College 5: Tekenoverzichten en de afgeleide

Woensdag 16 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Ook deze week geeft Gianne Derks het college, in plaats van Frits. (07:07)
Continue functies zijn afgerond; vanaf nu hoofdstuk 2 van Adams: de afgeleide. (19:47)
Bewijzen met inductie komen in dit vak waarschijnlijk niet op het tentamen, maar wel in latere vakken. Probeer ze zelf en blijf vragen stellen. (68:18)
Volgende college: de \(n\)-de afgeleide van \(x^m\). (109:27)

2. Samenvatting

De afgeleide \(f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn: de limiet van de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten van de grafiek. Met de definitie volgen \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\) (via het binomium van Newton en met volledige inductie) en \(\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\) (via complexe e-machten). Verder werk je met de som-, product-, quotiënt- en kettingregel; bij de kettingregel evalueer je \(f'\) in \(g(x)\). In een overgangspunt van een stuksgewijs gedefinieerde functie gebruik je de definitie met linker- en rechterlimiet. Vooraf: op een stuk waar \(f\) continu is en geen nulpunt heeft, is het teken constant, dus één testpunt per stuk geeft een tekenoverzicht.

3. Aantekeningen per onderwerp

Tekenoverzicht met de tussenwaardestelling (07:12)

Herhaling tussenwaardestelling: is \(f\) continu op het gesloten, begrensde interval \([a,b]\) en ligt \(y\) tussen \(f(a)\) en \(f(b)\), dan is er een \(c\in[a,b]\) met \(f(c)=y\) (zie college 4). (07:40)
De meeste functies die je tegenkomt zijn stuksgewijs continu: continu, behalve in geïsoleerde punten. (09:20)
Tekenoverzicht: bepaal de singulariteiten, de punten waar \(f\) niet continu is en de nulpunten; alleen daar kan het teken wisselen. (10:38)
Let op: de docent zegt dat een nulpunt een tekenwisseling geeft. Dat hoeft niet (\(x^2\) in \(0\)); wel wisselt \(f\) op een continu stuk alleen in een nulpunt van teken. (10:48)
Voorbeeld [bord, gereconstrueerd]: verticale asymptoot in \(a\), sprongen in \(b\) en \(c\), nulpunten \(d\) (tussen \(b\) en \(c\)) en \(e\) (voorbij \(c\)). Teken: \(-\) op \((-\infty,a)\), \(+\) op \((a,b)\), \(-\) op \((b,d)\), \(+\) op \((d,c)\) en \((c,e)\), \(-\) voorbij \(e\). In \(c\) springt \(f\) zonder tekenwisseling. (15:18)
Op elk deelinterval is \(f\) continu zonder nulpunt en heeft dus één vast teken: één testpunt per deelinterval is genoeg. (15:39)
Vraag uit de zaal: de deelintervallen zijn open, de tussenwaardestelling vraagt een gesloten interval. Volgens de docent komen de randpunten vanzelf goed (bij een sprong breid je \(f\) uit met de eenzijdige limiet). Kort: voor \(p<q\) in een open deelinterval is \(f\) continu op \([p,q]\), dus een tekenwisseling tussen \(p\) en \(q\) zou een nulpunt geven. (17:15)

De afgeleide als richtingscoëfficiënt van de raaklijn (20:30)

De afgeleide van \(f\) in \(x_0\) is de richtingscoëfficiënt \(r\) van de raaklijn in \((x_0,f(x_0))\); die raaklijn is \(y=r(x-x_0)+f(x_0)\). (22:29)
Figuur [bord, gereconstrueerd]: de lijn door \((x_0,f(x_0))\) en \((x_0+h,f(x_0+h))\), met \(h\) positief of negatief, heeft richtingscoëfficiënt \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\); voor \(h\to0\) gaat die lijn over in de raaklijn. (24:52)
Definitie: bestaat de limiet hieronder, dan heet \(f\) differentieerbaar in \(x\) en is \(f'(x)\) de afgeleide in \(x\); \(f'\) is zelf weer een functie. (26:49)

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Afgeleide van xⁿ met de definitie (28:05)

Voor \(f(x)=x^n\), met \(n\) een positief geheel getal, gebruik je het binomium van Newton: (29:28)

\[(x+h)^n=x^n+\binom n1x^{n-1}h+\binom n2x^{n-2}h^2+\dots+\binom n{n-1}xh^{n-1}+h^n,\qquad\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.\]

Faculteit: \(n!=n(n-1)\cdots2\cdot1\) en \(0!=1\); zo is \((x+h)^2=x^2+2xh+h^2\) met \(\binom21=2\). De formule mag je voorlopig aannemen; je bewijst haar met inductie. (32:16)
Met \(\binom n1=n\) volgt \(\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\binom n2x^{n-2}h+\dots+h^{n-1}\). Alle termen na de eerste bevatten een factor \(h\), dus \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\). (35:18)

Bewijs met volledige inductie (35:41)

Opbouw: (1) basisstap: bewijs de uitspraak voor de kleinste \(n\); (2) inductiestap: neem aan dat ze geldt voor een zekere, onbekende \(n\) (inductiehypothese) en bewijs haar daarmee voor \(n+1\); (3) uit 1 en 2 volgt ze voor \(n=1,2,3,\dots\), dus voor alle \(n\). (36:20)
Basisstap \(n=1\): \(\frac{(x+h)-x}{h}=1\) voor elke \(h\neq0\), dus \(\frac{d}{dx}x=1\). (37:39)
Inductiestap: neem aan dat \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\), schrijf \((x+h)^{n+1}=(x+h)^n\,(x+h)\) en splits: (43:16)

\[\frac{(x+h)^{n+1}-x^{n+1}}{h}=x\cdot\frac{(x+h)^n-x^n}{h}+(x+h)^n\;\to\;x\cdot nx^{n-1}+x^n=(n+1)x^n\quad(h\to0).\]

Conclusie: \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\) voor alle gehele \(n\geq1\). (47:01)

Afgeleide van sin x (69:31)

Somformule via complexe e-machten: \(e^{i(x+h)}=\cos(x+h)+i\sin(x+h)\), en ook \(e^{i(x+h)}=e^{ix}e^{ih}=(\cos x+i\sin x)(\cos h+i\sin h)\). Het imaginaire deel geeft \(\sin(x+h)=\cos x\sin h+\sin x\cos h\). (72:06)
Let op: de docent noemt dit een verdubbelingsformule; het is de somformule (met \(h=x\) volgt de verdubbelingsformule \(\sin2x=2\sin x\cos x\)). (72:22)
Differentiequotiënt, zo herschreven dat bekende limieten verschijnen: (73:41)

\[\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}+\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h^2}\cdot h\;\to\;\cos x\cdot1+\sin x\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot0=\cos x.\]

Gebruikt: \(\frac{\sin h}{h}\to1\) en \(\frac{1-\cos h}{h^2}\to\frac12\) (\(h\) in radialen, zie college 4) en de productregel voor limieten. (74:04)
Let op: de docent zegt dat \(\frac{\cos h-1}{h^2}\) naar \(\frac12\) gaat; dat is \(-\frac12\). De uitkomst verandert niet, want die factor staat maal \(h\to0\). (74:26)
Dus \(\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\). (75:50)
Het reële deel geeft \(\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h\) (antwoord op een latere vraag uit de zaal). (94:31)

Rekenregels (76:43)

Uit de rekenregels voor limieten (zie college 4) volgen die voor afgeleiden. Zijn \(f\) en \(g\) differentieerbaar in \(x\) (boek, §2.3), dan geldt daar: (77:43)

\[(f+g)'=f'+g',\qquad(fg)'=f'g+fg',\qquad\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad\text{mits }g(x)\neq0.\]

Voorbeeld: voor \(x\neq0\) en positief geheel \(n\) geeft de quotiëntregel \(\frac{d}{dx}\frac{1}{x^n}=\frac{0\cdot x^n-1\cdot nx^{n-1}}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}\). (80:45)

Afgeleide in een overgangspunt (81:13)

\(f(x)=x\) voor \(x\le1\) en \(f(x)=\tfrac12x^2+\tfrac12\) voor \(x>1\). Buiten \(1\) geldt rond elk punt één formule, dus daar differentieer je gewoon: \(f'(x)=1\) voor \(x<1\) en \(f'(x)=x\) voor \(x>1\). (81:59)
In \(1\) (met \(f(1)=1\)) gebruik je de definitie met eenzijdige limieten: (82:38)

\[\lim_{h\downarrow0}\frac{\tfrac12(1+h)^2+\tfrac12-1}{h}=\lim_{h\downarrow0}\left(1+\tfrac12h\right)=1,\qquad\lim_{h\uparrow0}\frac{(1+h)-1}{h}=1.\]

Beide bestaan en zijn gelijk, dus \(f'(1)=1\). (85:46)
Waarom niet één formule invullen (vraag uit de zaal, na het voorbeeld van \(\sqrt x\)): links en rechts gelden verschillende formules. Met \(\tfrac12x^3+\tfrac12\) voor \(x>1\) is \(f\) nog continu in \(1\), maar is de rechterlimiet \(\tfrac32\neq1\), dus bestaat \(f'(1)\) niet. (91:38)

Afgeleide van √x met de productregel (86:17)

Voor \(x>0\) is \(\sqrt x\cdot\sqrt x=x\); de productregel geeft \(1=2\sqrt x\cdot\frac{d}{dx}\sqrt x\), dus \(\frac{d}{dx}\sqrt x=\frac{1}{2\sqrt x}\). (88:39)
Let op: de docent noemt dit een gratis afgeleide, maar de productregel veronderstelt al dat \(\sqrt x\) differentieerbaar is. Dat volgt uit de definitie met de worteltruc (zie college 3): \(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x}\to\frac{1}{2\sqrt x}\). (88:54)

Kettingregel (94:44)

Kettingregel: is \(g\) differentieerbaar in \(x\) en \(f\) differentieerbaar in \(g(x)\) (boek, §2.4), dan (95:52)

\[\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\,g'(x).\]

\(f'\) evalueer je in \(g(x)\), niet in \(x\). Schrijf buiten- en binnenfunctie apart op, met een eigen letter voor het argument van de buitenste: \(f(y)\). (96:40)
Voorbeeld: \(\sqrt{1-x^2}\) met \(f(y)=\sqrt y\) en \(g(x)=1-x^2\), dus \(f'(y)=\frac{1}{2\sqrt y}\) en \(g'(x)=-2x\). Voor \(-1<x<1\): (99:10)

\[\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Drie lagen gaan net zo: voor \(\sqrt{\sin(x^2)}\) is \(g(x)=\sin(x^2)\), met (kettingregel voor \(\sin y\) en \(x^2\)) \(g'(x)=\cos(x^2)\cdot2x\). Waar \(\sin(x^2)>0\): \(\frac{d}{dx}\sqrt{\sin(x^2)}=\frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}\). (102:54)

Notatie (106:06)

\(f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{df}{dx}(x)\): drie notaties voor dezelfde afgeleide. (107:13)
\(n\)-de afgeleide [bord, gereconstrueerd]: \(f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)=\frac{d^nf}{dx^n}(x)\). De haakjes om \(n\) geven aan dat het geen macht is. (108:59)

4. Begrippen & definities

Stuksgewijs continu: continu, behalve in geïsoleerde punten.
Tekenoverzicht: het teken van \(f\) op elk deelinterval tussen opeenvolgende singulariteiten, discontinuïteiten en nulpunten.
Afgeleide in \(x\): \(f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\); bestaat die limiet, dan is \(f\) differentieerbaar in \(x\).
Raaklijn in \(x_0\): \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
Binomiaalcoëfficiënt: \(\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\), met \(0!=1\).
Volledige inductie: basisstap (kleinste \(n\)) plus inductiestap (van \(n\) naar \(n+1\)) bewijzen een uitspraak voor alle \(n\) vanaf de kleinste.
Kettingregel: \(\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)\).
\(n\)-de afgeleide \(f^{(n)}\): \(n\) keer na elkaar differentiëren.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Een tekenoverzicht maken: de punten bepalen waar het teken kan wisselen en per deelinterval één testpunt nemen. (15:39)
Bij een stuksgewijs gedefinieerde functie de afgeleide in het overgangspunt bepalen met de linker- en rechterlimiet van het differentiequotiënt, niet door één formule in te vullen. (91:38)
De kettingregel foutloos toepassen, ook bij meerdere lagen: \(f'\) in \(g(x)\) evalueren, \(g'(x)\) niet vergeten, binnen- en buitenfuncties expliciet opschrijven. (96:05)

6. Oefenvragen

(a) Maak een tekenoverzicht van \(\dfrac{2x-4}{x^2-2x-3}\) uit college 3. (b) Waarom volstaat één testpunt per deelinterval? Geeft elk nulpunt een tekenwisseling?
Bereken met de definitie de afgeleide van \(x^3\). Wat is \(\binom32\)?
(a) Wat zijn de stappen van een bewijs met volledige inductie? (b) Hoe gebruik je in de inductiestap voor \(\frac{d}{dx}x^{n+1}\) de inductiehypothese?
Leid met \(e^{i(x+h)}=e^{ix}e^{ih}\) een formule voor \(\cos(x+h)\) af en bepaal daarmee met de definitie de afgeleide van \(\cos x\).
Neem \(f(x)=x\) voor \(x\le1\) en \(f(x)=\tfrac12x^3+\tfrac12\) voor \(x>1\). Is \(f\) continu in \(1\)? Bestaat \(f'(1)\)?
(a) Bepaal met de quotiëntregel de afgeleide van \(x^{-2}\). (b) Leid de afgeleide van \(\sqrt x\) af met de productregel. Wat neem je daarbij aan?
Bepaal \(\frac{d}{dx}\sqrt{\cos(x^2)}\) met expliciete binnen- en buitenfuncties. Welke twee fouten worden hierbij vaak gemaakt?

Antwoorden

(a) Singulariteiten \(-1\) en \(3\), nulpunt \(2\). Testpunten \(-2\), \(0\), \(\tfrac52\), \(4\) geven \(-\tfrac85\), \(\tfrac43\), \(-\tfrac47\), \(\tfrac45\): negatief op \((-\infty,-1)\), positief op \((-1,2)\), negatief op \((2,3)\), positief op \((3,\infty)\). (b) Op elk deelinterval is de functie continu zonder nulpunt; een tekenwisseling tussen \(p<q\) zou volgens de tussenwaardestelling een nulpunt in \([p,q]\) geven. Nee: \(x^2\) is aan beide kanten van \(0\) positief.
\((x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\), dus \(\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\to3x^2\). En \(\binom32=\frac{3!}{2!\,1!}=3\).
(a) Bewijs het voor \(n=1\); neem aan dat het geldt voor een zekere \(n\) en bewijs het voor \(n+1\); dan geldt het voor alle \(n\ge1\). (b) \((x+h)^{n+1}-x^{n+1}=x\big((x+h)^n-x^n\big)+h(x+h)^n\). Na delen door \(h\) gaat de eerste term volgens de hypothese naar \(x\cdot nx^{n-1}\) en de tweede naar \(x^n\); samen \((n+1)x^n\).
Het reële deel geeft \(\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h\). Dan \(\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h^2}\cdot h-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\to\cos x\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot0-\sin x\cdot1=-\sin x\).
Continu: \(f(1)=1\) en \(\tfrac12x^3+\tfrac12\to1\) voor \(x\downarrow1\). Links: \(\frac{(1+h)-1}{h}=1\). Rechts: \(\frac{\frac12(1+h)^3+\frac12-1}{h}=\tfrac32+\tfrac32h+\tfrac12h^2\to\tfrac32\). Verschillend, dus \(f'(1)\) bestaat niet, hoewel \(f\) continu is.
(a) \(\frac{0\cdot x^2-1\cdot2x}{x^4}=-2x^{-3}\) voor \(x\neq0\). (b) \(1=\frac{d}{dx}\big(\sqrt x\cdot\sqrt x\big)=2\sqrt x\cdot\frac{d}{dx}\sqrt x\), dus \(\frac{1}{2\sqrt x}\) voor \(x>0\); je neemt aan dat \(\sqrt x\) differentieerbaar is.
\(f(y)=\sqrt y\), \(g(x)=\cos(x^2)\), \(g'(x)=-\sin(x^2)\cdot2x\) (zie vraag 4). Waar \(\cos(x^2)>0\): \(\frac{-2x\sin(x^2)}{2\sqrt{\cos(x^2)}}=-\frac{x\sin(x^2)}{\sqrt{\cos(x^2)}}\). Veelgemaakte fouten: \(f'\) in \(x\) evalueren in plaats van in \(g(x)\), en de afgeleide van de binnenste functie vergeten (de factor \(2x\), of de \(x^2\) binnen de sinus).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~11:41: De schets bij het tekenoverzicht staat alleen op het bord; kijk na waar \(a\) tot en met \(e\) liggen.
~93:05: De vraag uit de zaal is niet te verstaan, dus ook niet waar het antwoord ‘in dit geval is het correct’ op slaat.
~107:53: Kijk na welke notaties voor de \(n\)-de afgeleide op het bord staan.