College 6: De middelwaardestelling en stijgende en dalende functies

Donderdag 17 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Volgende college (volgende week): de gegeneraliseerde middelwaardestelling, met een functie in de teller en een in de noemer. (100:14)

2. Samenvatting

De middelwaardestelling koppelt de afgeleide aan het gedrag van een functie: is \(f\) continu op \([a,b]\) en differentieerbaar op \((a,b)\), dan is er een \(c\in(a,b)\) met \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Daaruit volgt dat het teken van \(f'\) bepaalt of \(f\) stijgt of daalt, dat een continue functie met afgeleide \(0\) constant is, en ongelijkheden zoals \(\sin x<x\) voor \(x>0\). Omgekeerd geeft strikt stijgend alleen \(f'\ge0\), niet \(f'>0\) (\(x^3\) in \(0\)). Vooraf bewijst de docent met volledige inductie dat de \(n\)-de afgeleide van \(x^m\) gelijk is aan \(\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\), maar alleen voor \(n\le m\).

3. Aantekeningen per onderwerp

De definitie van de afgeleide aangevuld (06:34)

De docent definieert: \(f\) is differentieerbaar in \(x_0\) als (1) \(f\) continu is in \(x_0\) en (2) de limiet \(f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) bestaat. Voorwaarde 1 ontbrak in college 5; volgens de docent sluit ze een functie met een sprong uit waarvoor de limiet links en rechts gelijk zou zijn. (09:21)
Let op: voorwaarde 1 volgt al uit 2, want \(f(x_0+h)-f(x_0)=h\cdot\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to0\cdot f'(x_0)=0\). Bij een sprong gaat het differentiequotiënt aan minstens één kant naar \(\pm\infty\), ook als de stukken links en rechts even steil zijn (oefenvraag 1). Het boek definieert differentieerbaar daarom alleen met de limiet (boek, §2.2).

Hogere afgeleiden van machten (10:29)

Notatie: \(f^{(n)}(x)=\frac{d^nf}{dx^n}(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)\) (zie college 5); bij een paar afgeleiden mag je accenten gebruiken (\(f''\)). (11:39)
Voor \(f(x)=x^m\), met \(m\) positief geheel: \(f'(x)=mx^{m-1}\), \(f''(x)=m(m-1)x^{m-2}\), \(f'''(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3}\). (13:01)
Vermoeden: \(f^{(n)}(x)=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\); delen door \((m-n)!\) schrapt de factoren \(m-n,\dots,1\) uit \(m!\). Controleer een gok eerst voor \(n=1\): \(\frac{m!}{(m-1)!}=m\). (16:53)

Bewijs met volledige inductie (17:36)

Inductie past hier, omdat elke afgeleide uit de vorige volgt (opbouw van een inductiebewijs: zie college 5). Basisstap \(n=1\): zie hierboven. (18:21)
Inductiestap: uit \(f^{(n)}(x)=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\) en \((m-n)!=(m-n)\cdot(m-n-1)!\) volgt (22:22)

\[f^{(n+1)}(x)=\frac{m!}{(m-n)!}\,(m-n)\,x^{m-n-1}=\frac{m!}{(m-n-1)!}\,x^{m-(n+1)}.\]

De conclusie ‘voor alle \(n\ge1\)’ die de docent eerst opschreef, is te ruim: voor \(m=2\), \(n=3\) geeft de formule \(\frac{2!}{(-1)!}x^{-1}\), terwijl de derde afgeleide van \(x^2\) nul is. De stap gebruikt \((m-n-1)!\) en geldt dus alleen voor \(n<m\); de formule klopt voor \(1\le n\le m\). (26:20)
Verder is \(f^{(m)}(x)=m!\) (de formule met \(0!=1\) geeft hetzelfde) en \(f^{(n)}(x)=0\) voor \(n>m\). (28:58)

Stijgende en dalende functies (30:13)

Neem \(f\) op een interval \(I\). Dan heet \(f\) strikt stijgend als \(f(x_1)<f(x_2)\) voor alle \(x_1<x_2\) in \(I\), strikt dalend bij \(f(x_1)>f(x_2)\), niet dalend bij \(f(x_1)\le f(x_2)\) en niet stijgend bij \(f(x_1)\ge f(x_2)\). Het boek zegt increasing (dus strikt stijgend), decreasing, nondecreasing en nonincreasing (boek, §2.8). (33:43)
Figuur [bord, gereconstrueerd]: een golvende grafiek zoals die van \(\sin\): strikt dalend op \([\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2]\), strikt stijgend op het stuk daarna, en op beide samen geen van de vier. (37:30)
De eindpunten mogen erbij (vraag uit de zaal): de definitie vergelijkt alleen functiewaarden, dus dat \(\sin'\) daar \(0\) is, maakt niet uit. (38:09)

Wat stijgen of dalen zegt over de afgeleide (38:35)

Is \(f\) niet dalend op \(I\) en differentieerbaar in een inwendig punt \(x\), dan is \(f'(x)\ge0\). Bewijs: voor \(h>0\) is de teller \(f(x+h)-f(x)\ge0\), voor \(h<0\) is hij \(\le0\); het differentiequotiënt is dus steeds \(\ge0\), en de limiet ook. Net zo geeft niet stijgend \(f'(x)\le0\). (41:35)
Strikt stijgend geeft niet \(f'>0\): \(x^3\) is strikt stijgend, maar de afgeleide in \(0\) is \(0\). (43:04)

Middelwaardestelling (43:17)

Figuur [bord, gereconstrueerd]: de lijn door \((a,f(a))\) en \((b,f(b))\), evenwijdig verschoven tot hij de grafiek raakt in \((c,f(c))\). (45:12)
Middelwaardestelling (Mean-Value Theorem): is \(f\) continu op \([a,b]\), ook in de eindpunten, en differentieerbaar op \((a,b)\), dan is er een \(c\in(a,b)\) met \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) (boek, §2.8). (47:07)
Minstens één \(c\), niet precies één: bij een grafiek met een kronkel kunnen het er meer zijn. (47:41)

Wat de afgeleide zegt over stijgen of dalen (66:29)

Stelling: is \(f\) continu op een interval \(I\) en differentieerbaar in elk inwendig punt (in de eindpunten hoeft niet), dan geeft \(f'>0\) in elk inwendig punt dat \(f\) strikt stijgend is op \(I\); \(f'<0\) geeft strikt dalend, \(f'\ge0\) niet dalend en \(f'\le0\) niet stijgend (boek, §2.8). (69:18)
Bewijs: voor \(x_1<x_2\) in \(I\) geeft de middelwaardestelling een \(c\in(x_1,x_2)\) met \(f(x_2)-f(x_1)=f'(c)\,(x_2-x_1)\). Omdat \(x_2-x_1>0\), heeft \(f(x_2)-f(x_1)\) het teken van \(f'(c)\). (71:42)
Samen met de vorige paragraaf: \(f\) is niet dalend op \(I\) precies dan als \(f'\ge0\) in elk inwendig punt (net zo voor niet stijgend). Voor ‘strikt’ werkt alleen de richting van \(f'>0\) naar strikt stijgend. (73:39)

Voorbeeld: sin x is kleiner dan x (74:09)

Te bewijzen: \(\sin x<x\) voor alle \(x>0\) (voorbeeld 2 in Adams; voor \(0<x<\tfrac\pi2\) al met oppervlaktes, zie college 4). (74:52)
Voor \(x>1\): \(\sin x\le1<x\). Voor \(0<x\le1\) geeft de middelwaardestelling op \([0,x]\) dat \(\frac{\sin x}{x}=\cos c\) met \(0<c<1\), dus \(\frac{\sin x}{x}<1\); vermenigvuldigen met \(x>0\) geeft \(\sin x<x\). (76:35)

Voorbeeld: een wortelongelijkheid (77:46)

Te bewijzen: \(\sqrt{1+x}<1+\tfrac x2\) voor \(-1\le x<0\). In \(x=0\) staat \(1<1\), dus \(0\) hoort er niet bij; in \(x=-1\) klopt het (\(0<\tfrac12\)). (80:35)
Neem \(f(t)=\sqrt{1+t}\) op \([x,0]\) (de docent schrijft \(f(x)\); \(t\) voorkomt verwarring met het eindpunt \(x\)), met \(f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\) (kettingregel). Er is een \(c\in(x,0)\) met (84:08)

\[\frac{f(0)-f(x)}{0-x}=\frac{1-\sqrt{1+x}}{-x}=\frac{1}{2\sqrt{1+c}}.\]

Uit \(-1\le x<c<0\) volgt \(0<\sqrt{1+c}<1\), dus het rechterlid is groter dan \(\tfrac12\). Vermenigvuldig met \(-x>0\): \(1-\sqrt{1+x}>-\tfrac x2\), oftewel \(\sqrt{1+x}<1+\tfrac x2\). (90:51)
Keuze van \(f\) (vraag uit de zaal): stop het lastige deel, hier de wortel, in de functie; \(\sqrt{1+t}-1\) werkt ook. Een functie in teller én noemer hoort bij de gegeneraliseerde middelwaardestelling. (92:47)

Afgeleide nul geeft een constante functie (93:43)

Een functie met een sprong heeft afgeleide \(0\) overal waar die bestaat, maar is niet constant. (94:49)
Stelling: is \(f\) continu op een interval \(I\) en \(f'(x)=0\) in elk inwendig punt \(x\), dan is \(f\) constant op \(I\) (boek, §2.8). Omdat \(f'\) in het inwendige moet bestaan, kan een sprong alleen nog in een eindpunt zitten; daarvoor is de continuïteit op \(I\) nodig. (96:43)
Bewijs: noem \(C=f(x_0)\) voor een vast \(x_0\in I\). Voor elke andere \(x\in I\) geeft de middelwaardestelling een \(d\) tussen \(x_0\) en \(x\) met \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(d)=0\), dus \(f(x)=C\). (99:02)

4. Begrippen & definities

Differentieerbaar in \(x_0\): \(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) bestaat; daaruit volgt dat \(f\) continu is in \(x_0\).
\(n\)-de afgeleide van \(x^m\): \(\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\) voor \(1\le n\le m\), en \(0\) voor \(n>m\).
Strikt stijgend / strikt dalend / niet dalend / niet stijgend op \(I\): voor alle \(x_1<x_2\) in \(I\) is \(f(x_1)<f(x_2)\) / \(f(x_1)>f(x_2)\) / \(f(x_1)\le f(x_2)\) / \(f(x_1)\ge f(x_2)\).
Middelwaardestelling: is \(f\) continu op \([a,b]\) en differentieerbaar op \((a,b)\), dan is er minstens één \(c\in(a,b)\) met \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Teken van \(f'\) (\(f\) continu op \(I\), differentieerbaar in het inwendige): \(f'>0\) geeft strikt stijgend, \(f'<0\) strikt dalend; \(f\) is niet dalend precies dan als \(f'\ge0\), en niet stijgend precies dan als \(f'\le0\). Is bovendien \(f'=0\) in het hele inwendige, dan is \(f\) constant.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Een vermoede formule eerst voor kleine \(n\) controleren, en bij een inductiebewijs nagaan voor welke \(n\) elke stap geldt. (24:39)
De voorwaarden van de middelwaardestelling volledig geven en weten dat ze minstens één, niet precies één \(c\) oplevert. (47:33)
Uit het teken van \(f'\) afleiden of \(f\) (strikt) stijgt of daalt, en weten dat strikt stijgend niet \(f'>0\) betekent. (73:39)
Een ongelijkheid bewijzen met de middelwaardestelling: randen nagaan, het lastige deel in \(f\) stoppen, een handig eindpunt zoals \(0\) kiezen. (92:47)
Weten waarom ‘\(f'=0\) overal waar \(f'\) bestaat’ niet genoeg is voor een constante functie. (94:16)

6. Oefenvragen

Neem \(f(x)=x\) voor \(x<0\) en \(f(x)=x+1\) voor \(x\ge0\). Bereken de rechter- en linkerlimiet van het differentiequotiënt in \(0\). Is \(f\) differentieerbaar in \(0\)?
(a) Bereken met de formule de derde afgeleide van \(x^5\). (b) Wat geeft de formule voor de derde afgeleide van \(x^2\), wat is het juiste antwoord, en waar gaat het inductiebewijs mis?
(a) Is \(\sin\) strikt dalend op \([\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2]\)? (b) Is \(x^3\) strikt stijgend? Wat is de afgeleide in \(0\), en wat leer je daaruit?
Bepaal voor \(f(x)=x^3\) op \([-2,2]\) alle punten \(c\) uit de middelwaardestelling. Waarom mag je de stelling hier toepassen?
Bewijs met de middelwaardestelling dat \(\sqrt{1+x}<1+\tfrac x2\) ook voor \(x>0\) geldt.
Geef een niet-constante functie op \((-1,1)\) met \(f'(x)=0\) overal waar \(f'\) bestaat. Welke voorwaarde van de stelling ‘afgeleide nul geeft constant’ schendt ze?

Antwoorden

\(f(0)=1\). Rechts: \(\frac{(h+1)-1}{h}=1\). Links: \(\frac{h-1}{h}=1-\frac1h\to+\infty\) voor \(h\uparrow0\). De limiet bestaat niet, dus \(f\) is niet differentieerbaar in \(0\), hoewel beide stukken richtingscoëfficiënt \(1\) hebben.
(a) \(\frac{5!}{2!}x^2=60x^2\) (controle: \(5x^4\), \(20x^3\), \(60x^2\)). (b) \(\frac{2!}{(-1)!}x^{-1}\) heeft geen betekenis, want \((-1)!\) bestaat niet; het juiste antwoord is \(0\) (\(2x\), \(2\), \(0\)). De inductiestap gebruikt \((m-n-1)!\) en werkt alleen van \(n\) naar \(n+1\le m\).
(a) Ja: \(\sin\) is continu op het gesloten interval en \(\cos<0\) op \((\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2)\). (b) Ja: \(3x^2>0\) op \((-\infty,0)\) en \((0,\infty)\), dus strikt stijgend op \((-\infty,0]\) en op \([0,\infty)\), en dus op heel \(\mathbb R\). Toch is de afgeleide in \(0\) nul: strikt stijgend geeft alleen \(f'\ge0\).
Een polynoom is overal continu en differentieerbaar. \(\frac{8-(-8)}{2-(-2)}=4=3c^2\) geeft \(c=\pm\frac{2}{\sqrt3}\approx\pm1{,}15\): twee punten in \((-2,2)\).
Neem \(f(t)=\sqrt{1+t}\) op \([0,x]\). Er is een \(c\in(0,x)\) met \(\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2\sqrt{1+c}}\). Uit \(1+c>1\) volgt dat dit kleiner is dan \(\tfrac12\); vermenigvuldigen met \(x>0\) geeft \(\sqrt{1+x}-1<\tfrac x2\).
\(f(x)=0\) voor \(x<0\) en \(f(x)=1\) voor \(x\ge0\). Ze is niet continu in \(0\) (en daar dus ook niet differentieerbaar), terwijl de stelling continuïteit op het interval en \(f'=0\) in elk inwendig punt eist.

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~08:43: Welke functie met een sprong de docent tekent, staat alleen op het bord; het gesproken argument breekt af (zie de Let op bij de definitie).
~37:57: De vraag uit de zaal over de eindpunten is niet te verstaan; alleen het antwoord is te horen.
~91:23: Welke andere functie een student voorstelt voor het wortelvoorbeeld, is niet te verstaan.