Ga naar inhoud

College 3: Singulariteiten en het berekenen van limieten

Woensdag 9 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

  • Gianne Derks valt dit college en het volgende in voor Frits. Ze geeft het vak samen met hem en verzorgt sowieso de tweede helft. (05:35)
  • Het vak begint aan limieten en continuïteit, hoofdstuk 1 van Adams. Dit college gaat alleen over limieten. (05:56)
  • Voor limieten bestaat geen vast recept; ervaring krijg je door het huiswerk en de werkcolleges te maken. (37:31)
  • De aantekeningen van de docent staan op Brightspace; handig omdat het bord op de opname soms slecht te lezen is. (72:17)
  • Morgen (donderdag 10 september): limieten bepalen door een functie tussen twee andere functies in te klemmen. (112:10)

2. Samenvatting

Een limiet \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) beschrijft waar \(f(x)\) naartoe gaat als \(x\) naar \(a\) gaat, ook als \(f\) in \(a\) niet gedefinieerd is, en is altijd een getal, nooit \(\pm\infty\). Bij een nul in de noemer van een rationale functie beslist vereenvoudigen of de singulariteit oplosbaar is (de limiet bestaat) of een asymptoot geeft (de limiet bestaat niet). Bij \(\tfrac00\) helpen breuken samennemen, ontbinden en vooral de worteltruc, met steeds de valkuil \(\sqrt{y^2}=|y|\). Linker- en rechterlimieten beschrijven het gedrag aan één kant. Voor \(x\to\pm\infty\) deel je door de hoogste macht van de noemer; alleen de hoogste term houden gaat bij een verschil van wortels fout.

3. Aantekeningen per onderwerp

Rationale functies: nulpunten en singulariteiten (06:49)

  • Een rationale functie is een breuk van twee polynomen: \(R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\). (07:47)
  • \(r\) is een nulpunt van \(R\) als \(P(r)=0\) en \(Q(r)\neq0\). (08:44)
  • \(s\) is een singulariteit van \(R\) als \(Q(s)=0\). (09:02)
  • Voorbeeld: \(R(x)=\dfrac{2x-4}{x^2-2x-3}=\dfrac{2(x-2)}{(x-3)(x+1)}\). Nulpunt \(2\) (de noemer is daar \(-3\neq0\)), singulariteiten \(3\) en \(-1\). (09:28)
  • Schets [bord, gereconstrueerd]: positief in \(0\), nulpunt in \(2\), naar \(-\infty\) als \(x\) van links naar \(3\) gaat; rechts van \(3\) van \(+\infty\) dalend naar \(0\). Bij \(-1\) een tweede verticale asymptoot. (11:02)
  • Geeft een singulariteit altijd een asymptoot? Nee: als ook \(P(s)=0\), kan er van alles gebeuren. (12:33)

Oplosbare singulariteiten (14:02)

  • Zelfde noemer, maar teller \(2x-6\): invullen van \(x=3\) geeft \(\tfrac00\), niet gedefinieerd. (14:33)
  • Schets [bord, gereconstrueerd]: rond \(3\) geen asymptoot; de grafiek daalt gewoon door, met een gat bij \(x=3\) op hoogte \(\tfrac12\). (15:20)
  • Ontbinden: \(\dfrac{2x-6}{x^2-2x-3}=\dfrac{2(x-3)}{(x+1)(x-3)}=\dfrac{2}{x+1}\), mits \(x\neq3\); dicht bij \(3\) is dat ongeveer \(\tfrac{2}{3+1}=\tfrac12\). Wegstrepen mag niet in \(x=3\) zelf: daar kan juist interessant gedrag zitten. (19:28)
  • Definitie (21:35): een singulariteit \(s\) van \(R=P/Q\) is oplosbaar als er polynomen \(\hat P\), \(\hat Q\) zijn met \(R(x)=\hat P(x)/\hat Q(x)\) voor \(x\neq s\), waarbij \(x-s\) geen deler is van \(\hat Q(x)\) (dus \(\hat Q(s)\neq0\)). Hierboven: \(\hat P(x)=2\), \(\hat Q(x)=x+1\).
  • Tegenvoorbeeld: \(\dfrac{2x-6}{x^3-5x^2+3x+9}=\dfrac{2(x-3)}{(x-3)^2(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\) voor \(x\neq3\). Ook na vereenvoudigen deelt \(x-3\) de noemer, dus \(3\) is geen oplosbare singulariteit, hoewel invullen \(\tfrac00\) gaf: niet elk \(\tfrac00\)-geval is oplosbaar. (24:09)
  • Dicht bij \(3\) is deze functie ongeveer \(\tfrac12\cdot\tfrac{1}{x-3}\): een asymptoot, links naar \(-\infty\), rechts naar \(+\infty\). (29:08)

Definitie van de limiet (30:41)

  • Is \(f\) gedefinieerd voor alle \(x\) in de buurt van \(a\), behalve eventueel in \(a\) zelf (boek, §1.2), en ligt \(f(x)\) willekeurig dicht bij \(L\) zodra \(x\) voldoende dicht bij \(a\) ligt, met \(x\neq a\) (boek, §1.2), dan nadert \(f\) de limiet \(L\) als \(x\) naar \(a\) gaat: \(\lim_{x\to a}f(x)=L\). (30:53)
  • Voorbeeld: \(\lim_{x\to3}\dfrac{2x-6}{x^2-2x-3}=\tfrac12\). (33:35)
  • \(\lim_{x\to3}\dfrac{2x-4}{x^2-2x-3}\) bestaat niet: van links gaat de functie naar \(-\infty\), van rechts naar \(+\infty\). (34:51)
  • Een limiet is altijd een eindig getal. Gaat \(f(x)\) naar \(\pm\infty\), dan bestaat de limiet niet; schrijf nooit ‘\(\lim=-\infty\)’, ook niet als beide kanten naar \(-\infty\) gaan. (35:45)
  • Het boek schrijft dan wel \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\) (oneindige limiet), als beschrijving van hoe de limiet niet bestaat (boek, §1.3); de docent wil ‘bestaat niet’ zien.

Limieten berekenen: invullen en vereenvoudigen (37:27)

  • Vul eerst \(a\) in. Komt er een getal uit (noemer niet \(0\)), dan is dat de limiet. Krijg je \(c/0\) met \(c\neq0\), dan bestaat de limiet niet. Krijg je \(\tfrac00\), dan moet je eerst vereenvoudigen. (38:53)
  • Voorbeeld: \(f(x)=\dfrac{\frac1x-\frac13}{x-3}\) geeft bij \(x=3\) \(\tfrac00\). Breuken samennemen: \(\tfrac1x-\tfrac13=\tfrac{3-x}{3x}\), dus \(f(x)=\dfrac{3-x}{3x(x-3)}=-\dfrac{1}{3x}\) mits \(x\neq3\) [bord, gereconstrueerd]. Dus \(\lim_{x\to3}f(x)=-\tfrac19\). (39:53)

Wortels: substitutie en worteltruc (42:04)

  • \(f(x)=\dfrac{\sqrt x-2}{x-4}\) met \(x\to4\): weer \(\tfrac00\), en door de wortel geen breuk van polynomen. (42:09)
  • Methode 1: substitueer \(x=y^2\) met \(y>0\) (voor \(x\) dicht bij \(4\) ligt \(y\) dicht bij \(2\)). Dan is \(\sqrt{y^2}=y\) en \(f(y^2)=\dfrac{y-2}{(y-2)(y+2)}=\dfrac{1}{y+2}\) voor \(y\neq2\), dus \(\lim_{y\to2}f(y^2)=\tfrac14\) en \(\lim_{x\to4}f(x)=\tfrac14\). (43:55)
  • Let op het teken: \(\sqrt{y^2}=|y|\), want een wortel is nooit negatief. Alleen voor \(y\geq0\) is \(\sqrt{y^2}=y\); zo is \(\sqrt{(-4)^2}=4\). (45:45)
  • Methode 2, de worteltruc: vermenigvuldig teller en noemer met \(\sqrt x+2\). Dat mag, omdat deze factor voor \(x\) dicht bij \(4\) ongeveer \(4\) is en dus niet \(0\). Met \((\sqrt x-2)(\sqrt x+2)=x-4\) volgt \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x+2}\) voor \(x\neq4\), dus de limiet is \(\tfrac14\). (50:28)

Linker- en rechterlimieten (72:42)

  • Linkerlimiet \(\lim_{x\uparrow a}f(x)\): ‘\(x\) stijgt naar \(a\)’, \(x\) nadert \(a\) van onderen (\(x<a\)). Rechterlimiet \(\lim_{x\downarrow a}f(x)\): ‘\(x\) daalt naar \(a\)’ (\(x>a\)) [bord, gereconstrueerd]. (74:13)
  • Het boek schrijft \(x\to a^-\) en \(x\to a^+\) (boek, §1.2). (74:26)
  • Voorbeeld: de tekenfunctie \(\operatorname{sgn}(x)=\dfrac{x}{|x|}\) is \(-1\) voor \(x<0\) en \(1\) voor \(x>0\); in \(0\) laat de docent haar ongedefinieerd (er bestaan andere afspraken). (75:48)
  • \(\lim_{x\uparrow0}\operatorname{sgn}(x)=-1\) en \(\lim_{x\downarrow0}\operatorname{sgn}(x)=1\), dus \(\lim_{x\to0}\operatorname{sgn}(x)\) bestaat niet. (76:43)
  • Algemeen: \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) precies dan als de linker- en de rechterlimiet allebei bestaan en gelijk zijn aan \(L\) (boek, §1.2). Verschillen ze, dan bestaat de limiet niet. (77:46)

Limieten voor x naar oneindig (78:46)

  • \(\lim_{x\to\infty}\): \(x\) wordt onbegrensd groot en positief; \(\lim_{x\to-\infty}\): onbegrensd groot en negatief. De docent noemt dit ‘oneindige limieten’. Het boek noemt dit limieten op oneindig (limits at infinity) en gebruikt ‘oneindige limiet’ (infinite limit) voor het geval \(f(x)\to\pm\infty\) (boek, §1.3). (80:01)
  • Invullen geeft bij een rationale functie ‘\(\infty/\infty\)’, wat niets zegt. Deel daarom teller en noemer door de hoogste macht van \(x\) in de noemer, zodat de noemer niet naar \(0\) of \(\infty\) gaat. (84:41)
  • Uitgewerkt: delen door \(x^3\) geeft (85:21)
\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-x+2}{4x^3+5}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac3x-\frac1{x^2}+\frac2{x^3}}{4+\frac5{x^3}}=\frac{0}{4}=0.\]
  • Zelfde teller met noemer \(4x^2+5\): delen door \(x^2\) geeft \(\tfrac34\). Met noemer \(4x+5\): delen door \(x\) geeft \(\dfrac{3x-1+\frac2x}{4+\frac5x}\), dat onbegrensd groeit, dus de limiet bestaat niet. (89:48)
  • Samengevat voor een rationale functie bij \(x\to\pm\infty\): graad teller kleiner dan graad noemer geeft \(0\); gelijke graad geeft het quotiënt van de hoogste coëfficiënten; graad teller groter: de limiet bestaat niet.

Verschil van wortels voor x naar oneindig (95:05)

  • \(\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\). Fout: ‘\(4x\) is klein naast \(x^2\), dus \(\sqrt{x^2+4x}\approx x\) en de limiet is \(0\)’. (95:34)
  • Hoogste macht buiten haakjes: voor \(x>0\) is \(\sqrt{x^2+4x}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\tfrac4x}=x\sqrt{1+\tfrac4x}\) (hier is \(x>0\) nodig). Dat geeft \(x\left(\sqrt{1+\tfrac4x}-1\right)\), van de vorm ‘\(\infty\cdot0\)’, waar je nog niets aan hebt. (96:52)
  • Worteltruc: vermenigvuldig teller en noemer met \(\sqrt{x^2+4x}+x\). Dat geeft (100:05)
\[\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{x\left(\sqrt{1+\frac4x}+1\right)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}\to\frac42=2.\]
  • \(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)\): met \(-x\) zou de uitdrukking hier gewoon onbegrensd groeien; met \(+x\) trek je twee ongeveer even grote getallen van elkaar af. (105:22)
  • Worteltruc met \(\sqrt{x^2+4x}-x\) geeft \(\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}-x}\). Nu is \(x<0\), dus \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\) en \(\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=-1\). Teller en noemer delen door \(x\): (107:13)
\[\frac{4}{-\sqrt{1+\frac4x}-1}\to\frac{4}{-2}=-2.\]
  • De docent twijfelde even over het teken, maar \(-2\) klopt: voor \(x<-4\) is \(\sqrt{x^2+4x}<-x\), dus de uitdrukking is negatief. (111:22)

4. Begrippen & definities

  • Rationale functie: \(P(x)/Q(x)\) met \(P\) en \(Q\) polynomen.
  • Nulpunt van \(R=P/Q\): een \(r\) met \(P(r)=0\) en \(Q(r)\neq0\).
  • Singulariteit van \(R\): een \(s\) met \(Q(s)=0\).
  • Oplosbare singulariteit: singulariteit \(s\) met \(R(x)=\hat P(x)/\hat Q(x)\) voor \(x\neq s\), waarbij \(x-s\) geen deler is van \(\hat Q\); dan is \(\lim_{x\to s}R(x)=\hat P(s)/\hat Q(s)\).
  • Limiet \(\lim_{x\to a}f(x)=L\): \(f(x)\) ligt willekeurig dicht bij \(L\) zodra \(x\neq a\) voldoende dicht bij \(a\) ligt; \(L\) is een getal.
  • Linker-/rechterlimiet: \(\lim_{x\uparrow a}\) (via \(x<a\)) en \(\lim_{x\downarrow a}\) (via \(x>a\)); in het boek \(x\to a^-\) en \(x\to a^+\).
  • Limiet voor \(x\to\pm\infty\): gedrag van \(f(x)\) als \(x\) onbegrensd groot positief of negatief wordt.
  • Tekenfunctie \(\operatorname{sgn}\) (sign): \(\operatorname{sgn}(x)=x/|x|\) voor \(x\neq0\).
  • Worteltruc: teller en noemer vermenigvuldigen met de wortelvorm met het andere teken (\(\sqrt A+B\) bij \(\sqrt A-B\)), zodat de wortel verdwijnt; mag als die factor in de buurt niet \(0\) is.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

  • Bij vereenvoudigen altijd ‘mits \(x\neq s\)’ opschrijven; in het punt zelf mag je niet wegstrepen. (20:17)
  • Kunnen beslissen of een singulariteit oplosbaar is; dat invullen \(\tfrac00\) geeft, is daarvoor niet genoeg. (26:53)
  • Nooit ‘\(\lim=\pm\infty\)’ schrijven; de docent noemt dat fout. Schrijf ‘de limiet bestaat niet’. (36:10)
  • Bij elke \(\sqrt{y^2}\) eerst nagaan of \(y\) positief of negatief is, en dan \(y\) of \(-y\) schrijven. (47:17)
  • De worteltruc kunnen toepassen, bij \(x\to a\) en bij \(x\to\pm\infty\), en kunnen uitleggen waarom het vermenigvuldigen mag; volgens de docent komt hij nog vaak terug. (55:09)
  • Limieten voor \(x\to\pm\infty\) volledig uitschrijven door de hoogste macht van de noemer buiten haakjes te halen, in plaats van termen uit de losse pols weg te laten. (88:23)
  • Kunnen uitleggen waarom ‘hoogste term houden’ bij een verschil als \(\sqrt{x^2+4x}-x\) het verkeerde antwoord geeft. (103:33)

6. Oefenvragen

  1. (a) Bepaal de nulpunten en singulariteiten van \(\dfrac{2x-4}{x^2-2x-3}\) en van \(\dfrac{2x-6}{x^2-2x-3}\), en zeg welke singulariteiten oplosbaar zijn. (b) Is \(3\) een oplosbare singulariteit van \(\dfrac{2x-6}{x^3-5x^2+3x+9}\)?
  2. Wat schrijf je op voor \(\lim_{x\to3}\dfrac{-1}{(x-3)^2}\)? Hoe noteert het boek dit?
  3. Bereken \(\lim_{x\to2}\dfrac{\frac1x-\frac12}{x-2}\).
  4. Bereken \(\lim_{x\to9}\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}\) met de worteltruc. Waarom mag je hier met \(\sqrt x+3\) vermenigvuldigen?
  5. Bepaal \(\lim_{x\uparrow1}\), \(\lim_{x\downarrow1}\) en \(\lim_{x\to1}\) van \(\dfrac{x^2-1}{|x-1|}\).
  6. Bereken \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-x+2}{q(x)}\) voor \(q(x)=4x^3+5\), \(q(x)=4x^2+5\) en \(q(x)=4x+5\).
  7. Bereken \(\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)\) en \(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)\).
Antwoorden
  1. (a) Eerste functie: nulpunt \(2\); singulariteiten \(3\) en \(-1\), niet oplosbaar. Tweede functie: geen nulpunt (de teller is alleen \(0\) in \(3\), waar ook de noemer \(0\) is); gelijk aan \(\tfrac{2}{x+1}\) voor \(x\neq3\), dus \(3\) is oplosbaar (limiet \(\tfrac12\)) en \(-1\) niet. (b) Nee: na vereenvoudigen deelt \(x-3\) nog steeds de noemer, ook al gaf invullen \(\tfrac00\).
  2. Aan beide kanten gaat de functie naar \(-\infty\), maar \(-\infty\) is geen getal: ‘de limiet bestaat niet’. Het boek schrijft \(\lim_{x\to3}\frac{-1}{(x-3)^2}=-\infty\) om dat gedrag te beschrijven.
  3. \(\tfrac1x-\tfrac12=\tfrac{2-x}{2x}\), dus de functie is \(\tfrac{2-x}{2x(x-2)}=-\tfrac{1}{2x}\) mits \(x\neq2\). Limiet: \(-\tfrac14\).
  4. \(\dfrac{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}{(x-9)(\sqrt x+3)}=\dfrac{x-9}{(x-9)(\sqrt x+3)}=\dfrac{1}{\sqrt x+3}\) mits \(x\neq9\), dus de limiet is \(\tfrac16\). Het mag omdat je met \(\tfrac{\sqrt x+3}{\sqrt x+3}=1\) vermenigvuldigt en \(\sqrt x+3\approx6\neq0\) voor \(x\) dicht bij \(9\).
  5. Voor \(x>1\) is \(|x-1|=x-1\), dus de functie is \(x+1\to2\). Voor \(x<1\) is \(|x-1|=-(x-1)\), dus de functie is \(-(x+1)\to-2\). Linkerlimiet \(-2\), rechterlimiet \(2\): ze verschillen, dus \(\lim_{x\to1}\) bestaat niet.
  6. Deel door de hoogste macht van de noemer. \(4x^3+5\): \(\tfrac{0}{4}=0\). \(4x^2+5\): \(\tfrac34\). \(4x+5\): \(\tfrac{3x-1+2/x}{4+5/x}\) groeit onbegrensd, dus de limiet bestaat niet.
  7. Eerste: \(\dfrac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\dfrac{6}{\sqrt{1+6/x}+1}\to3\), met \(\sqrt{x^2}=x\) voor \(x>0\). Tweede: \(\dfrac{6x}{\sqrt{x^2+6x}-x}\); voor \(x<0\) is \(\sqrt{x^2}=-x\), dus delen door \(x\) geeft \(\dfrac{6}{-\sqrt{1+6/x}-1}\to-3\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

  • ~17:30: De docent merkt dat de camera het verkeerde bord filmt, en rond 27:10 opnieuw. De schets zonder asymptoot en het voorbeeld met \(x^3-5x^2+3x+9\) zijn daardoor mogelijk niet goed in beeld; vergelijk met de aantekeningen op Brightspace.
  • ~80:01: Zegt de docent ‘oneindige limieten’ of ‘limieten op oneindig’? In het boek betekent ‘oneindige limiet’ iets anders.