College 8: Primitieven, differentiaalvergelijkingen en beginwaardeproblemen

Donderdag 24 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Dit college sluit hoofdstuk 2 (afgeleiden) af: het eerste uur nieuwe stof, het tweede uur ruimte voor vragen over het hoofdstuk. (05:44)
Differentiaalvergelijkingen en integreren komen later in het vak terug. (79:42)
Volgende week: exponentiële functies en logaritmen. (106:13)

2. Samenvatting

Een primitieve van \(f\) op een interval \(I\) is een functie \(F\) met \(F'=f\) op \(I\); twee primitieven op hetzelfde interval verschillen alleen een constante, vandaar \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\), en zonder interval gaat dat mis (de tekenfunctie). Een primitieve zoeken is het eenvoudigste geval van een differentiaalvergelijking: een vergelijking voor een onbekende functie \(y(x)\) en haar afgeleiden, geldig op een interval, met als orde die van de hoogste afgeleide. De meeste DV's zijn lastig op te lossen, maar voor \(x^2y''-xy'=8y\) op \(x>0\) geeft de probeerfunctie \(x^n\) de oplossingen \(Cx^4\), \(Dx^{-2}\) en hun sommen. Een beginwaardeprobleem legt met evenveel eisen als de orde, hier \(y(1)\) en \(y'(1)\), één oplossing vast. In het vragenuur: rationale nulpunten van een polynoom met gehele coëfficiënten en een verticale raaklijn.

3. Aantekeningen per onderwerp

Primitieven (06:35)

De omgekeerde vraag van differentiëren: gegeven \(f\), is er een functie \(F\) met \(F'=f\)? (08:34)
Definitie: een primitieve van \(f\) op een interval \(I\) is een functie \(F\) met \(F'(x)=f(x)\) voor alle \(x\in I\). In het boek heet dit antiderivative (boek, §2.10). (10:21)
‘Een’ primitieve, niet ‘de’: er zijn er oneindig veel, maar ze verschillen alleen een constante. (11:33)

Op een constante na bepaald (12:03)

Stelling: zijn \(F\) en \(G\) primitieven van dezelfde \(f\) op hetzelfde interval \(I\), dan is er een constante \(C\) met \(F(x)=G(x)+C\) voor alle \(x\in I\) (boek, §2.10). (13:04)
Bewijs: over \(F\) en \(G\) weet je alleen iets via hun afgeleiden. \((F-G)'(x)=f(x)-f(x)=0\) voor alle \(x\in I\), en \(F-G\) is differentieerbaar en dus continu op \(I\). Volgens de stelling ‘afgeleide nul geeft een constante functie’ (zie college 6) is \(F-G\) constant. (14:46)
Daarom schrijf je bij een primitieve altijd ‘\(+\,C\)’. (15:56)
Het interval is nodig: de tekenfunctie \(\operatorname{sgn}\) (\(-1\) voor \(x<0\), \(1\) voor \(x>0\); zie college 3) heeft afgeleide \(0\) voor alle \(x\neq0\), maar is niet constant. Haar domein bestaat uit twee intervallen en op elk daarvan heeft ze een eigen constante waarde. Op zo'n domein mag de constante dus per interval verschillen. (16:59)

Onbepaalde integraal en voorbeelden (18:50)

Notatie: \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\), met \(F\) een primitieve van \(f\) en \(C\) een willekeurige constante. Het boek noemt dit de onbepaalde integraal (indefinite integral) (boek, §2.10). (18:54)
Bij \(\int x^n\,dx\) moet de macht één omhoog, want differentiëren verlaagt hem met één; een factor ervoor compenseert de macht die bij differentiëren naar voren komt. (20:34)
Voor gehele \(n\neq-1\) (bij negatieve \(n\) op een interval zonder \(0\)): (20:53)

\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.\]

Voor \(n=-1\) werkt dit niet: je zou door \(0\) delen, en \(x^0=1\) heeft afgeleide \(0\), niet \(\frac1x\). Voor \(x>0\) is \(\ln x\) een primitieve van \(\frac1x\); dat komt volgende week. (21:43)
\(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\), want \(\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\); let op het minteken. Omgekeerd is \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). (22:49)

Differentiaalvergelijkingen (23:30)

Een primitieve \(y\) van \(f\) op \(I\) is een oplossing van de vergelijking \(y'(x)=f(x)\) voor \(x\in I\). (23:42)
Differentiaalvergelijking (DV): een vergelijking voor een onbekende functie \(y(x)\) waarin een of meer afgeleiden van \(y\) voorkomen (boek, §2.10). (25:02)
Een DV geldt altijd op een interval: een afgeleide geeft een richting, en om daarmee een functie op te bouwen moet je over een interval kunnen schuiven; een vergelijking in één los punt zegt te weinig. Een oplossing voldoet op het hele interval aan de DV (boek, §2.10). (27:14)

Voorbeeld: een DV met machten van x (27:49)

Gevraagd: functies \(y(x)\) met \(x^2y''-xy'=8y\) voor alle \(x>0\). (27:49)
DV's oplossen is in het algemeen erg lastig, net als primitieven vinden: een afgeleide kun je van elke gewone formule uitrekenen, een primitieve of oplossing in formulevorm vaak niet. Dit type is een uitzondering. Later in het vak komen kwalitatieve en numerieke methoden. (29:13)
Waarom \(y=x^n\) proberen: bij \(y''\) staat \(x^2\), bij \(y'\) staat \(x\), bij \(y\) niets. Elke afgeleide verlaagt de macht met één en de factor ervoor verhoogt hem weer, dus elke term wordt een veelvoud van \(x^n\). Zonder de factor \(x\) bij \(y'\) lukt dat niet meer en wordt het veel lastiger. (32:01)
Invullen [bord, gereconstrueerd]: (36:41)

\[x^2\cdot n(n-1)x^{n-2}-x\cdot nx^{n-1}-8x^n=\big(n(n-1)-n-8\big)\,x^n=0\qquad(x>0).\]

Dit moet voor álle \(x>0\) gelden, dus je mag geen speciale \(x\) kiezen. Omdat \(x^n\neq0\), moet de coëfficiënt nul zijn: \(n^2-2n-8=(n-4)(n+2)=0\), dus \(n=4\) of \(n=-2\). Oplossingen: \(y=x^4\) en \(y=x^{-2}\). (38:26)
Ook \(y=0\) is een oplossing: een constante \(c\) geeft \(0-0=8c\), dus alleen \(c=0\) werkt. (41:06)
Het domein \(x>0\) doet ertoe: \(x^{-2}\) is in \(0\) niet gedefinieerd, dus als de DV op heel \(\mathbb R\) moest gelden, viel die oplossing af. (42:33)
Elk veelvoud \(Cx^4\) en \(Dx^{-2}\) is ook een oplossing: de constante komt in elke term terug, alsof je de hele vergelijking met \(C\) vermenigvuldigt. (43:52)
Orde van een DV: de orde van de hoogste afgeleide die erin voorkomt (boek, §2.10). Deze DV heeft orde 2. Een vergelijking met \((y')^4\) en geen hogere afgeleide, zoals \((y')^4+8x=6\) [bord, gereconstrueerd], heeft orde 1: de macht telt niet. (45:25)
Op een vraag uit de zaal: ook sommen \(Cx^4+Dx^{-2}\) zijn oplossingen. Dat komt doordat de DV lineair is: \(y\), \(y'\) en \(y''\) worden nooit met elkaar vermenigvuldigd, en de afgeleide van een som is de som van de afgeleiden. Het bewijs viel buiten het college. (47:40)
Let op: dat sommen en veelvouden weer oplossingen zijn, geldt alleen als bovendien elke term \(y\) of een afgeleide van \(y\) bevat, zoals hier. Bij \(y'=\cos x\) zijn \(\sin x\) en \(\sin x+2\) oplossingen, maar hun som \(2\sin x+2\) niet.
Beide kanten integreren lukt hier niet, ook niet met partieel integreren: bij \(y'=f(x)\) ken je de rechterkant, maar hier staat de onbekende \(y\) aan beide kanten, dus je houdt een relatie tussen onbekende integralen over. (49:04)
Vierkante haken gebruikt de docent alleen om bij veel haakjes te laten zien wat bij elkaar hoort; ze betekenen hetzelfde als ronde haken. (51:02)
Controle voor \(y=Cx^4\): \(y'=4Cx^3\) en \(y''=12Cx^2\), dus \(x^2y''-xy'-8y=(12C-4C-8C)\,x^4=0\), voor elke \(C\). Net zo voor \(Dx^{-2}\). (52:48)

Beginwaardeproblemen (69:19)

Een DV heeft meestal veel oplossingen; leg je de functiewaarde (en eventueel afgeleiden) in een punt vast, dan kun je één oplossing krijgen. (69:19)
Beginwaardeprobleem (initial-value problem): een DV samen met eisen aan de waarde van de oplossing \(y\) en eventueel haar afgeleiden in één punt \(x_0\) uit het interval van de DV (boek, §2.10). (69:32)
Aantal eisen: evenveel als de orde, dus één bij orde 1 en twee bij orde 2, meestal \(y(x_0)\) en \(y'(x_0)\). De docent zegt hier ‘eerstegraads’ en ‘tweedegraads’; bedoeld is de orde. (71:36)
Voorbeeld: \(x^2y''-xy'=8y\) (\(x>0\)) met \(y(1)=\tfrac12\) en \(y'(1)=2\). Bekend zijn de oplossingen \(Cx^4\) en \(Dx^{-2}\); dat élke oplossing van die vorm is, is niet bewezen (de docent verbetert ‘algemene oplossingen’ in ‘oplossingen’). (72:18)
\(y=Cx^4\): \(y(1)=C=\tfrac12\), en dan \(y'(1)=\tfrac12\cdot4=2\). Klopt, dus \(y=\tfrac12x^4\). (75:25)
\(y=Dx^{-2}\): \(y(1)=D=\tfrac12\), maar \(y'(1)=\tfrac12\cdot(-2)=-1\neq2\). Dit geeft geen oplossing van dit beginwaardeprobleem. (77:14)
Let op: los proberen werkt hier alleen doordat de beginwaarden zo gekozen zijn dat één van de twee vormen past; dat zegt de docent ook. Neem in het algemeen \(y=Cx^4+Dx^{-2}\) en los \(C\) en \(D\) op uit beide eisen: hier \(C+D=\tfrac12\) en \(4C-2D=2\), dus \(C=\tfrac12\) en \(D=0\). Bij andere beginwaarden heb je vaak beide termen nodig. (78:33)
Uit het vragenuur: meer eisen dan de orde geven meestal geen oplossing, minder meestal meerdere. Voor één oplossing neem je er evenveel als de orde. Het boek zegt: zoveel eisen als nodig zijn om alle constanten in de algemene oplossing vast te leggen (boek, §2.10). (99:46)
Uit het vragenuur: sommige tweede-orde-DV's kun je wel direct integreren, namelijk als je de hoogste afgeleide kunt vrijmaken met alleen een functie van \(x\) aan de andere kant. Voorbeeld: \(x^2y''=x^5\) voor \(x>0\). (102:37)

\[y''=x^3\quad\Longrightarrow\quad y'=\tfrac14x^4+C\quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac1{20}x^5+Cx+D\]

Er ontstaan twee willekeurige constanten, precies de twee die een beginwaardeprobleem met twee eisen vastlegt. Komt ook \(y'\) of \(y\) in de vergelijking voor, dan kun je de hoogste afgeleide niet meer zo vrijmaken. (104:22)
Uit het vragenuur, de naam: meestal is \(x\) de tijd \(t\) en ken je de begintoestand. Een slinger voldoet aan een tweede-orde-DV, dus leg je twee beginwaarden vast: de beginstand en de beginsnelheid. (105:21)

Vragenuur: rationale nulpunten van een polynoom (80:46)

Ontbinden levert lang niet altijd mooie getallen op, maar soms wel. Een polynoom \(a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) dat volledig ontbindt, schrijf je als \(a_n(x-c_1)(x-c_2)\cdots(x-c_n)\) [bord, gereconstrueerd]. Een nulpunt als \(\pi\) vind je zo niet; je zoekt gehele getallen of breuken. (84:19)
Stelling: heeft \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) gehele coëfficiënten met \(a_n\neq0\) en \(a_0\neq0\), en is \(x=\frac pq\) een nulpunt met \(p,q\) geheel, \(q>0\) en zonder gemeenschappelijke deler, dan is \(p\) een deler van \(a_0\) en \(q\) een deler van \(a_n\). (86:17)
Bewijs: invullen en vermenigvuldigen met \(q^n\) geeft [bord, gereconstrueerd] (88:39)

\[a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.\]

Alle termen behalve de laatste bevatten een factor \(p\), dus \(p\) deelt \(a_0q^n\). Omdat \(p\) en \(q\) geen gemeenschappelijke deler hebben, deelt \(p\) dan \(a_0\). Net zo bevatten alle termen behalve de eerste een factor \(q\), dus \(q\) deelt \(a_np^n\) en daarmee \(a_n\). (90:16)
Dat geeft eindig veel kandidaten. Is \(a_n=1\), dan is \(q=1\): elk rationaal nulpunt is dan een geheel getal dat \(a_0\) deelt. (91:48)
Werkwijze: heb je een nulpunt \(c\) gevonden, deel dan \(x-c\) eruit en ga verder met een polynoom van lagere graad. Probeer eerst \(0\) (alleen een nulpunt als \(a_0=0\); haal dan \(x\) buiten haakjes), dan \(\pm1\), dan de kleinste delers van \(a_0\). (92:03)
Niet in het college uitgewerkt: bij \(n^2-2n-8\) uit het voorbeeld hierboven zijn de kandidaten \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\), en \(4\) en \(-2\) zijn nulpunten.

Vragenuur: een verticale raaklijn (95:11)

Huiswerkopgave 15 bij §2.1: de raaklijn aan \(f(x)=(x+2)^{3/5}\) in \(x=-2\) [bord, gereconstrueerd]. (95:43)
Voor \(x\neq-2\) is \(f'(x)=\dfrac{3}{5(x+2)^{2/5}}\); in \(x=-2\) kun je dat niet invullen. (97:17)
Voor \(x\to-2\) gaat de noemer naar \(0\), en \((x+2)^{2/5}=\big((x+2)^2\big)^{1/5}\) is aan beide kanten positief. Dus \(f'(x)\to+\infty\) van links en van rechts: de grafiek wordt aan beide kanten steeds steiler en heeft in \((-2,0)\) een verticale raaklijn, de lijn \(x=-2\). (98:50)
Rechtstreeks met de definitie: \(f\) is continu in \(-2\) en \(\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\dfrac{h^{3/5}}{h}=h^{-2/5}\to+\infty\). In dat geval noemt het boek \(x=x_0\) een verticale raaklijn (boek, §2.1); \(f'(-2)\) bestaat niet.
Schrijf ‘gaat naar \(\infty\)’, nooit ‘\(=\infty\)’ (zie college 3). (98:55)

4. Begrippen & definities

Primitieve van \(f\) op een interval \(I\): een functie \(F\) met \(F'(x)=f(x)\) voor alle \(x\in I\); op \(I\) bepaald op een constante na. In het boek: antiderivative.
Onbepaalde integraal: \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\), met \(F\) een primitieve van \(f\) en \(C\) een willekeurige constante.
Differentiaalvergelijking (DV): een vergelijking voor een onbekende functie \(y(x)\) waarin afgeleiden van \(y\) voorkomen; ze geldt op een interval.
Orde van een DV: de orde van de hoogste afgeleide die erin voorkomt.
Lineaire DV (in dit college alleen informeel): \(y\) en haar afgeleiden worden nooit met elkaar of met zichzelf vermenigvuldigd (geen \(y\cdot y'\), geen \((y')^4\)). Bevat bovendien elke term \(y\) of een afgeleide, dan zijn veelvouden en sommen van oplossingen weer oplossingen.
Beginwaardeprobleem: een DV met eisen aan \(y\) en eventueel haar afgeleiden in één punt \(x_0\) van het interval; voor één oplossing evenveel eisen als de orde (bij orde 2: \(y(x_0)\) en \(y'(x_0)\)).
Rationale nulpunten: bij gehele coëfficiënten met \(a_0,a_n\neq0\) geldt voor elk nulpunt \(\frac pq\) (\(p,q\) geheel, zonder gemeenschappelijke deler) dat \(p\) een deler is van \(a_0\) en \(q\) van \(a_n\).
Verticale raaklijn in \(x_0\): \(f\) is continu in \(x_0\) en het differentiequotiënt gaat naar \(\infty\) of \(-\infty\); de raaklijn is dan \(x=x_0\).

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Bij een primitieve altijd ‘\(+\,C\)’ schrijven, de uitzondering \(n=-1\) bij \(\int x^n\,dx\) kennen, en weten dat ‘op een constante na’ alleen op een interval geldt. (17:43)
Een probeerfunctie in een DV invullen en eisen dat het resultaat voor álle \(x\) in het interval klopt: de coëfficiënt moet nul zijn, een losse \(x\)-waarde kiezen mag niet. (38:26)
Een beginwaardeprobleem oplossen: evenveel eisen als de orde, en daaruit de constanten bepalen. (100:35)
Rationale nulpunten van een polynoom met gehele coëfficiënten zoeken via de delers van \(a_0\) en \(a_n\); volgens de docent de beste aanpak. (92:19)
Bij een afgeleide die onbegrensd groeit ‘gaat naar \(\infty\)’ schrijven, nooit ‘\(=\infty\)’. (98:55)

6. Oefenvragen

(a) Bereken \(\int x^3\,dx\), \(\int x^{-3}\,dx\) (voor \(x>0\)) en \(\int\sin x\,dx\), en controleer elk antwoord door te differentiëren. (b) Waarom werkt de formule voor \(\int x^n\,dx\) niet voor \(n=-1\)?
(a) Bewijs: zijn \(F\) en \(G\) primitieven van \(f\) op een interval \(I\), dan is \(F-G\) constant op \(I\). (b) Geef twee primitieven van \(\frac1{x^2}\) op \((-\infty,0)\cup(0,\infty)\) waarvan het verschil niet constant is. Waarom is dat geen tegenspraak met (a)?
Neem \(x^2y''+xy'=4y\) voor \(x>0\). (a) Welke orde heeft deze DV, en waarom is \(y=x^n\) een goede probeerfunctie? (b) Voor welke \(n\) is \(x^n\) een oplossing? Geef zoveel mogelijk oplossingen en zeg waarom \(x>0\) nodig is.
(a) Los op: \(x^2y''-xy'=8y\) voor \(x>0\), met \(y(1)=1\) en \(y'(1)=1\). Waarom lukt dat niet met alleen \(Cx^4\) of alleen \(Dx^{-2}\)? (b) Los op: \(x^2y''=x^5\) voor \(x>0\), met \(y(1)=0\) en \(y'(1)=0\). Waarom zijn hier twee eisen nodig?
Bepaal met de stelling over rationale nulpunten alle nulpunten van \(2x^3-3x^2-3x+2\). Waarom moet de teller van een rationaal nulpunt een deler van \(a_0\) zijn?
(a) Heeft de grafiek van \(f(x)=(x+2)^{3/5}\) een raaklijn in \(x=-2\)? Zo ja, welke? (b) En de grafiek van \(g(x)=(x-1)^{4/3}\) in \(x=1\)?

Antwoorden

(a) \(\tfrac14x^4+C\), \(-\tfrac12x^{-2}+C\) en \(-\cos x+C\); de afgeleiden zijn \(x^3\), \(-\tfrac12\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3}\) en \(\sin x\). (b) Je zou door \(n+1=0\) delen, en \(x^0=1\) heeft afgeleide \(0\), niet \(\frac1x\). Voor \(x>0\) is \(\ln x\) een primitieve van \(\frac1x\).
(a) \((F-G)'=f-f=0\) op \(I\), en \(F-G\) is differentieerbaar en dus continu op \(I\); volgens de stelling ‘afgeleide nul geeft een constante functie’ is \(F-G\) constant. (b) \(F(x)=-\frac1x\), en \(G(x)=-\frac1x\) voor \(x<0\), \(G(x)=-\frac1x+1\) voor \(x>0\). Beide hebben afgeleide \(\frac1{x^2}\), maar \(F-G\) is \(0\) voor \(x<0\) en \(-1\) voor \(x>0\). Geen tegenspraak: het domein is geen interval. Op elk van de twee intervallen apart is het verschil wel constant, net als bij de tekenfunctie.
(a) Orde 2. De factoren \(x^2\) bij \(y''\) en \(x\) bij \(y'\) heffen de verlaging van de macht op, dus elke term wordt een veelvoud van \(x^n\). (b) \(x^2\cdot n(n-1)x^{n-2}+x\cdot nx^{n-1}-4x^n=(n^2-4)\,x^n\). Dit moet voor alle \(x>0\) nul zijn en \(x^n\neq0\), dus \(n=2\) of \(n=-2\). Oplossingen: \(Cx^2+Dx^{-2}\) voor alle constanten \(C\) en \(D\) (met \(C=D=0\): de nulfunctie), want elke term bevat \(y\) of een afgeleide. \(x^{-2}\) is in \(0\) niet gedefinieerd, dus zonder \(x>0\) viel die oplossing af.
(a) \(y=Cx^4+Dx^{-2}\) geeft \(C+D=1\) en \(4C-2D=1\), dus \(C=D=\tfrac12\): \(y=\tfrac12x^4+\tfrac12x^{-2}\). Alleen \(Cx^4\): \(C=1\), maar dan \(y'(1)=4\neq1\). Alleen \(Dx^{-2}\): \(D=1\), maar dan \(y'(1)=-2\neq1\). (b) \(y''=x^3\), dus \(y'=\tfrac14x^4+C\), en \(y'(1)=0\) geeft \(C=-\tfrac14\). Dan \(y=\tfrac1{20}x^5-\tfrac14x+D\), en \(y(1)=0\) geeft \(D=\tfrac15\): \(y=\tfrac1{20}x^5-\tfrac14x+\tfrac15\). Twee keer integreren geeft twee constanten (orde 2), en elke eis legt er één vast.
\(p\) deelt \(2\) en \(q>0\) deelt \(2\): kandidaten \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm\tfrac12\). \(x=-1\) geeft \(-2-3+3+2=0\), en \(2x^3-3x^2-3x+2=(x+1)(2x^2-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)\): nulpunten \(-1\), \(\tfrac12\) en \(2\). Na vermenigvuldigen met \(q^n\) bevat elke term behalve \(a_0q^n\) een factor \(p\), dus \(p\) deelt \(a_0q^n\); omdat \(p\) en \(q\) geen gemeenschappelijke deler hebben, deelt \(p\) dan \(a_0\).
(a) \(f\) is continu in \(-2\) en \(\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=h^{-2/5}\to+\infty\) van beide kanten (ook \(f'(x)=\frac{3}{5(x+2)^{2/5}}\to+\infty\)). Dus een verticale raaklijn: \(x=-2\); \(f'(-2)\) bestaat niet. (b) \(\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{h^{4/3}}{h}=h^{1/3}\to0\), dus \(g'(1)=0\) en de raaklijn is \(y=0\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~42:09: Uit de zaal komt een opmerking over een van de oplossingen; of het om de nulfunctie of om \(x^{-2}\) gaat, is niet te verstaan. De notitie over \(x>0\) volgt uit het antwoord.
~46:40: Kijk na welke eerste-orde-DV op het bord staat; in de audio is niet te horen of er \(8x\) of \(8y\) staat.
~47:02: De vraag die leidt tot het antwoord over sommen van oplossingen is niet te verstaan.