegt met \(u = 0{,}60c\) naar een lichtbron die in haar ruststelsel \(f_0 = 5{,}0\cdot10^{14}\) Hz uitzendt. (a) Neem S in rust t.o.v. de bron en S' mee met het schip. Welk tijdsinterval is de eigentijd: de periode \(T_L\) die het schip meet, of de tijd \(\Delta t\) in S tussen het passeren van twee golftoppen? Bereken \(f_L\). (b) Beschouw nu het schip als stilstaand en de bron als bewegend, met \(0{,}60c\) naar het schip toe. Welk interval is nu de eigentijd? Laat zien dat je dezelfde \(f_L\) vindt, en leg uit waarom dat moet.
S' beweegt met \(u\) in de \(+x\)-richting t.o.v. S. Op \(t = t' = 0\) vallen de oorsprongen samen en vertrekt een lichtdeeltje in de \(+x\)-richting; bij event 2 passeert het lichtdeeltje een scherm, in S op \((x, t)\) en in S' op \((x', t')\). (a) De afleiding van de Lorentztransformatie begint met \(x = \gamma\,(x' + ut')\), \(x' = \gamma\,(x - ut)\), \(x = ct\) en \(x' = ct'\). Waarom staat in de eerste twee vergelijkingen dezelfde \(\gamma\), en waar komen \(x = ct\) en \(x' = ct'\) vandaan? Leid \(\gamma\) af door de eerste twee vergelijkingen met elkaar te vermenigvuldigen. (b) Neem \(u = 0{,}80c\); in S passeert het lichtdeeltje \(x = 600\) m op \(t = 2{,}0\) µs. Bereken \(x'\) en \(t'\) en controleer dat \(x' = ct'\) (\(c = 3{,}0\cdot10^8\) m/s).
Een trein (S') rijdt met \(u = 0{,}75c\) in de \(+x\)-richting t.o.v. het perron (S). (a) Een deeltje beweegt in S met \(v_x = 0{,}90c\). Bereken \(v'_x\) met de Lorentz- en met de Galileitransformatie. (b) Waarom kan de Galileitransformatie bij zulke snelheden niet kloppen? Gebruik een lichtdeeltje dat in S met \(v_x = c\) beweegt.
In een ruimtetijddiagram van S (\(x\) horizontaal, \(ct\) verticaal) beweegt S' met \(\beta = u/c = 0{,}60\). (a) Welke lijnen in het diagram zijn de \(ct'\)-as en de \(x'\)-as? (b) Event A ligt in S op \((\tau, x) = (0, 0)\) en event B op \((\tau, x) = (0, 300\ \text{m})\), met \(\tau = ct\). Bereken met de Lorentz-boost \(B\) de coördinaten \((\tau', x')\) van B. Zijn A en B in S' gelijktijdig? Leg uit met het diagram.

Antwoorden

(a) \(f_L = \tfrac{v + v_L}{v}\,f_0 = \tfrac{374}{340} \cdot 440 = \tfrac{11}{10} \cdot 440 = 484\) Hz. (b) \(f_L = \tfrac{v}{v - v_B}\,f_0 = \tfrac{340}{306} \cdot 440 = \tfrac{10}{9} \cdot 440 \approx 489\) Hz. De lucht is een medium en dus een voorkeursstelsel: het maakt uit wie t.o.v. de lucht beweegt.
(a) In S is \(\lambda = cT_0\) en passeert het schip twee golftoppen in \(\Delta t = \lambda/(c + u) = T_0/1{,}60\). Die twee events gebeuren in S' op dezelfde plaats (bij het schip), dus \(T_L\) is de eigentijd: \(T_L = \Delta t/\gamma = T_0/(1{,}60 \cdot 1{,}25) = T_0/2{,}0\). Dus \(f_L = 2{,}0\,f_0 = 1{,}0\cdot10^{15}\) Hz (verschuiving naar blauw). (b) Nu is S het stelsel van het schip en beweegt S' mee met de bron. De bron zendt in S' steeds vanaf dezelfde plaats uit, dus nu is \(T_0\) de eigentijd en \(\Delta t = \gamma\,T_0 = 1{,}25\,T_0\). Dan \(\lambda = (c - u)\,\Delta t = 0{,}40c \cdot 1{,}25\,T_0 = 0{,}50\,cT_0\), dus \(f_L = c/\lambda = 2{,}0\,f_0 = 1{,}0\cdot10^{15}\) Hz. Beide volgen uit \(f_L = \sqrt{(c+u)/(c-u)}\,f_0 = \sqrt{1{,}60/0{,}40}\,f_0\). Licht heeft geen medium; volgens het relativiteitsprincipe kun je niet bepalen of het schip of de bron beweegt, dus de uitkomst moet gelijk zijn.
(a) Volgens postulaat 1 kun je niet zeggen wie beweegt, dus de factor is in beide richtingen dezelfde. Volgens postulaat 2 gaat het lichtdeeltje in beide stelsels met \(c\): \(x = ct\) en \(x' = ct'\). Vermenigvuldigen en delen door \(xx'\) geeft \(1 = \gamma^2\left(1 + \frac{ut'}{x'} - \frac{ut}{x} - \frac{u^2\,tt'}{xx'}\right)\). Met \(t/x = t'/x' = 1/c\) vallen de middelste termen tegen elkaar weg en wordt de laatste \(u^2/c^2\), dus \(1 = \gamma^2\,(1 - u^2/c^2)\) en \(\gamma = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}\). (b) \(\gamma = 5/3\) en \(ut = 0{,}80 \cdot 3{,}0\cdot10^8 \cdot 2{,}0\cdot10^{-6} = 480\) m, dus \(x' = \tfrac53\,(600 - 480) = 200\) m. Verder \(ux/c^2 = 1{,}6\) µs, dus \(t' = \tfrac53\,(2{,}0 - 1{,}6) \approx 0{,}67\) µs. Controle: \(ct' = 3{,}0\cdot10^8 \cdot \tfrac23\cdot10^{-6} = 200\) m \(= x'\).
(a) Lorentz: \(v'_x = \dfrac{0{,}90 - 0{,}75}{1 - 0{,}75 \cdot 0{,}90}\,c = \dfrac{0{,}15}{0{,}325}\,c \approx 0{,}46c\). Galilei: \(v'_x = 0{,}90c - 0{,}75c = 0{,}15c\). (b) Voor een lichtdeeltje geeft Galilei \(c - 0{,}75c = \tfrac14 c\) in de trein, in strijd met postulaat 2. De Lorentzformule geeft \(v'_x = (c - u)/(1 - u/c) = c\): licht gaat in elk stelsel met \(c\).
(a) De \(ct'\)-as (\(x' = 0\)) is de lijn \(x = \beta\,ct = 0{,}60\,ct\), de \(x'\)-as (\(t' = 0\)) de lijn \(ct = \beta x = 0{,}60\,x\). Beide kantelen over dezelfde hoek naar de lichtlijn \(x = ct\) toe. (b) \(\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}36} = 1{,}25\), dus \(\tau'_B = \gamma\,(\tau - \beta x) = 1{,}25\,(0 - 0{,}60 \cdot 300) = -225\) m en \(x'_B = \gamma\,(x - \beta\tau) = 375\) m; A blijft \((0, 0)\). Omdat \(\tau'_B \neq 0\) zijn A en B in S' niet gelijktijdig: B gebeurt in S' \(225/c = 0{,}75\) µs vóór A. In het diagram liggen A en B op de horizontale lijn \(ct = 0\), die niet samenvalt met de gekantelde \(x'\)-as; bij \(x = 300\) m ligt de \(x'\)-as op \(ct = 180\) m, dus B ligt eronder en heeft \(\tau' < 0\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~14:01: Links en rechts in de Dopplerfiguur zijn hier zo gekozen dat de luisteraar (en dus S') in de \(+x\)-richting beweegt; nakijken hoe bron en luisteraar op het bord stonden.
~30:44: Studentvraag over het verband tussen \(\Delta t_0\) en \(\Delta t\) deels onverstaanbaar; de docent controleert daarna (~30:58) zijn afleiding en vindt geen fout.
~39:56: De formule voor de golflengte bij de bewegende bron is slecht verstaanbaar; gereconstrueerd als \(\lambda = (c - u)\,\Delta t\).
~63:27: Notatiewaarschuwing over \(T_0\) na de pauze; nakijken welke symbolen (\(T_0\), \(\Delta t_0\)) op het bord stonden.
~65:14: De uitleg over de assen van S en S' is zonder het bord moeilijk te volgen.
~77:15 en ~79:59: De docent corrigeert na opmerkingen van studenten fouten bij het uitwerken van het product en het delen door \(xx'\); tussenstappen nakijken.
~83:11: De docent schreef eerst de inverse transformatie op en verving die door \(x' = \gamma(x - ut)\); nakijken welke vormen uiteindelijk op het bord stonden.
~84:31 en ~84:56: Studentvragen (onder meer over dimensies en \(z\)) onverstaanbaar.
~87:00: Snelheidstransformatie slecht verstaanbaar; formule aangevuld uit het boek.
~88:12: De vereenvoudiging van \((c - u)/(1 - u/c)\) ging samen met studenten en is onverstaanbaar; alleen de uitkomst \(c\) is zeker.
~93:21: De docent corrigeert tekens in de rotatieformules ('twee keer min kan niet'); tekens van \(R\) nakijken.
~96:48: Fout bij het herschrijven naar \(\tau = ct\) (vergeten \(c\)) gecorrigeerd; nakijken.
~99:28: De docent zegt dat zijn tekening van de gekantelde assen niet helemaal klopt.
~100:43: Welk interval bij tijddilatatie in het diagram getekend is, blijkt niet duidelijk uit de audio.
~102:45: Studentvraag onverstaanbaar; de docent zegt dat hij 'de mist in ging' en bespreekt dan gelijktijdigheid met een oranje markering in de figuur; nakijken.