College 6: De Broglie-golven, elektronendiffractie, de onzekerheidsrelaties van Heisenberg, atoomspectra en het Bohrmodel

Maandag 5 oktober 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Kijk vóór volgend college nog eens naar rekenen met complexe getallen (reëel en imaginair deel, optellen, vermenigvuldigen): de kwantummechanische golffunctie is een complexe functie. (10:45)
In het vakrooster (course schedule) op Brightspace staat per college welke paragrafen uit het boek erbij horen. Die zijn tentamenstof; lees ze bij voorkeur vóór het college. Niet alle paragrafen van een hoofdstuk horen bij de stof. (11:34)
Volgend college is het laatste vóór het tussentijds tentamen; de stof voor dat tentamen is alles tot en met dat college. (12:14)
Lees de sleutelexperimenten (Key Experiments) in de laatste kolom van het vakrooster: korte beschrijvingen, deels gebaseerd op Wikipedia. Lees ook die over comptonverstrooiing en kathodestralen, die vorige keer niet aan bod kwamen. Eén keer goed doorlezen is meestal genoeg. (12:53)

2. Samenvatting

Deeltjes gedragen zich ook als golven: De Broglie gaf elk deeltje een golflengte \(\lambda_{dB} = h/p\), die voor een golfbal onmeetbaar klein is, maar voor een elektron versneld over 50 V ongeveer de afstand tussen atomen in een kristal. Elektronendiffractie aan een kristal en de dubbelspleet met losse elektronen bevestigen dat. Uit diffractie van deeltjes aan een enkele spleet volgt de onzekerheidsrelatie van Heisenberg, \(\Delta y\,\Delta p_y \geq \hbar/2\), met een analoge relatie voor energie en tijd. Het Bohrmodel, waarin de De Broglie-golf van het elektron een geheel aantal keer in een cirkelbaan past, verklaart waarom atomen stabiel zijn en gassen scherpe spectraallijnen uitzenden, en voorspelt de lijnen van waterstof op 0,1% nauwkeurig.

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling: startvragen (06:26)

Fotoelektrisch effect: meer intensiteit verandert de maximale kinetische energie \(hf - \phi\) (en dus de remspanning (stopping potential)) niet, maar geeft meer elektronen per seconde. (07:05)
Energieschalen, oplopend: fotoelektrisch effect (enkele eV, afhankelijk van de uittree-energie (work function)), comptonverstrooiing (röntgenstraling), paarproductie (bijna gammastraling). Alles ver onder 1 J; 1 mL water 1 °C verwarmen kost al 4,2 J, dus 1 mL water bevat enorm veel moleculen. (08:01)
Golflengte is omgekeerd evenredig met energie. (09:29)

Sleutelexperimenten: kathodestralen en comptonverstrooiing (13:53)

Kathodestralen (cathode rays), vóór 1900: in een vacuümbuis met een hoge spanning tussen kathode en anode ontstaan stralen die rechtdoor gaan en schaduwen werpen; de spanning versnelt ze, dus ze zijn geladen. Thomson toonde aan dat het elektronen zijn: de ontdekking van het elektron. (13:58)
Comptonverstrooiing: röntgenstraling die aan een kristal verstrooit, krijgt een kleine golflengteverschuiving. Een berekening met fotonen als deeltjes met energie \(hf\) voorspelde die precies: een succes voor Einsteins aanname. (16:20)

De golflengte van De Broglie (18:09)

Voor licht: \(E = hf\) en \(p = E/c = h/\lambda\), dus \(\lambda = h/p\). [bord, gereconstrueerd] (18:43)
Deeltjes hebben ook impuls (niet-relativistisch \(p = mv\); alles langs \(x\)). De Broglie: geef ook een deeltje een golflengte [bord, gereconstrueerd] (20:54)

\[\lambda_{dB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\gamma mv} \qquad \left(\text{niet-relativistisch: } \frac{h}{mv}\right)\]

Het boek schrijft \(\lambda\) zonder index (boek, §39.1)
Formeel een rekentruc; het inzicht was dat De Broglie hem serieus nam. (21:15)

Voorbeeld: golfbal (21:37)

\(m = 45\) g \(= 0{,}045\) kg, slagsnelheid 290 km/u \(\approx 80\) m/s; klassiek \(p = mv\) [bord, gereconstrueerd] (22:50)

\[\lambda_{dB} = \frac{6{,}6\cdot10^{-34}}{0{,}045\cdot 80} \approx 1{,}8\cdot10^{-34}\ \text{m}\]

Een atoom is ca. \(10^{-10}\) m: voor een golfbal is \(\lambda_{dB}\) onmeetbaar klein. (23:43)
Let op: dit is niet kleiner dan alles in het universum (de Plancklengte is ca. \(1{,}6\cdot10^{-35}\) m), wel veel kleiner dan alles wat we kunnen meten. (23:28)

Voorbeeld: versneld elektron (24:03)

Elektron versneld over 50 V: \(K = q_eV = 50\) eV. In eV hoef je de lading niet in te vullen; in joule wel (\(q_e = 1{,}6\cdot10^{-19}\) C). Het boek schrijft \(e\) voor \(q_e\). [bord, gereconstrueerd] (24:46)
Is het relativistisch? Optie 1: neem aan van niet, dan \(K = \tfrac12 mv^2 = p^2/2m\) en [bord, gereconstrueerd] (26:39)

\[v = \sqrt{\frac{2K}{m}} \approx 4\cdot10^{6}\ \text{m/s}, \qquad p = \sqrt{2mK}\]

Dan is \(v/c \approx 0{,}01\), dus \(\gamma \approx 1\). (28:41)
Optie 2, sneller: vergelijk \(K\) met de rustenergie \(mc^2\), voor een elektron 511 keV. Uit \(K = (\gamma - 1)\,mc^2\) volgt [bord, gereconstrueerd] (29:23)

\[\gamma = 1 + \frac{K}{mc^2} = 1 + \frac{50\ \text{eV}}{511\ \text{keV}} \approx 1\]

Dus \(p = mv\) volstaat, en \(\lambda_{dB} = h/mv \approx 0{,}17\) nm: de grootte van een atoom en de afstand tussen atomen in een kristal. (31:54)
Algemeen, voor een elektron versneld over \(V\): \(\lambda = h/\sqrt{2mq_eV}\) (boek, §39.1)

Elektronendiffractie (32:44)

Diffractie aan een kristal (komt bij Optica): onder bepaalde hoeken is het padlengteverschil tussen golven die aan opeenvolgende atomen weerkaatsen precies één golflengte; ze zijn dan in fase en interfereren constructief. Al bekend voor röntgenstraling (golflengte rond 0,1 nm). (33:53)
Sleutelexperiment: hetzelfde met elektronen. Elektronen uit een stukje materiaal worden tussen twee elektroden versneld tot een bundel en op een kristal geschoten; een detector staat onder een instelbare hoek. Bij 54 V is de intensiteit onder 50° veel groter: constructieve interferentie, in overeenstemming met de berekende golflengte. De eerste toets van De Broglies theorie. (35:07) In het boek: Davisson en Germer (1927), met een nikkelkristal (boek, §39.1)
Dia: het diffractiepatroon van röntgenstraling lijkt sterk op dat van elektronen met dezelfde golflengte. Elektronen hebben dus een golflengte: een pijler onder de kwantummechanica. (36:31)

Dubbelspleet met elektronen (37:28)

Youngs dubbelspleet met elektronen (dia: artikel uit 2013). Ook als je de elektronen één voor één stuurt, komen ze elk als één tik aan; na lang genoeg wachten ontstaat toch een interferentiepatroon. (37:47)
Het elektron gaat dus niet door de linker- of de rechterspleet, maar door allebei, en interfereert met zichzelf: deeltjes zijn ook golven en kunnen op meerdere plaatsen tegelijk zijn. (38:42)

Diffractie aan een enkele spleet (41:26)

De onzekerheidsrelaties zijn later ontwikkeld, maar volgen direct uit 'deeltjes zijn golven'. (41:31)
Figuur: vlakke golven langs \(x\) door een spleet met breedte \(a\); erachter buigen ze af. Op een ver scherm een groot centraal maximum met kleinere maxima ernaast; ca. 85% van de intensiteit zit in het centrale maximum. [bord, gereconstrueerd] (42:30)
Eerste minimum onder hoek \(\theta_1\), gemeten vanaf de oorspronkelijke bewegingsrichting (Optica, volgend semester) [bord, gereconstrueerd] (44:06)

\[\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a}, \qquad \theta_1 \approx \frac{\lambda}{a} \quad (\lambda \ll a)\]

Deeltjes met ongeveer dezelfde snelheid en richting (één golflengte) geven hetzelfde patroon. Intensiteit betekent nu aantal deeltjes: van 100 deeltjes landen er ca. 85 in het centrale maximum. (45:30)
Vóór de spleet hebben de deeltjes alleen \(p_x\); erna hebben sommige ook \(p_y\), anders kunnen ze niet naast het midden landen. (47:23)

De onzekerheidsrelatie van Heisenberg (65:30)

Figuur: een deeltje dat precies in het eerste minimum landt, met impulscomponenten \(p_x\) en \(p_y\); kleine hoek, dus \(\tan\theta \approx \theta\) [bord, gereconstrueerd] (65:45)

\[\tan\theta_1 = \frac{p_y}{p_x} \approx \theta_1 = \frac{\lambda}{a}\]

De inkomende deeltjes hebben \(p_x = h/\lambda\) (De Broglie), dus [bord, gereconstrueerd] (67:31)

\[p_y = \frac{\lambda}{a}\,p_x = \frac{\lambda}{a}\cdot\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{a}\]

Het is een kansproces, dus kijk naar gemiddelden: \(\langle p_y\rangle = 0\) (gemiddeld landen de deeltjes in het midden, net als vóór de spleet), maar de spreiding neemt toe: \(\Delta p_y \approx h/a\), ruwweg de breedte van het centrale maximum. (69:00)
Positie bij de spleet: gemiddeld \(y = 0\), met onzekerheid \(\Delta y \approx a\). (70:36)
Het product, en omdat de onzekerheid altijd groter kan zijn [bord, gereconstrueerd] (71:21)

\[\Delta y\,\Delta p_y \approx h \;\;\Rightarrow\;\; \Delta y\,\Delta p_y \gtrsim h\]

Betekenis: wie de positie in \(y\) beperkt (de deeltjes door een smalle spleet perst), betaalt met een grotere onzekerheid in \(p_y\); vóór de spleet was \(\Delta p_y = 0\). (72:24)
De correcte afleiding, met standaarddeviaties en kansrekening, geeft [bord, gereconstrueerd] (74:08)

\[\Delta y\,\Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}\]

Dit is fundamenteel en algemeen: ook \(\Delta x\,\Delta p_x \geq \hbar/2\), maar alleen voor dezelfde richting; tussen \(\Delta y\) en \(\Delta p_x\) bestaat geen relatie. (74:47)
Het \(\geq\)-teken: je kunt de impuls altijd slechter kennen (bijv. door slecht te meten), nooit beter dan deze grens. (76:05)

Energie en tijd: lasers (75:30)

Ook geldt (niet afgeleid) [bord, gereconstrueerd] (75:38)

\[\Delta E\,\Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]

Weet je heel precies wanneer iets is, dan weet je de energie minder goed. (75:48)
Een continue laser (continuous wave laser) heeft één scherp bepaalde golflengte: een smalle piek in intensiteit tegen \(\lambda\), dus een kleine \(\Delta E\) (\(E = hf\)). Een lijnbreedte (linewidth) van 1 MHz, bij een frequentie van honderden THz, geeft \(\Delta E = h\,\Delta f = 6{,}6\cdot10^{-28}\) J. [bord, gereconstrueerd] (78:08)
Snijd je uit dezelfde laser een heel kort pulsje (femtosecondelaser), dan wordt het spectrum breed. Bij 532 nm (groen) en \(\Delta t = 1\) fs: \(\Delta E \geq \hbar/2\Delta t \approx 5{,}3\cdot10^{-20}\) J, een breedte van ca. 75 nm in golflengte. (79:20)
Let op: de docent noemt eerst een breedte van honderden nanometers; uit de berekening volgt ca. 75 nm. (80:31)

Demonstratie: atoomspectra (82:28)

Spectraallijnen van gassen: de derde van de vier puzzels die in college 1 werden genoemd, na de ether en het fotoelektrisch effect. (83:02)
Spectrometer: een tralie (diffraction grating), een plastic plaatje met heel veel lijntjes (als een dubbelspleet met veel spleten), voor een webcam. (83:51)
Gloeilamp: een continu spectrum (regenboog) over het hele zichtbare gebied. (84:33)
Buisjes met vrij zuivere gassen (lucht, CO₂, stikstof, argon, neon, helium, waterstof; niet gelabeld): alleen scherpe lijnen bij specifieke golflengtes. Een paarsig gas (vermoedelijk neon of argon) had meer blauwe dan rode lijnen. (85:08)
De vraag: waarom geeft een gas losse lijnen en een gloeilamp een volledig spectrum? Klassiek niet te begrijpen. (87:40)

Het atoommodel van Rutherford (88:28)

Vooruitblik op na het tussentijds tentamen: Rutherford schoot alfadeeltjes (heliumkernen, twee protonen en twee neutronen, uit radioactief verval) op een goudfolie. (88:49)
Verwacht, bij een atoom als 'pannenkoek' met verspreide plus- en minladingen: alleen kleine afbuigingen. Gevonden: soms kaatste een alfadeeltje vrijwel recht terug. (89:06)
Verklaring: een atoom bestaat uit een heel compacte, zware, positief geladen kern met daaromheen een lichte wolk negatieve lading (de elektronen). (89:40)
Klassiek model: het elektron draait om de kern en de Coulombaantrekking levert de kracht voor de cirkelbeweging. Probleem: een versnelde lading straalt, dus het elektron verliest energie, spiraliseert naar binnen en het atoom stort in. (90:35)

Het Bohrmodel (92:00)

De Broglie plus Bohr: de golflengte van het elektron moet precies een geheel aantal keer in de baan passen, zodat het na één rondje weer dezelfde fase heeft (dia: banen met zo'n passende golf). (92:39)
Stabiliteit: onder \(n = 1\) past de golflengte in geen enkele baan, dus het elektron kan niet verder naar binnen. (93:09)
Spectraallijnen: licht wordt alleen uitgezonden bij een overgang tussen twee toegestane toestanden, dus alleen bij bepaalde golflengtes. (93:25) De fotonenergie is \(hf = E_i - E_f\) (boek, §39.3)
Waterstof: één proton (lading \(+q_e\)) en één elektron in een cirkelbaan met straal \(r\) en snelheid \(v\). Kies \(v\) en \(r\) zo dat [bord, gereconstrueerd] (95:09)

\[\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_e^2}{r^2}\]

Let op: \(mv^2/r\) is de middelpuntzoekende (centripetale) kracht die nodig is voor de cirkelbaan en die de Coulombkracht levert; de docent noemt die middelpuntvliegend. (95:15)
Plus de nieuwe voorwaarde (niet-relativistisch, wat voor de meeste atomen geldt) [bord, gereconstrueerd] (96:43)

\[2\pi r = n\,\lambda_{dB} = \frac{nh}{p} = \frac{nh}{mv}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots\]

Gelijkwaardig aan kwantisatie van het impulsmoment: \(L = mvr = nh/2\pi\) (boek, §39.3)
Oplossen naar \(v\) en \(r\) (werkcollege) geeft een reeks toegestane snelheden en energieën [bord, gereconstrueerd] (boek, §39.3) (98:04)

\[v_n = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{q_e^2}{2nh}, \qquad E_n = -\frac{1}{\epsilon_0^2}\frac{mq_e^4}{8h^2}\,\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}\]

Vergeleken met de gemeten lijnen van waterstof klopt dit eenvoudige model op 0,1%: daarmee werd kwantummechanica meer dan een gedachte-oefening. (99:30)

Vooruitblik (101:03)

Volgend college: hoe werkt kwantummechanica? Een introductie met de golffunctie, de Schrödingervergelijking (hoe de golffunctie in de tijd verandert) en een deeltje in een doos. De volledige kwantummechanica, met meer wiskunde, volgt volgend jaar. (101:39)

4. Begrippen & definities

De Broglie-golflengte: \(\lambda_{dB} = h/p\), de golflengte van een deeltje met impuls \(p = \gamma mv\) (niet-relativistisch \(p = mv\)).
Kathodestralen: bundels elektronen in een vacuümbuis, versneld door de spanning tussen kathode en anode.
Diffractie aan een kristal: golven die aan opeenvolgende atomen weerkaatsen, interfereren constructief precies dan als hun padlengteverschil een geheel aantal golflengtes is.
Elektronendiffractie: diffractie van elektronen aan de atomen van een kristal; bewijs dat elektronen een golflengte hebben.
Eerste minimum bij een enkele spleet: onder de hoek \(\theta_1\) met \(\sin\theta_1 = \lambda/a\), gemeten vanaf de oorspronkelijke bewegingsrichting, met \(a\) de spleetbreedte.
Onzekerheidsrelatie van Heisenberg: voor positie en impuls langs dezelfde as geldt \(\Delta x\,\Delta p_x \geq \hbar/2\) (net zo voor \(y\) en \(z\)), met \(\Delta\) de standaarddeviatie; voor verschillende assen, zoals \(\Delta y\) en \(\Delta p_x\), bestaat geen ondergrens.
Energie-tijd-onzekerheidsrelatie: \(\Delta E\,\Delta t \geq \hbar/2\); hoe korter iets duurt, hoe groter de spreiding in energie.
Lijnbreedte: breedte van een spectraallijn in frequentie of golflengte, een maat voor \(\Delta E\).
Tralie: plaatje met heel veel evenwijdige spleetjes dat licht naar golflengte splitst.
Continu spectrum / lijnenspectrum: alle golflengtes (gloeilamp) / alleen scherpe lijnen bij specifieke golflengtes (gas).
Alfadeeltje: heliumkern (twee protonen en twee neutronen), vrijgekomen bij radioactief verval.
Atoomkern: het compacte, zware, positief geladen centrum van een atoom.
Bohrmodel: atoommodel waarin het elektron alleen cirkelbanen volgt waarvan de omtrek een geheel aantal De Broglie-golflengtes is (\(2\pi r = n\lambda_{dB}\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\)), met discrete energieën \(E_n\); licht ontstaat alleen bij een overgang tussen zulke banen, met \(hf = E_i - E_f\).
Rustenergie van het elektron: \(m_ec^2 = 511\) keV.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Een sleutelexperiment kunnen beschrijven (opzet, resultaat, conclusie), bijv. 'wat is het Hafele–Keating-experiment?'; zo'n vraag staat vaak in oude tentamens. (13:25)
Snel bepalen of je relativistisch moet rekenen: \(K\) vergelijken met \(mc^2\) via \(\gamma = 1 + K/mc^2\), met \(m_ec^2 = 511\) keV paraat. (29:17)
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg kennen (volgens de docent de belangrijkste formule van de kwantummechanica) en de afleiding via de enkele spleet kunnen geven. (65:30)
De snelheden \(v_n\) en energieën \(E_n\) van het Bohrmodel afleiden uit de krachtenbalans en \(2\pi r = n\lambda_{dB}\) (werkcollegeopgave). (97:42)

6. Oefenvragen

Bereken de De Broglie-golflengte van (a) een golfbal van 45 g met 80 m/s; (b) een elektron dat vanuit rust over 50 V is versneld. Laat bij (b) eerst zien dat je niet-relativistisch mag rekenen. (c) Mag dat ook bij een elektron met \(K = 1{,}0\) MeV? Bereken dan de golflengte. (\(h = 6{,}63\cdot10^{-34}\) J·s, \(m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\) kg, \(q_e = 1{,}6\cdot10^{-19}\) C, \(m_ec^2 = 511\) keV, \(hc = 1240\) eV·nm, \(E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\))
Beschrijf het elektronendiffractie-experiment met elektronen versneld over 54 V: opzet, resultaat en conclusie. Wat voegt de dubbelspleet met losse elektronen daaraan toe?
(a) Leid met diffractie aan een enkele spleet met breedte \(a\) af dat \(\Delta y\,\Delta p_y \approx h\). (b) Wat gebeurt er met het centrale maximum als de spleet half zo breed wordt? (c) Een elektron zit opgesloten in een gebied van 0,10 nm in de \(y\)-richting. Bereken de minimale \(\Delta p_y\) en \(\Delta v_y\) (\(\hbar = 1{,}055\cdot10^{-34}\) J·s).
(a) Een continue laser heeft een lijnbreedte van 1 MHz. Hoe groot is \(\Delta E\)? (b) Uit een laser van 532 nm wordt een puls van 1 fs gesneden. Bereken de minimale \(\Delta E\) en de bijbehorende breedte in golflengte (gebruik \(\Delta\lambda/\lambda = \Delta E/E\) en \(hc = 1{,}99\cdot10^{-25}\) J·m).
Wat verwachtte Rutherford toen hij goudfolie met alfadeeltjes beschoot, wat vond hij, en welk atoommodel volgt daaruit? Waarom is dat model klassiek instabiel?
(a) Combineer \(mv^2/r = q_e^2/(4\pi\epsilon_0 r^2)\) en \(2\pi r = nh/(mv)\) tot een uitdrukking voor \(v_n\). (b) Hoe verklaart het Bohrmodel de stabiliteit van het atoom en de spectraallijnen? (c) Bereken met \(E_n = -13{,}6\) eV\(/n^2\) de golflengte van het foton bij de overgang van \(n = 3\) naar \(n = 2\).

Antwoorden

(a) \(\lambda = h/mv = 6{,}63\cdot10^{-34}/(0{,}045 \cdot 80) \approx 1{,}8\cdot10^{-34}\) m: onmeetbaar klein. (b) \(\gamma = 1 + 50/511\,000 \approx 1{,}0001\), dus klassiek mag. \(K = 8{,}0\cdot10^{-18}\) J, \(v = \sqrt{2K/m} \approx 4{,}2\cdot10^6\) m/s, \(p = mv \approx 3{,}8\cdot10^{-24}\) kg·m/s en \(\lambda = h/p \approx 0{,}17\) nm: de afstand tussen atomen in een kristal. (c) Nee: \(\gamma = 1 + 1{,}0/0{,}511 \approx 3{,}0\). Met \(E = K + mc^2 = 1{,}511\) MeV is \(pc = \sqrt{1{,}511^2 - 0{,}511^2}\) MeV \(\approx 1{,}42\) MeV, dus \(\lambda = hc/pc \approx 8{,}7\cdot10^{-4}\) nm \(= 0{,}87\) pm.
Een bundel versnelde elektronen valt op een kristal; een detector onder een instelbare hoek meet de intensiteit. Bij 54 V is er een sterk maximum onder 50°: constructieve interferentie, met hetzelfde soort patroon als bij röntgendiffractie. Dat klopt met \(\lambda_{dB} = h/\sqrt{2mq_eV} \approx 0{,}17\) nm, dus elektronen hebben een golflengte. Bij de dubbelspleet komt elk elektron als één tik aan, maar na veel elektronen ontstaat een interferentiepatroon: elk elektron gaat als golf door beide spleten en interfereert met zichzelf.
(a) Voor een deeltje in het eerste minimum is \(\tan\theta_1 = p_y/p_x \approx \theta_1 = \lambda/a\); met \(p_x = h/\lambda\) volgt \(p_y = h/a\), dus \(\Delta p_y \approx h/a\). Bij de spleet is \(\Delta y \approx a\), dus \(\Delta y\,\Delta p_y \approx h\). (b) Het wordt twee keer zo breed: \(\theta_1 \approx \lambda/a\) verdubbelt; kleinere \(\Delta y\) geeft grotere \(\Delta p_y\). (c) \(\Delta p_y \geq \hbar/2\Delta y = 1{,}055\cdot10^{-34}/(2 \cdot 1{,}0\cdot10^{-10}) \approx 5{,}3\cdot10^{-25}\) kg·m/s, dus \(\Delta v_y = \Delta p_y/m \geq 5{,}8\cdot10^5\) m/s.
(a) \(\Delta E = h\,\Delta f = 6{,}6\cdot10^{-34} \cdot 10^6 = 6{,}6\cdot10^{-28}\) J. (b) \(\Delta E \geq \hbar/2\Delta t = 1{,}055\cdot10^{-34}/(2 \cdot 10^{-15}) \approx 5{,}3\cdot10^{-20}\) J. Met \(E = hc/\lambda \approx 3{,}7\cdot10^{-19}\) J is \(\Delta\lambda \approx 532 \cdot (5{,}3/37)\) nm \(\approx 75\) nm: een korte puls heeft een breed spectrum.
Verwacht, bij plus- en minladingen verspreid over het atoom: alleen kleine afbuigingen. Gevonden: soms kaatste een alfadeeltje vrijwel recht terug. Model: een compacte, zware, positieve kern met daaromheen lichte elektronen. Klassiek is dat instabiel: een elektron in een cirkelbaan wordt versneld en straalt dus; het verliest energie, spiraliseert naar binnen en het atoom stort in.
(a) Uit de tweede voorwaarde: \(r = nh/(2\pi mv)\). Vermenigvuldig de eerste met \(r^2\): \(mv^2r = q_e^2/(4\pi\epsilon_0)\). Invullen geeft \(nhv/2\pi = q_e^2/(4\pi\epsilon_0)\), dus \(v_n = q_e^2/(2\epsilon_0 nh)\). (b) Alleen banen met \(2\pi r = n\lambda_{dB}\) zijn toegestaan; onder \(n = 1\) is er geen baan, en licht ontstaat alleen bij een overgang tussen toegestane toestanden, dus bij discrete golflengtes. (c) \(E_3 = -1{,}51\) eV en \(E_2 = -3{,}40\) eV, dus \(hf = 1{,}89\) eV en \(\lambda = 1240/1{,}89 \approx 656\) nm (rood).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~06:20–11:16: De startvragen en hun antwoorden stonden op de dia's en zijn alleen in de opname te zien.
~39:12: Studentvraag niet te verstaan.
~77:16: Studentvraag over het deeltje dat in het eerste minimum landt, en het antwoord daarop, slecht te verstaan.
~85:40: Welke gassen werden getoond, is onzeker; de buisjes waren niet gelabeld.
~98:04: Formules voor \(v_n\) en \(E_n\) op het bord nakijken; het minteken en de factor \(h^2\) in \(E_n\) zijn niet te horen.
~100:16: Studentvragen over het bord (het delen door \(r\), de ladingen \(q_1\) en \(q_2\)) slecht te verstaan; mogelijk is er iets op het bord verbeterd.