College 7: De gegeneraliseerde middelwaardestelling en impliciet differentiëren

Woensdag 23 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Deze week wordt het hoofdstuk over afgeleiden afgerond: vandaag de middelwaardestellingen en impliciet differentiëren, morgen het laatste stuk. (06:13)
Morgenmiddag (donderdag 24 september) is er waarschijnlijk tijd voor vragen. Bedenk vooraf bij welke onderwerpen je een extra voorbeeld of uitleg wilt. (06:39)

2. Samenvatting

Met de middelwaardestelling en haar gegeneraliseerde vorm bewijs je ongelijkheden: schrijf de bewering als quotiënt \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) of \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\), lees daaruit \(a\), \(b\), \(f\) (en \(g\)) af en schat de afgeleide in het onbekende punt \(c\) af. Zo volgen \(\log x<x-1\) voor \(x>1\) en \(\cos x>1-\tfrac{x^2}{2}\) voor \(x>0\). Impliciet differentiëren geeft de helling van een kromme die geen functie \(y(x)\) is: neem aan dat \(y\) lokaal een differentieerbare functie van \(x\) is, differentieer beide kanten met de kettingregel en los \(y'\) op. Die aanname faalt waar takken kruisen of de raaklijn verticaal is, wat je ziet aan een noemer \(0\). Zo volgen ook \(\frac{d}{dx}x^{p/q}=\frac pq x^{p/q-1}\) en tweede afgeleiden van impliciet gegeven functies.

3. Aantekeningen per onderwerp

De middelwaardestelling, herhaald (06:56)

Middelwaardestelling: is \(f\) continu op \([a,b]\) (in de eindpunten: rechtscontinu in \(a\), linkscontinu in \(b\)) en differentieerbaar op \((a,b)\), dan is er minstens één \(c\in(a,b)\) met \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). In \(a\) en \(b\) zelf hoeft \(f'\) niet te bestaan. (07:09)
Figuur [bord, gereconstrueerd]: schuif de lijn door \((a,f(a))\) en \((b,f(b))\) evenwijdig op tot hij de grafiek raakt; in dat raakpunt ligt \(c\). (08:17)

Voorbeeld: log x is kleiner dan x − 1 (09:13)

Te bewijzen: \(\log x<x-1\) voor alle \(x>1\). Met \(\log\) bedoelt de docent de natuurlijke logaritme; het boek schrijft \(\ln x\). Het klopt ook voor log, maar in de aantekeningen wordt ln gebruikt. (09:39)
Kiezen: de stelling gaat over een interval, dus neem de twee punten uit de bewering, met de kleinste als \(a\): \(a=1\), \(b=x\). (11:59)
Omdat \(b-a=x-1>0\) en \(\log1=0\), is de bewering gelijkwaardig met \(\frac{\log x-\log1}{x-1}<1\). Links staat \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) met \(f=\log\), dus je moet laten zien dat \(f'(c)<1\). (14:08)
\(\log\) is differentieerbaar op \((0,\infty)\), met \(\frac{d}{dx}\log x=\frac1x\). De stelling geeft een \(c\) met \(1<c<x\) en \(\frac{\log x}{x-1}=\frac1c\). (16:13)
Uit \(c>1\) volgt \(\frac1c<1\); vermenigvuldig met \(x-1>0\): \(\log x<x-1\). (19:30)
Let op het teken: vermenigvuldigen met een negatief getal draait de ongelijkheid om. (20:18)

Gegeneraliseerde middelwaardestelling (20:57)

Volgens de docent vooral gebruikt om theorie op te bouwen; ze komt later terug. (21:00)
Gegeneraliseerde middelwaardestelling (Generalized Mean-Value Theorem): zijn \(f\) en \(g\) continu op \([a,b]\) en differentieerbaar op \((a,b)\), en is \(g'(x)\neq0\) voor alle \(x\in(a,b)\), dan is er minstens één \(c\in(a,b)\) met (22:27)

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.\]

\(g'\neq0\) moet op héél \((a,b)\) gelden, omdat je niet weet welke \(c\) de stelling geeft. Dan is ook \(g(b)\neq g(a)\), anders gaf de gewone stelling voor \(g\) een punt met \(g'=0\) (boek, §2.8). (23:14)
Met \(g(x)=x\) krijg je de gewone middelwaardestelling terug. (24:35)

Voorbeeld: cos x is groter dan 1 − x²/2 (25:09)

Te bewijzen: \(\cos x>1-\tfrac{x^2}{2}\) voor \(x>0\). Figuur [bord, gereconstrueerd]: de parabool ligt onder de grafiek van \(\cos\). (25:13)
\(a\) en \(b\) zijn getallen op de \(x\)-as: \(a=0\), \(b=x\). \(\cos\) en \(x^2\) horen in de functies: \(f(t)=\cos t\), \(g(t)=1-\tfrac{t^2}{2}\) (de docent gebruikt \(f(x)\) en \(g(x)\); \(t\) voorkomt verwarring met het eindpunt \(x\)). (30:10)
Voorwaarden (niet in het college nagegaan): beide functies zijn overal differentieerbaar en \(g'(t)=-t\neq0\) op \((0,x)\).
Op een vraag uit de zaal: je kunt ze ook omdraaien (vermoedelijk \(f\) en \(g\)). Let op: dan is \(g'(t)=-\sin t\), nul in \(t=\pi\), dus dat werkt alleen voor \(0<x\le\pi\). (32:36)
De stelling geeft een \(c\in(0,x)\) met (34:00)

\[\frac{\cos x-\cos 0}{\left(1-\frac{x^2}{2}\right)-1}=\frac{-\sin c}{-c}=\frac{\sin c}{c}.\]

Omdat \(\sin c<c\) voor \(c>0\) (zie college 6), is \(\dfrac{\cos x-1}{-x^2/2}<1\). Vermenigvuldig met \(-\tfrac{x^2}{2}<0\) (teken draait om): \(\cos x-1>-\tfrac{x^2}{2}\). (37:22)
Vuistregel van de docent: staat na herschrijven \(b-a\) in de noemer (zoals \(x-1\)), gebruik dan de gewone stelling; staat er een andere functie van \(x\) (zoals \(\tfrac{x^2}{2}\)), dan de gegeneraliseerde. In de praktijk is de gewone het vaakst nodig. (38:48)
Let op: de docent zegt dat het hier móét, maar het is een vuistregel: de gewone stelling op \(h(t)=\cos t-1+\tfrac{t^2}{2}\) werkt ook (\(h(0)=0\) en \(h'(t)=t-\sin t>0\), dus \(h(x)=h'(c)\,x>0\)).
\(c\) hangt van \(x\) af en is onbekend; je gebruikt alleen dat \(a<c<b\). Omdat \(b=x\) willekeurig is, geldt de bewering voor alle \(x>0\). (40:00)

Impliciet differentiëren: de cirkel (41:04)

Vaak ken je alleen een verband tussen \(x\) en \(y\), zonder dat \(y\) één functie van \(x\) is; voor een raaklijn hoef je alleen lokaal te kijken. (41:23)
Voorbeeld: de raaklijn aan de cirkel \(x^2+y^2=25\) in \((-4,3)\). Figuur [bord, gereconstrueerd]: cirkel met straal \(5\) en die raaklijn. (44:31)
Stap 1, aanname: rond \(x_0=-4\) is \(y\) een differentieerbare functie van \(x\) met \(y(-4)=3\), dus \(y(x)^2+x^2=25\). Hier is dat de bovenhelft \(y=\sqrt{25-x^2}\), maar die formule heb je niet nodig. De aanname kan overal behalve in \((\pm5,0)\). (46:47)
Stap 2, differentieer beide kanten naar \(x\), met de kettingregel voor \(y(x)^2\): (49:35)

\[2y(x)\,y'(x)+2x=0,\qquad\text{dus } y'=-\frac xy\ \text{ als } y\neq0.\]

Stap 3, vul het punt in: \(2\cdot3\cdot y'(-4)+2\cdot(-4)=0\), dus \(y'(-4)=\tfrac43\). Raaklijn \(y=y_0+y'(x_0)(x-x_0)\): \(y=3+\tfrac43(x+4)\). (52:40)

Het folium van Descartes (70:00)

Kromme \(x^3+y^3=3xy\); gevraagd: de helling van de raaklijn in een punt \((x_0,y_0)\) op de kromme. (70:51)
Neem aan dat \(y=y(x)\) bij \((x_0,y_0)\) en differentieer, met de kettingregel links en de productregel rechts; zet de termen met \(y'\) bij elkaar en deel door \(3\): (76:38)

\[3x^2+3y^2y'=3y+3xy'\quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{x^2-y}{x-y^2}.\]

\((\tfrac32,\tfrac32)\) ligt op de kromme (beide kanten \(\tfrac{27}{4}\)) en geeft \(y'=\dfrac{\frac94-\frac32}{\frac32-\frac94}=-1\); raaklijn \(y=\tfrac32-(x-\tfrac32)\). (78:45)
Figuur [bord, gereconstrueerd]: een lus in het eerste kwadrant met \((\tfrac32,\tfrac32)\) rechtsboven op \(y=x\); door de oorsprong lopen ook takken naar het tweede en vierde kwadrant, dus daar kruist de kromme zichzelf. (79:30)

Wanneer de aanname faalt (81:04)

De formule werkt niet waar \(x_0=y_0^2\), want dan is de noemer \(0\). (81:55)
In \((0,0)\) gaan twee takken door het punt: \(y\) is daar geen functie van \(x\) (stap 1 faalt) en de formule geeft \(\tfrac00\). Ga dus altijd na of \(y\) lokaal echt een functie van \(x\) is. (84:15)
Bij de cirkel gaat het mis in \((\pm5,0)\) (figuur [bord, gereconstrueerd]: uitvergroting rond \((5,0)\)). Links van \(x=5\) horen bij elke \(x\) twee \(y\)-waarden; kies je één helft, dan ligt rechts van \(x=5\) nog geen punt, terwijl je voor een afgeleide van beide kanten moet kunnen naderen. De raaklijn is er verticaal: \(y'=-\frac xy\) heeft noemer \(0\). (86:22)
Let op: de docent zegt dat daar twee krommen kruisen; dat is niet zo, de boven- en onderhelft sluiten er met een verticale raaklijn op elkaar aan. (87:06)
Oplossing in \((\pm5,0)\): schrijf lokaal \(x\) als functie van \(y\). In de oorsprong van het folium lukt ook dat niet, omdat er echt twee takken kruisen. (87:44)

Rationale machten (89:35)

Bekend: \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\) voor gehele \(n\) (zie college 5). Nu \(x^{p/q}\) met \(p,q\) geheel en \(q>0\); een gemeenschappelijke deler van \(p\) en \(q\) mag. (90:49)
Schrijf \(y(x)=x^{p/q}\), dus \(y^q=x^p\), en differentieer: \(q\,y^{q-1}y'=p\,x^{p-1}\). Met \(y^{q-1}=x^{p-p/q}\): (95:23)

\[y'=\frac pq\cdot\frac{x^{p-1}}{y^{q-1}}=\frac pq\cdot\frac{x^{p-1}}{x^{p-p/q}}=\frac pq\,x^{\frac pq-1}.\]

Zoals altijd bij impliciet differentiëren neem je aan dat \(y\) differentieerbaar is; werk met \(x>0\), dan bestaan alle machten en is \(y\neq0\).
Voor willekeurige reële machten heb je logaritmen nodig (antwoord op een vraag uit de zaal). (96:38)

Hogere afgeleiden (97:08)

Voorbeeld: \(y(x)\) voldoet aan \(y^3+xy=3x\); bepaal \(y''\), uitgedrukt in \(x\) en \(y\). (97:55)
Eén keer differentiëren (kettingregel en productregel): \(3y^2y'+y+xy'=3\), oftewel \((3y^2+x)\,y'+y=3\), dus \(y'=\dfrac{3-y}{3y^2+x}\). (105:52)
Nog een keer differentiëren, met \((3y^2+x)'=6yy'+1\) [bord, gereconstrueerd]: (109:35)

\[(6yy'+1)\,y'+(3y^2+x)\,y''+y'=0\quad\Longrightarrow\quad y''=-\frac{y'\,(2+6yy')}{3y^2+x}.\]

Vul \(y'\) in om \(y''\) in \(x\) en \(y\) te krijgen. Vereenvoudigd (niet in het college): \(y''=-\dfrac{2(3-y)(x+9y)}{(3y^2+x)^3}\).

4. Begrippen & definities

Middelwaardestelling: \(f\) continu op \([a,b]\) en differentieerbaar op \((a,b)\) geeft minstens één \(c\in(a,b)\) met \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Gegeneraliseerde middelwaardestelling: \(f,g\) continu op \([a,b]\), differentieerbaar op \((a,b)\) en \(g'\neq0\) op \((a,b)\) geeft minstens één \(c\in(a,b)\) met \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\); met \(g(x)=x\) de gewone stelling.
Impliciet differentiëren: neem aan dat \(y\) lokaal een differentieerbare functie van \(x\) is, differentieer beide kanten van de vergelijking naar \(x\) (kettingregel bij elke uitdrukking in \(y\)) en los \(y'\) op.
Machtsregel voor rationale machten: \(\frac{d}{dx}x^{p/q}=\frac pq x^{p/q-1}\) voor \(x>0\), met \(p,q\) geheel en \(q>0\).

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Bij een ongelijkheid zelf \(a\), \(b\), \(f\) (en eventueel \(g\)) kiezen door de bewering als quotiënt te schrijven, en de voorwaarden van de stelling nagaan. (10:15)
Bij vermenigvuldigen of delen van een ongelijkheid het teken bewaken. (20:18)
Impliciet differentiëren volgens het stappenplan: aanname, beide kanten differentiëren (kettingregel bij \(y\), productregel bij termen als \(xy\)), \(y'\) oplossen. (74:54)
Nagaan of \(y\) lokaal een functie van \(x\) is; een noemer \(0\) in de formule voor \(y'\) is een waarschuwing. (84:15)

6. Oefenvragen

Bewijs met de middelwaardestelling dat \(\log x<x-1\) ook geldt voor \(0<x<1\). Welke \(a\), \(b\) en \(f\) kies je?
(a) Waarom moet in de gegeneraliseerde middelwaardestelling \(g'\neq0\) zijn op het hele open interval? (b) Bewijs dat \(\sin x>x-\tfrac{x^3}{6}\) voor \(x>0\), met \(f(t)=\sin t-t\) en \(g(t)=-\tfrac{t^3}{6}\) op \([0,x]\) en de ongelijkheid uit het college.
(a) Bepaal de raaklijn aan \(x^2+y^2=25\) in \((3,-4)\). (b) Waarom werkt de methode niet in \((5,0)\), en hoe vind je daar toch de raaklijn?
Voor het folium \(x^3+y^3=3xy\) is \(y'=\frac{x^2-y}{x-y^2}\). In welke punten van de kromme is de noemer \(0\), en wat gebeurt daar?
Bepaal met impliciet differentiëren de afgeleide van \(x^{2/3}\) voor \(x>0\). Wat neem je daarbij aan?
\(y(x)\) voldoet aan \(y^3+xy=3x\). Ga na dat \((\tfrac12,1)\) op de kromme ligt en bereken daar \(y'\) en \(y''\).

Antwoorden

Neem \(a=x\), \(b=1\), \(f=\log\). Er is een \(c\in(x,1)\) met \(\frac{\log1-\log x}{1-x}=\frac1c>1\), want \(0<c<1\). Vermenigvuldig met \(1-x>0\): \(-\log x>1-x\), dus \(\log x<x-1\).
(a) Je weet niet welke \(c\) de stelling geeft, en je moet door \(g'(c)\) kunnen delen; ook volgt zo \(g(b)\neq g(a)\). (b) \(f\) en \(g\) zijn overal differentieerbaar, \(g'(t)=-\tfrac{t^2}{2}\neq0\) op \((0,x)\) en \(f(0)=g(0)=0\). Er is een \(c\in(0,x)\) met \(\frac{\sin x-x}{-x^3/6}=\frac{\cos c-1}{-c^2/2}=\frac{1-\cos c}{c^2/2}\). Uit \(\cos c>1-\tfrac{c^2}{2}\) volgt dat dit kleiner is dan \(1\). Vermenigvuldig met \(-\tfrac{x^3}{6}<0\) (teken draait om): \(\sin x-x>-\tfrac{x^3}{6}\).
(a) \(2y\,y'+2x=0\) geeft in \((3,-4)\): \(-8y'+6=0\), dus \(y'=\tfrac34\) en \(y=-4+\tfrac34(x-3)\). (b) Rechts van \(x=5\) ligt geen punt van de cirkel en links horen bij elke \(x\) twee \(y\)-waarden, dus \(y\) is daar geen differentieerbare functie van \(x\) (\(y'=-\frac xy\) heeft noemer \(0\)). Neem \(x\) als functie van \(y\): \(2x\,x'+2y=0\) geeft \(\frac{dx}{dy}=-\frac yx=0\) in \((5,0)\), dus de raaklijn is \(x=5\).
\(x=y^2\) invullen geeft \(y^6+y^3=3y^3\), dus \(y=0\) of \(y^3=2\). In \((0,0)\) kruisen twee takken: \(y\) is daar geen functie van \(x\) en de formule geeft \(\tfrac00\). In \((\sqrt[3]4,\sqrt[3]2)\) is de teller \(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]2=\sqrt[3]2\neq0\): een verticale raaklijn; daar is \(x\) lokaal wel een functie van \(y\).
\(y=x^{2/3}\) geeft \(y^3=x^2\), dus \(3y^2y'=2x\) en \(y'=\frac{2x}{3y^2}=\frac{2x}{3x^{4/3}}=\tfrac23x^{-1/3}\). Je neemt aan dat \(x^{2/3}\) differentieerbaar is.
\(1^3+\tfrac12\cdot1=\tfrac32=3\cdot\tfrac12\). \(y'=\frac{3-1}{3+\frac12}=\tfrac47\). \(y''=-\frac{y'(2+6yy')}{3y^2+x}=-\frac{\frac47\cdot\frac{38}{7}}{\frac72}=-\tfrac{304}{343}\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~20:08: Welke andere aanpak een student voorstelt voor \(\log x<x-1\), is niet te verstaan; de docent noemt het ook een goede manier.
~32:15: De vraag uit de zaal na het kiezen van \(f\) en \(g\) is niet te verstaan; alleen het antwoord ‘je kunt ze omdraaien’ is te horen.
~79:30 en ~85:46: De schetsen van het folium en van de cirkel rond \((5,0)\) staan alleen op het bord.
~101:26: Bij de tweede afgeleide wordt het bord tot het eind (~110:41) meerdere keren verbeterd; kijk na welke eindvorm er uiteindelijk staat.