College 4: Gauss-Jordan-eliminatie, elementaire matrices en de inverse van een matrix

Dinsdag 15 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

De twee grote voorbeelden van vandaag (gereduceerde rijtrapvorm en het berekenen van een inverse) staan ook in de collegeaantekeningen. (12:14)

2. Samenvatting

Na een herhaling van Gauss-eliminatie behandelt de docent de gereduceerde rijtrapvorm en Gauss-Jordan-eliminatie aan de hand van een voorbeeld. Om \(Ax=b\) snel voor steeds nieuwe \(b\) op te lossen, definieert hij de inverse van een vierkante matrix en bewijst hij dat die uniek is. Daarna laat hij zien dat een elementaire rijoperatie hetzelfde is als van links vermenigvuldigen met een elementaire matrix, en leidt hij rekenregels af, waaronder \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). Na de pauze volgen de formule voor de inverse van een \(2\times2\)-matrix via de determinant \(ad-bc\), het bewijs dat je \(A^{-1}\) vindt door \((A\mid I_n)\) te vegen tot \((I_n\mid A^{-1})\) en dat voor vierkante matrices één kant van de definitie volstaat, en een uitgewerkt \(3\times3\)-voorbeeld met controle.

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling: stelsels en Gauss-eliminatie (05:12)

Tot nu toe herformuleren we vooral wat je van school kent (variabelen elimineren). Met matrices opgeschreven wordt het compacter en inzichtelijker, en het wordt vanzelf moeilijker. (05:35)
Stelsel \(Ax=b\) met \(A\) een \(m\times n\)-matrix en \(b\in\mathbb{R}^m\); zoek \(x\in\mathbb{R}^n\). Breng \((A\mid b)\) in rijtrapvorm \((H\mid b')\). [bord, gereconstrueerd] (06:56)
Spil in de laatste kolom (vergelijking \(0=c\) met \(c\neq0\)): geen oplossingen. Anders: elke kolom vóór de streep een spil geeft een unieke oplossing; een kolom zonder spil geeft een vrije variabele en oneindig veel oplossingen. (08:06)
Elementaire rijoperaties: een veelvoud van een rij bij een andere rij optellen, een rij schalen met een factor \(\neq0\), twee rijen verwisselen. (09:16)
Elementaire rijoperaties toepassen heet vegen; Gauss-eliminatie is vegen tot rijtrapvorm. (09:46)

Gereduceerde rijtrapvorm en Gauss-Jordan-eliminatie (10:11)

Gereduceerde rijtrapvorm: rijtrapvorm waarin elke spil \(1\) is en boven elke spil alleen nullen staan. Niet nodig om het aantal oplossingen te bepalen, wel handig om ze te vinden. (10:26)
Gauss-Jordan-eliminatie: vegen tot gereduceerde rijtrapvorm. (11:22)
Voorbeeld dat al in rijtrapvorm staat; de nulrij geeft \(0=0\), dus niet strijdig. Eerst \(\tfrac12R_2\) en \(\tfrac13R_3\) [bord, gereconstrueerd] (11:57)

\[\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&1&1&1\\0&2&4&-2&6\\0&0&0&3&3\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&1&1&1\\0&1&2&-1&3\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\]
Twee schalingen tegelijk mag: ze hangen niet van elkaar af. Nooit tegelijk de ene rij bij de andere én de andere bij de ene optellen. (12:55)
Daarna nullen boven de spil in kolom 4: \(R_1-R_3\) en \(R_2+R_3\) [bord, gereconstrueerd] (14:02)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&1&0&0\\0&1&2&0&4\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\]
Spilvariabelen \(x_1,x_2,x_4\); vrij \(x_3=s\). Van onder naar boven: \(x_4=1\), \(x_2=4-2s\), \(x_1=-s\) [bord, gereconstrueerd] (15:06)

\[x=\begin{pmatrix}0\\4\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}\]
Voordeel: eerder opgeloste spilvariabelen staan in de hogere rijen met coëfficiënt \(0\), dus je hoeft niets meer in te vullen. (15:41)

Meerdere rechterleden tegelijk (17:46)

Voor elke nieuwe \(b\) opnieuw vegen is veel werk. Ken je \(b_1,b_2\) vooraf, veeg dan \((A\mid b_1\;b_2)\) tot \((H\mid b_1'\;b_2')\) en los twee keer op. Komt er later nog een \(b\) bij, dan begin je opnieuw. (18:23)

De inverse: motivatie en definitie (19:19)

Zoals je \(3x=6\) oplost door met \(\tfrac13\) te vermenigvuldigen: als er een matrix \(B\) is met \(BA=I\), dan geldt (associativiteit) [bord, gereconstrueerd] (19:59)

\[Ax=b\ \Rightarrow\ B(Ax)=Bb\ \Rightarrow\ (BA)x=Bb\ \Rightarrow\ x=Bb\]
Heb je \(B\) één keer gevonden, dan kost elke nieuwe \(b\) alleen een matrix-vectorproduct. (21:06)
Zo'n \(B\) bestaat niet altijd: sommige stelsels hebben geen of oneindig veel oplossingen, terwijl dit precies één oplossing suggereert. (21:27)
Definitie: een \(n\times n\)-matrix \(A\) heet inverteerbaar als er een \(n\times n\)-matrix \(B\) is met [bord, gereconstrueerd] (23:08)

\[BA=I_n=AB\]

\(B\) heet dan de inverse van \(A\).

De inverse is uniek (24:13)

Stelling: als \(A\) een inverse heeft, is die uniek. (24:25)
Bewijs: stel \(B\) en \(C\) voldoen allebei. Dan [bord, gereconstrueerd] (25:11)

\[B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C\]
\(BI_n=B\) omdat de kolommen van \(I_n\) telkens precies één kolom van \(B\) selecteren. (25:22)

Rijen van een matrixproduct (27:37)

Schema: \(B\) rechtsboven \(A\), het product \(AB\) rechts van \(A\) en onder \(B\). Waar rij \(v\) van \(A\) en kolom \(w\) van \(B\) kruisen, staat \(v\cdot w\); de kolom van \(AB\) onder \(w\) is \(Aw\). [bord, gereconstrueerd] (28:19)
Nieuw: de rij van \(AB\) naast \(v\) is \(vB\), als je \(v\) opvat als \(1\times n\)-matrix (en een kolom als \(n\times1\)-matrix). (30:18)
Voor rijen \(v_1,v_2\) van \(A\) en een scalair \(a\) volgt uit de rekenregels voor matrices [bord, gereconstrueerd] (32:19)

\[(av_1+v_2)B=a(v_1B)+v_2B\]
Vervang je in \(A\) rij \(v_2\) door \(v_2+av_1\), dan verandert de bijbehorende rij van \(AB\) van \(v_2B\) in \(v_2B+a(v_1B)\): dezelfde rijoperatie. Zo ook voor schalen en verwisselen. (33:52)

Rijoperaties en matrixproducten (36:22)

Feit: als \(AB=C\) en je past dezelfde elementaire rijoperatie toe op \(A\) en \(C\), met als resultaat \(A'\) en \(C'\), dan geldt \(A'B=C'\). (36:22)
Voorbeeld: begin met \(I_2\cdot A=A\) en pas \(R_1+5R_2\) toe op \(I_2\) en op het product [bord, gereconstrueerd] (37:53)

\[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&22\\3&4\end{pmatrix}\]

Controle: \(1\cdot1+5\cdot3=16\) en \(1\cdot2+5\cdot4=22\), precies dezelfde berekening als de rijoperatie.

Elementaire matrices (39:30)

Gevolg: elke elementaire rijoperatie op \(A\) is hetzelfde als \(A\) van links vermenigvuldigen met de matrix \(E\) die je uit de identiteitsmatrix krijgt door diezelfde operatie toe te passen: \(A\mapsto EA\). Zo'n \(E\) heet een elementaire matrix. (40:11)
Voorbeelden: rij 3 en 5 verwisselen (\(5\times5\)); rij 2 schalen met \(a\neq0\); \(c\) keer rij 2 bij rij 1 optellen [bord, gereconstrueerd] (41:42)

\[\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}1&c&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]
Van rechts vermenigvuldigen met zulke matrices geeft kolomoperaties; dat doen we (nog) niet. (42:39)
Elementaire matrices zijn inverteerbaar: elke rijoperatie is ongedaan te maken met een soortgelijke operatie (hetzelfde veelvoud aftrekken, schalen met \(1/c\), nog eens verwisselen). Bijvoorbeeld (zelf narekenen) [bord, gereconstrueerd] (46:05)

\[\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}\]

Niet inverteerbaar: een nulrij (47:37)

Voorbeeld \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\): de onderste rij van \(AB\) bestaat uit inproducten van \((0,0)\) met de kolommen van \(B\), dus is \(0\). Dus \(AB\neq I_2\) voor elke \(B\). (47:43)
Algemeen: heeft \(A\) een nulrij, dan heeft \(AB\) die ook; zo'n matrix is niet inverteerbaar. (48:39)
Is \(H\) inverteerbaar én in rijtrapvorm, dan heeft \(H\) (\(n\times n\)) geen nulrij, dus \(n\) spillen. Een kolom bevat hooguit één spil, dus elke kolom bevat een spil. (49:49)
Staat \(H\) bovendien in gereduceerde rijtrapvorm, dan staan de spillen langs de diagonaal, zijn ze \(1\) en staan erboven nullen: \(H=I_n\). (76:13)

Rekenregels voor de inverse (51:05)

Als \(A,B\) inverteerbare \(n\times n\)-matrices zijn, dan is \(AB\) inverteerbaar, met de volgorde omgekeerd [bord, gereconstrueerd] (52:15)

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]
Bewijs van één kant (de andere zelf nagaan), met associativiteit [bord, gereconstrueerd] (53:04)

\[(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n\]
\((A^{-1})^{-1}=A\): de definitie is symmetrisch in \(A\) en \(B\). (55:14)
Notatie (na de pauze): de inverse van \(A\) schrijf je als \(A^{-1}\); dat kan omdat ze uniek is. Als \(B=A^{-1}\), dan ook \(A=B^{-1}\). (69:11)

Voorbeelden: eigen inverse en de \(2\times2\)-formule (69:39)

\(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) verwisselt de twee rijen; twee keer verwisselen geeft \(A^2=I_2\), dus \(A\) is zijn eigen inverse. (69:41)
Voor \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\): verwissel de diagonaalelementen en zet een min voor de andere twee [bord, gereconstrueerd] (71:19)

\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=\Delta\,I_2,\qquad\Delta=ad-bc\]
\(\Delta\) heet de determinant van \(A\); determinanten van grotere matrices komen later. (71:56)
Dus als \(\Delta\neq0\), dan is \(A\) inverteerbaar met [bord, gereconstrueerd] (73:11)

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\]
Ook het omgekeerde geldt: bij \(\Delta=0\) is \(A\) niet inverteerbaar. Dus \(A\) is inverteerbaar precies dan als \(ad-bc\neq0\). (Niet in het college uitgewerkt: bij \(\Delta=0\) is \(A\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) de nulmatrix; was \(A\) inverteerbaar, dan gaf links vermenigvuldigen met \(A^{-1}\) dat \(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) de nulmatrix is, dus \(A\) ook; maar de nulmatrix is niet inverteerbaar.)
Dat een determinant \(\neq0\) inverteerbaarheid geeft, blijft gelden voor grotere matrices. (73:46) (Niet in het college uitgewerkt: ook daar geldt het omgekeerde.)

Beide kanten in de definitie (74:01)

Uit \(AB=I\) volgt in het algemeen niet dat er ook aan de andere kant een matrix is die \(I\) geeft; dat kan misgaan bij niet-vierkante matrices. Alleen een vierkante matrix kan inverteerbaar zijn. (74:20)
Voor vierkante matrices volstaat één van de twee eisen (bewijs hieronder). (74:49)
Het uniciteitsbewijs gebruikte ook al alleen \(BA=I_n\) en \(AC=I_n\). (75:25)
Opgave: verzin zelf matrices met \(AB=I\) waarvoor het andersom niet kan. (76:03)

De inverse berekenen met \((A\mid I_n)\) (77:42)

Stel \(A\) is inverteerbaar met (onbekende) inverse \(X\), dus \(AX=I_n\). In het schema is de onderste rij de aangevulde matrix \((A\mid I_n)\). Veeg die tot de (unieke) gereduceerde rijtrapvorm \((H\mid F)\); volgens het feit blijft \(HX=F\). [bord, gereconstrueerd] (78:19)
Bewering: als \(A\) inverteerbaar is, dan \(H=I_n\). (79:50)
Bewijs: elke rijoperatie is vermenigvuldigen met een elementaire matrix, dus [bord, gereconstrueerd] (81:10)

\[H=E_k\cdots E_2E_1A=GA,\qquad G=E_k\cdots E_1,\qquad G^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}\]

Haakjes maken niet uit, de volgorde van links naar rechts wel.
\(G\) en \(A\) zijn inverteerbaar, dus \(H=GA\) ook. (83:22)
Staat \((H\mid F)\) in gereduceerde rijtrapvorm, dan \(H\) ook: de eisen aan de spillen gelden dan ook voor het linkerdeel. Inverteerbaar en gereduceerd geeft \(H=I_n\). (83:45)
Dus \(F=HX=I_nX=X=A^{-1}\). (85:01)
Recept: zet \(I_n\) rechts naast \(A\) en veeg tot links \(I_n\) staat; rechts staat dan \(A^{-1}\). (85:51)
Niet inverteerbaar: uit \(H=GA\) en \(A=G^{-1}H\) volgt dat \(A\) en \(H\) allebei inverteerbaar zijn of allebei niet. Is \(A\) het niet, dan krijg je onderaan een nulrij; die zie je al in een rijtrapvorm, gereduceerd hoeft daarvoor niet. (86:21)
Na een opmerking van een student: uit \(GA=H=I_n\) met \(G\) inverteerbaar volgt \(A=G^{-1}\), dus \(F=G=A^{-1}=E_k\cdots E_1\). Je vindt de inverse dus ook door bij het vegen van \(A\) tot \(I_n\) de elementaire matrices te onthouden en te vermenigvuldigen: meer werk, maar soms handig in een bewijs. (88:14)

Voor vierkante matrices volstaat één kant (89:35)

Tweede schema: \(I_nA=A\), met onderste rij \((I_n\mid A)\). Dezelfde rijoperaties geven \((F\mid H)\), dus \(FA=H\). [bord, gereconstrueerd] (89:52)
Met \(H=I_n\) geeft het eerste schema \(AF=I_n\) en het tweede \(FA=I_n\): precies de twee eisen. Conclusie van de docent: heeft een vierkante matrix aan één kant een matrix die de identiteit geeft, dan geldt dat ook aan de andere kant. (91:52)
(Niet zo in het college uitgewerkt: begin je alleen met \(AX=I_n\), dan geeft het eerste schema \(HX=G\). \(G\) is inverteerbaar en heeft dus geen nulrij, dus \(H\) ook niet; dan is \(H=I_n\), \(X=G\) en \(XA=I_n\). Begin je met \(XA=I_n\), dan heeft \(Ax=0\) alleen de oplossing \(x=0\), want uit \(Ax=0\) volgt \(x=XAx=0\). Dan zijn er geen vrije variabelen (anders waren er oneindig veel oplossingen), dus heeft \(H\) in elke kolom een spil en is \(H=I_n\); zie ook college 5.)
Ook het boek bewijst dat voor vierkante matrices \(CA=I\) en \(AC=I\) equivalent zijn. (boek, §1.5)

Uitgewerkt voorbeeld (93:05)

\(A=\begin{pmatrix}2&5&2\\2&3&1\\-1&2&1\end{pmatrix}\), uit de aantekeningen, gekozen zodat er weinig breuken komen. Veeg \((A\mid I_3)\). (93:13)
Stap 1: verwissel \(R_1\) en \(R_3\) en schaal de nieuwe \(R_1\) met \(-1\); zo komt er bovenaan een \(1\) zonder breuken [bord, gereconstrueerd] (94:31)

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc}2&5&2&1&0&0\\2&3&1&0&1&0\\-1&2&1&0&0&1\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&-1&0&0&-1\\2&3&1&0&1&0\\2&5&2&1&0&0\end{array}\right)\]
Stap 2: \(R_2-2R_1\) en \(R_3-2R_1\) [bord, gereconstrueerd] (95:37)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&-1&0&0&-1\\0&7&3&0&1&2\\0&9&4&1&0&2\end{array}\right)\]
Stap 3: in plaats van door \(7\) of \(9\) te delen eerst \(R_2-R_3\), voor kleinere getallen en minder kans op fouten [bord, gereconstrueerd] (97:47)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&-1&0&0&-1\\0&-2&-1&-1&1&0\\0&9&4&1&0&2\end{array}\right)\]
Stap 4: eerst \(R_1-R_2\) (op voorstel van een student), daarna \(-\tfrac12R_2\), zodat \(R_1-R_2\) nog de ongeschaalde \(R_2\) gebruikt. Ook \(R_3+4R_2\) (met diezelfde \(R_2\)) had gekund [bord, gereconstrueerd] (99:08)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-1&-1\\0&1&\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12&0\\0&9&4&1&0&2\end{array}\right)\]
Je hebt onderweg veel keuze, maar de gereduceerde rijtrapvorm is uniek, dus elke route geeft hetzelfde. (99:23)
Stap 5: \(R_3-9R_2\) [bord, gereconstrueerd] (101:06)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-1&-1\\0&1&\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12&0\\0&0&-\tfrac12&-\tfrac72&\tfrac92&2\end{array}\right)\]
Stap 6: eerst \(R_2+R_3\), daarna \(-2R_3\) [bord, gereconstrueerd] (102:28)

\[\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-1&-1\\0&1&0&-3&4&2\\0&0&1&7&-9&-4\end{array}\right),\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-3&4&2\\7&-9&-4\end{pmatrix}\]
Nullen boven de spillen maak je liever pas aan het eind: zolang je niet weet of \(A\) inverteerbaar is, kan dat werk voor niets zijn. (104:20)
Hier is \(F=E_k\cdots E_2E_1\), met als eerste twee (die elk twee operaties combineren) [bord, gereconstrueerd] (105:13)

\[E_1=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}\]
Controle \(AF=I_3\), bijv. rij 1 maal kolom 1: \(2-15+14=1\); rij 1 maal kolom 2: \(-2+20-18=0\). Alle negen elementen kloppen. (106:48)

4. Begrippen & definities

Vegen: elementaire rijoperaties toepassen.
Gauss-eliminatie: vegen tot rijtrapvorm.
Gereduceerde rijtrapvorm: rijtrapvorm met elke spil gelijk aan \(1\) en alleen nullen boven elke spil; uniek.
Gauss-Jordan-eliminatie: vegen tot gereduceerde rijtrapvorm.
Identiteitsmatrix \(I_n\): \(n\times n\), enen op de diagonaal, verder nullen.
Inverteerbaar: een \(n\times n\)-matrix \(A\) waarvoor een \(n\times n\)-matrix \(B\) bestaat met \(BA=AB=I_n\); voor vierkante matrices volstaat één van beide.
Inverse \(A^{-1}\): die (unieke) matrix \(B\).
Elementaire matrix: matrix die je uit \(I_n\) krijgt door één elementaire rijoperatie; links vermenigvuldigen ermee voert die operatie uit; altijd inverteerbaar.
Determinant van een \(2\times2\)-matrix: \(ad-bc\) voor \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\); de matrix is inverteerbaar precies dan als \(ad-bc\neq0\).

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Nooit twee rijoperaties tegelijk die van elkaar afhangen; onafhankelijke schalingen tegelijk mag wel. (13:05)
Het bewijs dat de inverse uniek is (\(B=B(AC)=(BA)C=C\)) moet je begrijpen. (24:13)
Een rijoperatie is van links vermenigvuldigen met een elementaire matrix; van rechts geeft kolomoperaties. (42:25)
Een matrix met een nulrij is niet inverteerbaar. (48:39)
Zelf narekenen: de inverse van de elementaire matrix bij "\(a\) keer rij 2 bij rij 1", en de tweede helft van het bewijs van \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) (let op de omgekeerde volgorde). (55:00)
De definitie van inverteerbaar eist beide kanten; voor vierkante matrices volstaat één kant. Verzin zelf niet-vierkante matrices met \(AB=I\) waarvoor het andersom niet kan. (76:03)
De inverse ook kunnen schrijven als product van elementaire matrices: soms handig in een bewijs. (89:25)
Kies rijoperaties die breuken vermijden; dat verkleint de kans op rekenfouten. (97:42)
Inverse berekenen door \((A\mid I_n)\) te vegen tot \((I_n\mid A^{-1})\), en daarna altijd controleren dat \(AA^{-1}=I_n\). (106:48)

6. Oefenvragen

(a) Bepaal met de \(2\times2\)-formule de inverse van \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\) en controleer je antwoord. (b) Voor welke \(t\) is \(\begin{pmatrix}2&1\\t&3\end{pmatrix}\) niet inverteerbaar?
Veeg \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\) uit vraag 1 zonder breuken tot \(I_2\), met achtereenvolgens \(R_2-2R_1\), \(R_1-R_2\) en \(R_2-R_1\). Geef de bijbehorende elementaire matrices \(E_1,E_2,E_3\) en hun inversen, en controleer dat \(E_3E_2E_1=A^{-1}\).
(a) Bepaal door \((A\mid I_3)\) te vegen de inverse van \(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&2&2\end{pmatrix}\). (b) Wat gebeurt er als je hetzelfde doet met \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}\)? Wat concludeer je?
Neem \(n\times n\)-matrices \(A\), \(B\) en \(C\). (a) Stel \(BA=I_n\) en \(AC=I_n\). Bewijs dat \(B=C\) en geef bij elke stap aan wat je gebruikt. Waarom volgt hieruit dat de inverse uniek is? (b) Stel \(A\) en \(B\) zijn inverteerbaar. Bewijs de helft van \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) die in het college aan jou werd overgelaten: \((AB)(B^{-1}A^{-1})=I_n\). Waarom werkt \(A^{-1}B^{-1}\) in het algemeen niet?
Vind een \(2\times3\)-matrix \(A\) en een \(3\times2\)-matrix \(B\) met \(AB=I_2\) maar \(BA\neq I_3\).

Antwoorden

(a) \(ad-bc=6-5=1\), dus \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\). Controle: \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}6-5&-2+2\\15-15&-5+6\end{pmatrix}=I_2\). (b) De matrix is inverteerbaar precies dan als \(ad-bc=6-t\neq0\), dus niet inverteerbaar precies dan als \(t=6\). Dan is de tweede rij \((6,3)\) drie keer de eerste.
\(E_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\), \(E_2=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\) en \(E_3=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\), met tussenstappen \(E_1A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(E_2E_1A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\) en \(E_3E_2E_1A=I_2\). De inversen horen bij de terugweg \(R_2+2R_1\), \(R_1+R_2\) en \(R_2+R_1\): \(E_1^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\), \(E_2^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) en \(E_3^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\). Verder is \(E_2E_1=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\) en \(E_3E_2E_1=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=A^{-1}\), zoals in vraag 1.
(a) \(R_3-R_1\) geeft \((0,0,1\mid-1,0,1)\). Dan \(R_1-R_3\) en \(R_2-R_3\) (beide met de vaste \(R_3\)), daarna \(R_1-2R_2\):

\[A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-2&1\\1&1&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}\]

Controle: \(AA^{-1}=I_3\), bijv. rij 1 maal kolom 1: \(0+2-1=1\). (b) \(R_2-2R_1\) geeft links een nulrij; na verwisselen van \(R_2\) en \(R_3\) staat links de rijtrapvorm \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\) met een nulrij, dus links komt nooit \(I_3\) te staan. Een matrix met een nulrij is niet inverteerbaar, en een matrix en zijn rijtrapvorm zijn allebei inverteerbaar of allebei niet, dus deze matrix is niet inverteerbaar.
(a) \(B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C\): achtereenvolgens \(BI_n=B\), \(AC=I_n\), associativiteit, \(BA=I_n\) en \(I_nC=C\). Zijn \(B\) en \(C\) allebei een inverse van \(A\), dan gelden in het bijzonder \(BA=I_n\) en \(AC=I_n\), dus \(B=C\). (b) Met associativiteit: \((AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_nA^{-1}=AA^{-1}=I_n\). In \((AB)(A^{-1}B^{-1})=ABA^{-1}B^{-1}\) staan \(B\) en \(A^{-1}\) naast elkaar, en die mag je niet van plaats wisselen. Op dezelfde manier is juist \((BA)(A^{-1}B^{-1})=I_n\): \(A^{-1}B^{-1}\) is de inverse van \(BA\). Omdat de inverse uniek is, is het dus alleen de inverse van \(AB\) als \(AB=BA\), en dat geldt in het algemeen niet.
Bijvoorbeeld \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\): \(AB=I_2\), maar \(BA=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq I_3\). Sterker: de derde kolom van \(A\) is \(0\), dus de derde kolom van \(CA\) is \(0\) voor elke \(3\times2\)-matrix \(C\); geen enkele \(C\) geeft \(CA=I_3\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~12:09: de voorbeeldmatrix is maar deels uitgesproken ("2, 4, min 2, 6"); de beginmatrix is gereconstrueerd uit de geschaalde versie, met de eerste rij als ongewijzigd aangenomen.
~28:02–29:41: kleuren en precieze opstelling van het grote schema niet zeker.
~47:28 en ~70:43: studentvragen niet te horen; uit de antwoorden blijkt dat ze gingen over wat er gebeurt als er geen \(B\) bestaat, en over \(A\) als zijn eigen inverse.
~51:30–52:06: onduidelijk of het voorbeeld van de inverse elementaire matrix \(2\times2\) of groter was.
~77:13–77:37: een student wijst op een fout op het bord, vermoedelijk in de opmerking over \(H\) inverteerbaar en in gereduceerde rijtrapvorm; niet te horen wat er verbeterd werd.
~88:04 en ~99:49: opmerkingen van studenten niet te horen; uit de antwoorden afgeleid (\(F=G\), en alvast nullen maken in rij 1).
~89:52–90:50: docent verspreekt zich bij \(I_nA=A\) en over links en rechts; het tweede schema \((I_n\mid A)\to(F\mid H)\) is gereconstrueerd uit ~91:06–92:38.
~101:24–101:56: een student verbetert iets op het bord, vermoedelijk het teken van de laatste \(-1\) in rij 1 rechts.
~104:56: studentvraag niet te horen; het antwoord gaat over \(F\) als product van elementaire matrices.