College 3: Matrixvermenigvuldiging, lineaire afbeeldingen, stelsels lineaire vergelijkingen en Gauss-eliminatie

Dinsdag 8 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Na de pauze een korte presentatie van een externe organisatie (genoemd: ssl-leiden.nl) die studenten zoekt om cursusweekenden te geven, in vakken van bèta tot talen; eten en drinken geregeld, overnachten mogelijk, genoemde vergoeding 200 euro per dag. Meer informatie op de uitgedeelde flyer.

2. Samenvatting

Het college begint met twee manieren om het matrix-vectorproduct te lezen (inproducten met de rijen, of een lineaire combinatie van de kolommen) en met de formule voor het matrixproduct, met de waarschuwing dat \(AB\neq BA\) in het algemeen. Daarna wordt de rotatiematrix afgeleid als voorbeeld van een lineaire afbeelding, en komen de identiteitsmatrix en de getransponeerde aan bod. Vervolgens wordt een stelsel lineaire vergelijkingen geschreven als \(Ax=b\). Na de pauze volgen spillen, rijtrapvorm en de aangevulde matrix, met een criterium voor het aantal oplossingen (geen, één of oneindig veel). Tot slot: elementaire rijoperaties, Gauss-eliminatie en kort Gauss-Jordan-eliminatie.

3. Aantekeningen per onderwerp

Matrix-vectorproduct: rijen en kolommen (05:19)

Een \(m\times n\)-matrix heeft \(m\) rijen en \(n\) kolommen. Je kunt \(A\) zien als een stapel rijen of als een rij kolommen. (05:32)
Voorbeeld met rijen \(a_1,a_2\) en kolommen \(b_1,b_2,b_3\) [bord, gereconstrueerd] (06:22)

\[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\]
Via de rijen: \(Ax\) is de vector van inproducten van de rijen met \(x\): \(1+4-3=2\) en \(4+10-6=8\), dus \(Ax=(2,8)\). (06:50)
Via de kolommen: \(Ax\) is een lineaire combinatie van de kolommen, met de getallen uit \(x\) als coëfficiënten: \(Ax=1\cdot b_1+2\cdot b_2+(-1)\cdot b_3\). (07:40)
Algemeen, voor \(A\) met rijen \(a_1,\dots,a_m\) en \(x\in\mathbb{R}^n\) [bord, gereconstrueerd] (08:11)

\[Ax=\begin{pmatrix}a_1\cdot x\\ \vdots\\ a_m\cdot x\end{pmatrix}\]

Matrixproduct (08:59)

\(AB\) is de matrix met kolommen \(Ab_1,\dots,Ab_p\), waarbij \(b_1,\dots,b_p\) de kolommen van \(B\) zijn. Dat kan alleen als \(A\) evenveel kolommen heeft als \(B\) rijen; \(m\times n\) keer \(n\times p\) geeft \(m\times p\). (09:19)
In rij \(i\), kolom \(k\) van \(AB\) staat het inproduct van rij \(i\) van \(A\) met kolom \(k\) van \(B\) [bord, gereconstrueerd] (10:45)

\[c_{ik}=a_i\cdot b_k=a_{i1}b_{1k}+\dots+a_{in}b_{nk}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\]

met \(1\le i\le m\), \(1\le j\le n\), \(1\le k\le p\). Het makkelijkst te onthouden als inproduct.
Notatie: \(a\) met één index is een rij (desgewenst \(\vec a_i\)), \(a\) met twee indices is een getal uit de matrix. (12:19)
Voorbeeld [bord, gereconstrueerd] (15:06)

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&32\\32&77\end{pmatrix}\]

Linksboven \(1^2+2^2+3^2=14\), rechtsboven \(1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32\), rechtsonder \(4^2+5^2+6^2=77\) (de docent kwam op \(67\), zie sectie 7).
Ook \(BA\) bestaat hier; dat is een \(3\times3\)-matrix met eerste rij \((17,22,27)\), bijv. \(1\cdot1+4\cdot4=17\). (16:38)
Let op: in het algemeen \(AB\neq BA\). Hier is dat duidelijk (\(2\times2\) tegenover \(3\times3\)), maar ook voor vierkante matrices is het meestal niet waar, hooguit toevallig. (17:33)

Rekenregels voor matrices (18:24)

Voor matrices waarvoor de bewerkingen gedefinieerd zijn en \(r\in\mathbb{R}\) [bord, gereconstrueerd]:

\(A+B=B+A\) en \((A+B)+C=A+(B+C)\) (18:39)
\(A+0=A\), met \(0\) de nulmatrix (alleen nullen) van dezelfde afmetingen als \(A\); voor elke afmeting is er één. (18:57)
\(r(A+B)=rA+rB\) (19:42)
\((AB)C=A(BC)\): je mag kiezen welke vermenigvuldiging je eerst doet, maar links en rechts nooit verwisselen. (20:01)
\(A(B+C)=AB+AC\) (20:39)
Het boek noemt onder meer ook \((A+B)C=AC+BC\) en \(r(AB)=(rA)B=A(rB)\). (boek, §1.3)
Bijna alle rekenregels voor getallen gelden ook voor matrices, maar \(AB=BA\) niet. (20:57)

Rotatie als matrixvermenigvuldiging (21:16)

Een \(m\times n\)-matrix \(A\) geeft een functie ("machientje") \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), \(x\mapsto Ax\). (21:42)
Ander machientje: \(R:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), rotatie om \((0,0)\) over hoek \(\alpha\) tegen de klok in. Figuur: pijl van de oorsprong naar \((x_1,x_2)\) en de geroteerde pijl, even lang, met hoek \(\alpha\) ertussen. [bord, gereconstrueerd] (22:24)
\(e_1=(1,0)\) ligt op de eenheidscirkel, dus \(R(e_1)=(\cos\alpha,\sin\alpha)\). (23:32)
\(R(e_2)=(-\sin\alpha,\cos\alpha)\): het driehoekje is \(90^\circ\) gedraaid, dus horizontale en verticale lengte wisselen van plaats en de horizontale wijst nu naar links. (24:29)
Rotatie is "lief voor" schalen: \(R(cx)=cR(x)\), bijv. \(R(3,0)=(3\cos\alpha,3\sin\alpha)\). (25:21)
En voor optellen: draai je het parallellogram met hoekpunten \(0,x,z,x+z\) als geheel, dan krijg je het parallellogram met hoekpunten \(0,R(x),R(z),R(x+z)\), dus \(R(x+z)=R(x)+R(z)\). [bord, gereconstrueerd] (27:27)
Daaruit volgt [bord, gereconstrueerd] (29:06)

\[R(x)=R(x_1e_1+x_2e_2)=x_1R(e_1)+x_2R(e_2)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\]

Voor een rotatie met de klok mee vervang je \(\alpha\) door \(-\alpha\).
Algemeen heet een afbeelding \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) die lief is voor optellen en schalen een lineaire afbeelding; dezelfde redenering laat zien dat die altijd door een matrix gegeven wordt. (32:33)
Veel boeken behandelen lineaire afbeeldingen en matrices bijna als hetzelfde; houd ze in je hoofd gescheiden, want met matrices kun je nog veel meer. (33:15)

Identiteitsmatrix (33:36)

\(I_n\) is de \(n\times n\)-matrix met enen op de diagonaal en verder nullen; de kolommen zijn \(e_1,\dots,e_n\). (33:54)
\(Ae_j\) is de \(j\)-de kolom van \(A\); daardoor geldt voor een \(m\times n\)-matrix \(A\) [bord, gereconstrueerd] (34:17)

\[AI_n=A,\qquad I_mA=A\]

Getransponeerde (35:02)

\(A^T\) krijg je door rijen en kolommen te verwisselen (spiegelen in de diagonaal): als \(A=(a_{ij})\), dan staat in rij \(i\), kolom \(j\) van \(A^T\) het getal \(a_{ji}\). Voorbeeld [bord, gereconstrueerd] (35:34)

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\]
Spiegel je het schema van een vermenigvuldiging in de schuine as, dan worden de kolommen van \(B\) de rijen van \(B^T\) en de rijen van \(A\) de kolommen van \(A^T\). Dus, met omgekeerde volgorde [bord, gereconstrueerd] (36:46)

\[(AB)^T=B^TA^T\]

Stelsels als matrixvergelijking (37:58)

Werkcollege, §1.2 opg. 16: zoek \(x\) loodrecht op \(u=(-1,3,4)\) en \(v=(2,1,-1)\). Loodrecht betekent hoek \(90^\circ\), dus cosinus en daarmee het inproduct \(0\) [bord, gereconstrueerd] (38:03)

\[-x_1+3x_2+4x_3=0,\qquad 2x_1+x_2-x_3=0\]
Elimineer \(x_1\): \(2\times\) de eerste plus \(1\times\) de tweede geeft \(7x_2+7x_3=0\). (40:20)
De oplossing is niet uniek (als \(x\) werkt, werkt \(3x\) ook), dus \(x_3\) mag je kiezen. \(x_3=s\) geeft \(x_2=-s\) en \(x_1=s\): \(x=s(1,-1,1)\). (41:08)
Zet \(u\) en \(v\) als rijen in een matrix; dan is \(Ax=(u\cdot x,\,v\cdot x)\) en zoeken we \(x\in\mathbb{R}^3\) met \(Ax=0\) [bord, gereconstrueerd] (43:49)

\[A=\begin{pmatrix}-1&3&4\\2&1&-1\end{pmatrix}\]
Algemeen: gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A=(a_{ij})\) en \(b\in\mathbb{R}^m\), zoek \(x\in\mathbb{R}^n\) zodanig dat \(Ax=b\). De oplossingsverzameling is (verticale streep = "waarvoor geldt") [bord, gereconstrueerd] (45:29)

\[\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=b\}\]
Lezing via de rijen \(a_1,\dots,a_m\): \(a_i\cdot x=b_i\) voor elke \(i\), oftewel \(m\) vergelijkingen \(a_{i1}x_1+\dots+a_{in}x_n=b_i\). (48:31)
Lezing via de kolommen \(w_1,\dots,w_n\): \(x_1w_1+\dots+x_nw_n=b\), dus zoek de coëfficiënten van een lineaire combinatie van de kolommen die \(b\) oplevert. Beide lezingen geven dezelfde oplossingen. (51:06)
Er zijn geen, precies één of oneindig veel oplossingen. Aanpak in twee stappen: (1) breng het stelsel in rijtrapvorm, (2) los die vorm op; we beginnen met stap 2. (52:44)
Notatie: \(A=(a_{ij})\) met eronder \(1\le i\le m\), \(1\le j\le n\); \(i\) geeft de rij, \(j\) de kolom. Bijv. \((i^2+j)\) met \(1\le i\le2\), \(1\le j\le3\) is \(\begin{pmatrix}2&3&4\\5&6&7\end{pmatrix}\). [bord, gereconstrueerd] (53:51)

Rijtrapvorm en spillen (68:55)

Voorbeeld, met gelijke variabelen onder elkaar geschreven [bord, gereconstrueerd] (69:30)

\[x_1-x_3=0,\qquad 2x_3+x_4=2,\qquad -2x_4=4\]
Los op van onder naar boven: \(x_4=4/(-2)=-2\); \(2x_3=2-x_4=4\), dus \(x_3=2\); \(x_2\) komt niet voor en is vrij, \(x_2=s\); \(x_1=x_3=2\). (70:31)

\[x=\begin{pmatrix}2\\s\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\]
Als \(Ax=b\): \(A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&2&1\\0&0&0&-2\end{pmatrix}\), \(b=(0,2,4)\). [bord, gereconstrueerd] (72:41)
Waarom dit makkelijk is: bij elke vergelijking zijn alle latere variabelen al bekend of vrij te kiezen, dus de eerste variabele van die vergelijking druk je daarin uit. Die variabele komt in de vergelijkingen eronder niet meer voor, dus niets botst. In de matrix: de eerste niet-nul coëfficiënten staan steeds verder naar rechts. (73:35)
Spil (pivot): het eerste niet-nul element van een rij, als die rij niet helemaal nul is. (75:38)
Rijtrapvorm (row echelon form): voor elke rij met spil staan de spillen van de rijen eronder verder naar rechts, en nulrijen staan helemaal onderaan. [bord, gereconstrueerd] (76:09)
Boek: (1) rijen met alleen nullen staan onder de rijen met niet-nul elementen; (2) het eerste niet-nul element van elke rij staat in een kolom rechts van het eerste niet-nul element van elke rij erboven. (boek, §1.4)
Strikt verder naar rechts: onder een spil staan in álle rijen eronder nullen. (78:14)
Zet je de rijen in een andere volgorde (bijv. \((0,0,0,-2)\) boven \((0,0,2,1)\)), dan is het geen rijtrapvorm meer. Oplossen kan nog, maar dan moet je zelf de volgorde uitzoeken; de afspraak houdt het systematisch. (78:44)

Aangevulde matrix en aantal oplossingen (80:20)

Zet \(b\) achter een verticale streep naast \(A\): de aangevulde matrix \((A\mid b)\); de streep staat voor het isgelijkteken. [bord, gereconstrueerd] (80:45)

\[\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&0\\0&0&2&1&2\\0&0&0&-2&4\end{array}\right)\]
Tijdens het rekenen hoef je \(x\) niet op te schrijven; in je conclusie vermeld je wel dat je \(Ax=b\) oplost. (92:05)
Staat \((A\mid b)\) in rijtrapvorm (spillen tellen inclusief de laatste kolom), dan lees je het aantal oplossingen af. [bord, gereconstrueerd] (82:18)
Spil in de laatste kolom: er is een rij \((0,\dots,0\mid c)\) met \(c\neq0\), dus de vergelijking \(0=c\): geen oplossingen. Het stelsel heet dan strijdig (inconsistent). (83:00)
Niet strijdig en elke andere kolom heeft een spil: elke spil bepaalt één variabele, dus er is precies één (unieke) oplossing. (84:56)
Niet strijdig en een kolom (niet de laatste) zonder spil: oneindig veel oplossingen. (87:41)
Een niet-nul getal is niet automatisch een spil; alleen het eerste niet-nul element van een rij telt. (86:13)
Vrije variabelen horen bij kolommen zonder spil en mag je vrij kiezen; spilvariabelen (pivotvariabelen) horen bij kolommen met spil en druk je uit in de rest. (88:46)
Voorbeeld \(\left(\begin{array}{cc|c}1&0&0\\0&0&1\end{array}\right)\): spil in de laatste kolom, \(0=1\), geen oplossingen. [bord, gereconstrueerd] (90:00)
Voorbeeld \(\left(\begin{array}{cc|c}1&2&4\\0&3&5\end{array}\right)\): elke kolom van \(A\) een spil, unieke oplossing; \(x_2=\tfrac53\), dan \(x_1=4-\tfrac{10}{3}=\tfrac23\) (in het college zelf uitrekenen). [bord, gereconstrueerd] (90:32)
Voorbeeld \(\left(\begin{array}{cc|c}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\): \(x_1\) vrij, \(x_2\) spilvariabele met \(x_2=0\); oneindig veel oplossingen \((s,0)\). De nulrij geeft \(0=0\), altijd waar. [bord, gereconstrueerd] (91:22)

Uitgewerkt voorbeeld met twee vrije variabelen (94:06)

Aangevulde matrix, afgeleid uit de uitwerking [bord, gereconstrueerd] (94:22)

\[\left(\begin{array}{ccccc|c}1&2&1&-5&1&3\\0&0&-2&4&2&-4\\0&0&0&3&0&6\end{array}\right)\]
Spillen \(1,-2,3\) in kolom 1, 3 en 4, telkens verder naar rechts; geen spil in de laatste kolom, dus niet strijdig. Spilvariabelen \(x_1,x_3,x_4\); vrije variabelen \(x_2=s\), \(x_5=t\). (94:47)
Rij 3: \(3x_4=6\), dus \(x_4=2\). (96:14)
Rij 2: \(-2x_3=-4-4x_4-2x_5=-12-2t\), dus \(x_3=6+t\). (96:24)
Rij 1: \(x_1=3-2x_2-x_3+5x_4-x_5=3-2s-(6+t)+10-t=7-2s-2t\). (98:33)
Oplossing [bord, gereconstrueerd] (100:00)

\[x=\begin{pmatrix}7-2s-2t\\s\\6+t\\2\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\\6\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\\1\end{pmatrix}\]
Twee kolommen zonder spil geven twee vrije parameters: "dubbel oneindig veel" oplossingen. (101:32)

Elementaire rijoperaties en Gauss-eliminatie (101:52)

Een stelsel dat nog niet in rijtrapvorm staat, breng je erin door variabelen te elimineren, zoals bij het werkcollegevoorbeeld. (102:21)
Voorbeeld \(2x_1+3x_2+x_3=3\), \(4x_1-x_2+2x_3=1\): trek \(2\times\) rij 1 af van rij 2, links én rechts van de streep; daarmee staat het al in rijtrapvorm [bord, gereconstrueerd] (102:58)

\[\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&1&3\\4&-1&2&1\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&1&3\\0&-7&0&-5\end{array}\right)\]
Elementaire rijoperatie 1: tel een veelvoud van een rij op bij een andere rij. (104:25)
Elementaire rijoperatie 2: verwissel twee rijen. (105:51)
Elementaire rijoperatie 3: schaal een rij met een factor \(c\neq0\) (soms handig, niet per se nodig). (106:07)
Werkwijze: staat bovenaan een niet-nul getal, trek dan veelvouden van die rij af van de rijen eronder zodat daar nullen komen; de eerste niet-nullen eronder staan dan verder naar rechts. Herhaal. Staat bovenaan een \(0\), verwissel dan eerst rijen. (105:04)
Schrijf bij elke stap op wat je doet, zodat je lezer het kan volgen, bijv. \(R_2-2R_1\) naast de nieuwe rij. (106:57)
Gauss-eliminatie: variabelen elimineren door elementaire rijoperaties op de aangevulde matrix toe te passen, tot die in rijtrapvorm staat. (108:23)
De operaties zijn omkeerbaar, dus de oplossingsverzameling verandert niet (zelf nagaan). Doe daarom niet twee operaties tegelijk die elkaar gebruiken (een veelvoud van \(R_1\) bij \(R_2\) en tegelijk een veelvoud van \(R_2\) bij \(R_1\)): dan kun je niet meer terug. Met één vaste rij mag je wel meerdere andere rijen tegelijk bewerken. (110:28)
Voorbeeld: kies liefst een \(1\) als spil, dan hoef je niet te delen. Verwissel dus eerst \(R_1\) en \(R_3\) (genoteerd door \(R_3,R_2,R_1\) naast de nieuwe rijen te zetten) [bord, gereconstrueerd] (108:55)

\[\left(\begin{array}{cccc|c}0&4&2&0&8\\2&-6&-1&2&-12\\1&-2&0&4&-4\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&-2&0&4&-4\\2&-6&-1&2&-12\\0&4&2&0&8\end{array}\right)\]
Daarna \(R_2-2R_1\) en vervolgens \(R_3+2R_2\) [bord, gereconstrueerd] (111:23)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&-2&0&4&-4\\0&-2&-1&-6&-4\\0&4&2&0&8\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&-2&0&4&-4\\0&-2&-1&-6&-4\\0&0&0&-12&0\end{array}\right)\]
Nu rijtrapvorm: \(x_4=0\), \(x_3\) vrij, \(x_2\) en \(x_1\) op te lossen. (113:13) (Niet in het college uitgewerkt: met \(x_3=s\) is \(x_2=2-\tfrac12s\) en \(x_1=-s\).)
Gauss-Jordan-eliminatie: met extra rijoperaties ook nullen bóven elke spil maken; het eindstelsel is dan nog makkelijker op te lossen. (113:31)
Volgens het boek schaal je daarbij ook elke rij met een spil, zodat elke spil \(1\) wordt. Het resultaat is de gereduceerde rijtrapvorm: een rijtrapvorm waarin elke spil \(1\) is en boven elke spil alleen nullen staan (eronder staan in een rijtrapvorm al nullen). Die komt uitgebreid terug in college 4. (boek, §1.4)

4. Begrippen & definities

\(m\times n\)-matrix: \(m\) rijen en \(n\) kolommen; \(a_{ij}\) staat in rij \(i\), kolom \(j\).
Matrix-vectorproduct \(Ax\): vector van inproducten van de rijen van \(A\) met \(x\); tegelijk de lineaire combinatie \(x_1w_1+\dots+x_nw_n\) van de kolommen.
Matrixproduct \(AB\): voor \(A\) van \(m\times n\) en \(B\) van \(n\times p\) de \(m\times p\)-matrix met element \((i,k)\) gelijk aan \(\sum_j a_{ij}b_{jk}\).
Nulmatrix: matrix met alleen nullen; er is er één voor elke afmeting.
Lineaire afbeelding: afbeelding \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) met \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) en \(f(cx)=cf(x)\); altijd gegeven door een matrix.
Rotatiematrix: \(\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\), rotatie van \(\mathbb{R}^2\) om de oorsprong over hoek \(\alpha\) tegen de klok in.
Identiteitsmatrix \(I_n\): \(n\times n\), enen op de diagonaal, verder nullen; \(AI_n=I_mA=A\).
Getransponeerde \(A^T\): rijen en kolommen verwisseld, \((A^T)_{ij}=a_{ji}\); \((AB)^T=B^TA^T\).
Oplossingsverzameling: \(\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=b\}\).
Aangevulde matrix \((A\mid b)\): \(A\) met \(b\) als extra kolom achter een verticale streep.
Spil (pivot): eerste niet-nul element van een rij die niet helemaal nul is.
Rijtrapvorm (row echelon form): spillen staan in elke volgende rij strikt verder naar rechts; nulrijen onderaan.
Strijdig (inconsistent): zonder oplossingen; herkenbaar aan een spil in de laatste kolom van \((A\mid b)\) in rijtrapvorm.
Vrije variabele: hoort bij een kolom zonder spil, vrij te kiezen.
Spilvariabele (pivotvariabele): hoort bij een kolom met spil, uit te drukken in de rest.
Elementaire rijoperaties: veelvoud van een rij bij een andere optellen, twee rijen verwisselen, een rij schalen met \(c\neq0\).
Gauss-eliminatie: met elementaire rijoperaties een aangevulde matrix in rijtrapvorm brengen.
Gereduceerde rijtrapvorm: rijtrapvorm waarin elke spil \(1\) is en boven elke spil alleen nullen staan.
Gauss-Jordan-eliminatie: met elementaire rijoperaties een aangevulde matrix in gereduceerde rijtrapvorm brengen.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

\(AB\neq BA\) in het algemeen, ook niet voor vierkante matrices. (18:05)
Element \((i,k)\) van \(AB\) uitrekenen als inproduct van rij \(i\) van \(A\) met kolom \(k\) van \(B\). (14:17)
De rekenregels voor matrices worden allemaal gebruikt, vooral \((AB)C=A(BC)\), waarbij links en rechts niet mogen wisselen. (20:01)
Lineaire afbeeldingen en matrices in je hoofd gescheiden houden. (33:24)
De getransponeerde en \((AB)^T=B^TA^T\) komen regelmatig terug. (37:53)
Rijtrapvorm: spillen strikt verder naar rechts, nulrijen onderaan. (78:17)
Aan \((A\mid b)\) in rijtrapvorm aflezen of er geen, één of oneindig veel oplossingen zijn. (82:18)
Bij Gauss-eliminatie bij elke stap noteren welke rijoperatie je toepast. (106:57)
Nooit twee rijoperaties tegelijk die van elkaar afhangen; omkeerbaarheid zorgt dat de oplossingsverzameling gelijk blijft. (110:28)

6. Oefenvragen

Bereken \(AB\) en \(BA\) voor \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). Wat concludeer je?
Geef de matrix van de rotatie om de oorsprong over \(90^\circ\) tegen de klok in en bereken het beeld van \((3,1)\). Geef ook de matrix van de rotatie over \(90^\circ\) met de klok mee, bereken het product van beide matrices en verklaar de uitkomst.
Het voorbeeld \(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&32\\32&77\end{pmatrix}\) uit het college is \(AA^T\) met \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\). (a) Leg met \((AB)^T=B^TA^T\) uit waarom \((AA^T)^T=AA^T\) voor elke matrix \(A\). (b) Bereken \(A^TA\) en controleer dat ook die matrix gelijk is aan zijn getransponeerde.
Staat \(\left(\begin{array}{cccc|c}1&3&0&2&1\\0&0&1&-1&4\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\) in rijtrapvorm? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Geef ze allemaal.
Voor welke \(h\) is het stelsel \(3x_1+5x_2=7\), \(6x_1+10x_2=h\) (het voorbeeld uit college 1) strijdig? Hoeveel oplossingen zijn er voor de andere waarde(n)? Hoe zit het als je de coëfficiënt \(10\) vervangt door \(9\)?
Zoek, zoals in het voorbeeld uit het werkcollege, alle \(x\in\mathbb{R}^3\) die loodrecht staan op \(u=(0,1,3)\), \(v=(1,2,-1)\) en \(w=(2,5,1)\). (a) Schrijf dit als \(Ax=0\), breng \((A\mid0)\) met Gauss-eliminatie in rijtrapvorm (noteer bij elke stap de rijoperatie) en geef alle oplossingen. (b) Waarom mag je in één stap niet tegelijk \(R_2-R_3\) en \(R_3-R_2\) toepassen?

Antwoorden

\(AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\) en \(BA=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}\): ook voor vierkante matrices is \(AB\neq BA\).
Met \(\cos90^\circ=0\) en \(\sin90^\circ=1\) is de matrix \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\); het beeld van \((3,1)\) is \((-1,3)\). Met de klok mee vervang je \(\alpha=90^\circ\) door \(-90^\circ\); dat geeft \(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Het product (in beide volgordes) is \(I_2\): eerst \(90^\circ\) tegen de klok in draaien en dan \(90^\circ\) terug laat elke vector op zijn plek.
(a) \((AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T\), want twee keer spiegelen in de diagonaal geeft \((A^T)^T=A\). (b) \(A^TA=\begin{pmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{pmatrix}\) (de eerste rij \((17,22,27)\) kwam in het college al langs); spiegelen in de diagonaal verandert niets.
Ja: spillen in kolom 1 en 3, nulrij onderaan. Geen spil in de laatste kolom, dus niet strijdig; kolom 2 en 4 hebben geen spil, dus oneindig veel oplossingen. Met \(x_2=s\), \(x_4=t\) volgt \(x_3=4+t\) en \(x_1=1-3s-2t\):

\[x=(1,0,4,0)+s(-3,1,0,0)+t(-2,0,1,1)\]
\(R_2-2R_1\) geeft \(\left(\begin{array}{cc|c}3&5&7\\0&0&h-14\end{array}\right)\). Voor \(h\neq14\) staat er een spil in de laatste kolom: strijdig (zoals bij \(h=10\) in college 1). Voor \(h=14\) heeft kolom 2 geen spil, dus \(x_2\) is vrij: oneindig veel oplossingen. Met \(9\) in plaats van \(10\) geeft \(R_2-2R_1\) de rij \((0,-1\mid h-14)\): elke kolom van \(A\) heeft een spil en de laatste kolom niet, dus voor elke \(h\) precies één oplossing.
(a) \(A\) heeft rijen \(u,v,w\). Bovenaan staat een \(0\), dus verwissel eerst \(R_1\) en \(R_2\); daarna \(R_3-2R_1\) en vervolgens \(R_3-R_2\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c}0&1&3&0\\1&2&-1&0\\2&5&1&0\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&0\\0&1&3&0\\2&5&1&0\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&0\\0&1&3&0\\0&1&3&0\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&0\\0&1&3&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\]

Kolom 3 heeft geen spil, dus \(x_3=s\) is vrij; dan \(x_2=-3s\) en \(x_1=-2x_2+x_3=7s\): \(x=s(7,-3,1)\). (b) De twee nieuwe rijen zijn dan elkaars tegengestelde, dus de oorspronkelijke \(R_2\) en \(R_3\) zijn niet meer terug te krijgen: de stap is niet omkeerbaar. Je houdt in feite één vergelijking minder over, waardoor de oplossingsverzameling groter kan worden.

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~16:20: docent berekent rechtsonder in \(AB\) "67"; \(16+25+36=77\). In de notities gecorrigeerd.
~47:20: de docent schreef een afkorting voor "zodanig dat" op het bord (vermoedelijk z.d.d.); niet te horen welke.
~70:22: rechterlid van het voorbeeld eerst \(0\), daarna veranderd; \(b=(0,2,4)\) afgeleid uit 70:31–73:19.
~84:20–84:56: het criterium voor het aantal oplossingen is slecht te verstaan; gereconstrueerd uit de context.
~90:32: getallen van het tweede korte voorbeeld onzeker (te horen is "1, 2, 0, 3, 4, 5"); gereconstrueerd als rijen \((1,2\mid4)\) en \((0,3\mid5)\).
~94:22: getallen van de \(3\times5\)-matrix onverstaanbaar; afgeleid uit de uitgewerkte vergelijkingen (96:14–99:37), met eerste rij \(x_1+2x_2+x_3-5x_4+x_5=3\).
~97:31: een student wijst op een fout op het bord ("dit slaat nergens op"); onduidelijk wat er gecorrigeerd werd.