College 2: Inproduct, norm, hoeken en matrices

Vrijdag 4 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Kom liever naar het college: wat de docent op het whiteboard aanwijst, staat niet altijd in beeld van de opname. (99:16)

2. Samenvatting

Na een herhaling van de verzamelingsnotatie definieert de docent het inproduct en daarmee de norm, met Pythagoras in \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\) als motivatie. Hij leidt eigenschappen van inproduct en norm af en definieert de hoek tussen twee vectoren via de cosinusregel; dat dit kan, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz (zonder bewijs), waarmee ook de driehoeksongelijkheid wordt bewezen. Na de pauze volgen eenheidsvectoren en matrices: een matrix maal een vector is een lineaire combinatie van de kolommen, of een rij van inproducten met de rijen. Tot slot komen optellen, schalen en vermenigvuldigen van matrices, en het bewijs dat het matrixproduct zo gekozen is dat \((AB)x=A(Bx)\).

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling: notatie (04:52)

\(x\in A\): \(x\) is een element van de verzameling \(A\) (voorbeeld: een verzameling koeien); \(x,y\in A\): twee elementen van \(A\). (05:04)
\(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}^n\): drie vectoren. Pijltjes zijn niet nodig; dat het vectoren zijn, volgt uit de notatie. (05:59)
\((x,y,z)\in\mathbb{R}^n\): de haakjes maken er één object van, een rijtje van drie getallen. Dus \(n=3\) en \(x,y,z\in\mathbb{R}\). (06:39)
Zo is \(\mathbb{R}^n\) gedefinieerd [bord, gereconstrueerd] (07:56)

\[\mathbb{R}^n=\{(x_1,\dots,x_n)\mid x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}\}\]

Accolades: "de verzameling van"; achter de verticale streep (of dubbele punt) staat de voorwaarde. De \(x_i\) heten coördinaten.
\(x_1,\dots,x_k\in\mathbb{R}^n\) zijn \(k\) vectoren met elk \(n\) coördinaten; bij \((x_1,\dots,x_k)\in\mathbb{R}^n\) is noodzakelijk \(k=n\). (09:02)
Voorbeelden: \((1,2)\in\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\ni(-3,5,2)\) (het elementteken mag omgedraaid) [bord, gereconstrueerd]. Drie vectoren in \(\mathbb{R}^2\): \(k=3>n=2\); drie in \(\mathbb{R}^7\): \(k=3\), \(n=7\). (10:34)

Drie betekenissen van de punt (12:09)

Voor \(c\in\mathbb{R}\) en \(x\in\mathbb{R}^n\) is \(c\cdot x\) de scalaire vermenigvuldiging (schaling); er komt een vector uit. (12:48)
In \(d\cdot(c\cdot x)=(d\cdot c)\cdot x\) is alleen de punt tussen \(d\) en \(c\) een gewoon product van getallen; de andere zijn schalingen. (13:33)
Kijk waar de punt tussen staat: twee getallen → product; getal en vector → schaling (vector); twee vectoren → inproduct (getal). (14:27)

Inproduct (14:49)

Definitie: voor \(x=(x_1,\dots,x_n)\) en \(y=(y_1,\dots,y_n)\) in \(\mathbb{R}^n\) is het inproduct (Engels: dot product; "puntproduct" gebruiken we niet) [bord, gereconstrueerd] (15:15)

\[x\cdot y=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n=\sum_{i=1}^n x_iy_i\in\mathbb{R}\]
\(\sum\) is de Griekse hoofdletter sigma (S van som): laat de index \(i\) lopen van \(1\) t/m \(n\) en tel alle termen op. (16:17)
Beide vectoren moeten evenveel coördinaten hebben; de uitkomst is een getal. (18:36)
Voorbeeld met \(x=(-3,5,2)\) en \(y=(2,3,4)\) [bord, gereconstrueerd] (17:05)

\[x\cdot y=(-3)\cdot2+5\cdot3+2\cdot4=-6+15+8=17\]
De punt tussen getallen of bij schaling laat men vaak weg, die van het inproduct nooit. Noem het inproduct geen vermenigvuldiging. (17:55)
Is het inproduct \(0\), dan staan de vectoren loodrecht op elkaar; dit komt later. (19:07)

Norm (19:13)

In \(\mathbb{R}^2\): pijl naar \((x_1,x_2)\) met \(x_1\) en \(x_2\) langs de assen; Pythagoras geeft lengte \(\sqrt{x_1^2+x_2^2}\). [bord, gereconstrueerd] (20:03)
In \(\mathbb{R}^3\): \((x_1,x_2,x_3)\) als hoekpunt van een balk met zijden \(x_1,x_2,x_3\). De diagonaal van het grondvlak is \(\sqrt{x_1^2+x_2^2}\); nogmaals Pythagoras met de verticale zijde \(x_3\) geeft \(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\). [bord, gereconstrueerd] (20:53)
In beide gevallen staat onder de wortel precies \(x\cdot x\). (23:18)
Definitie: de lengte of norm van \(x\in\mathbb{R}^n\) is [bord, gereconstrueerd] (24:37)

\[\|x\|=\sqrt{x\cdot x}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\]

Een som van kwadraten is niet negatief, dus de wortel bestaat en \(\|x\|\in\mathbb{R}\).
Dubbele strepen voor de norm; enkele strepen zijn de absolute waarde van een getal. Andere boeken gebruiken soms andere notatie; elk boek moet zelf zeggen wat het bedoelt. (30:56)
Voor \(n\ge4\) is dit gewoon een definitie, geïnspireerd door \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\). Je hoeft niet meetkundig in vier dimensies te denken, maar veel vertrouwde eigenschappen blijven gelden. (29:38)

Eigenschappen van inproduct en norm (31:26)

Voor alle \(x,y,z\in\mathbb{R}^n\) en \(c\in\mathbb{R}\) (nummering zoals vermoedelijk op het bord) [bord, gereconstrueerd]:

\(\|x\|=0\) alleen als \(x=0\): is een coördinaat \(\neq0\), dan is het kwadraat \(>0\) en de som dus ook. (31:36)
\(x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\). Bewijs door coördinaten uit te schrijven [bord, gereconstrueerd] (33:12)

\[x\cdot(y+z)=x_1(y_1+z_1)+\dots+x_n(y_n+z_n)=(x_1y_1+\dots+x_ny_n)+(x_1z_1+\dots+x_nz_n)=x\cdot y+x\cdot z\]

Het inproduct gaat voor de plus, dus rechts zijn geen haakjes nodig. (35:15)
\(x\cdot y=y\cdot x\). (36:47)
\(x\cdot(cy)=c\,(x\cdot y)\): elke coördinaat van \(cy\) heeft een factor \(c\), die je buiten haakjes haalt. (37:31)
\(\|cx\|=|c|\,\|x\|\), want \((cx)\cdot(cx)=c^2(x\cdot x)\) en \(\sqrt{c^2}=|c|\). Schaal je met 17, dan wordt de lengte 17 keer zo groot. (38:51)

Let op: in eigenschap 1 is links \(0\) een getal en rechts de nulvector van de \(\mathbb{R}^n\) uit de context; die hoeft niet apart geïntroduceerd te worden. (40:21)

Driehoeksongelijkheid (42:02)

Leg \(x\) en \(y\) kop aan staart; met \(x+y\) vormen ze een driehoek. Rechtstreeks is de kortste weg, dus [bord, gereconstrueerd] (42:34)

\[\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\]

Voor algemene \(n\) moet dit bewezen worden; het bewijs volgt na Cauchy-Schwarz.

Hoek tussen twee vectoren (43:46)

Driehoek met zijden \(x\), \(y\) en \(x-y\) (van de kop van \(y\) naar de kop van \(x\), want \(y+(x-y)=x\)); \(\alpha\) is de hoek tussen \(x\) en \(y\). [bord, gereconstrueerd] (43:50)
Drie punten in \(\mathbb{R}^n\) (bijv. \(0\), \(x\), \(y\)) vormen altijd een vlakke driehoek. Definieer de hoek zo dat de cosinusregel geldt: bij zijden \(a,b,c\) en hoek \(\alpha\) tegenover \(a\) is [bord, gereconstrueerd] (44:34)

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\]
Toegepast op de driehoek [bord, gereconstrueerd] (46:50)

\[\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\,\|y\|\cos\alpha\]
Werk het linkerlid uit met eigenschappen 2 en 3, net als haakjes uitwerken [bord, gereconstrueerd] (47:23)

\[\|x-y\|^2=(x-y)\cdot(x-y)=x\cdot x-y\cdot x-x\cdot y+y\cdot y=\|x\|^2+\|y\|^2-2\,x\cdot y\]
Vergelijken geeft \(\|x\|\,\|y\|\cos\alpha=x\cdot y\), dus [bord, gereconstrueerd] (49:55)

\[\cos\alpha=\frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}\]

Dit vereist \(x\neq0\) en \(y\neq0\). (boek, §1.2)
De cosinus neemt alleen waarden in \([-1,1]\) aan; er is precies één \(\alpha\in[0,\pi]\) met deze cosinus, mits het quotiënt in \([-1,1]\) ligt. (50:46)

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz (51:25)

Stelling: voor alle \(x,y\in\mathbb{R}^n\) geldt [bord, gereconstrueerd] (51:39)

\[|x\cdot y|\le\|x\|\,\|y\|\]
Gevolg: het quotiënt ligt in \([-1,1]\), dus de hoek \(\alpha\) is goed gedefinieerd. (51:54)
Bewijs overgeslagen; het is niet moeilijk en staat in het boek en de collegeaantekeningen. (52:45) Het boek noemt dit de Schwarz-ongelijkheid. (boek, §1.2)

Bewijs van de driehoeksongelijkheid (52:23)

Beide kanten zijn niet negatief, dus het volstaat de kwadraten te vergelijken. Werk uit zoals hierboven en gebruik \(x\cdot y\le|x\cdot y|\le\|x\|\,\|y\|\) [bord, gereconstrueerd] (53:09)

\[\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\,x\cdot y+\|y\|^2\le\|x\|^2+2\|x\|\,\|y\|+\|y\|^2=\big(\|x\|+\|y\|\big)^2\]

De laatste stap is \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
Conclusie: in elke \(\mathbb{R}^n\) kun je lengtes en hoeken definiëren, en die gedragen zich zoals je verwacht, ook in \(\mathbb{R}^{17}\). (55:41)

Eenheidsvectoren (67:49)

Definitie: een eenheidsvector is een vector \(x\) met \(\|x\|=1\). (68:27)
Voor \(x\in\mathbb{R}^n\), \(x\neq0\) (de nulvector), is \(\|x\|\neq0\) (eigenschap 1). Schaal met \(1/\|x\|\) en gebruik eigenschap 5 [bord, gereconstrueerd] (69:09)

\[y=\frac{1}{\|x\|}\,x,\qquad \|y\|=\frac{1}{\|x\|}\,\|x\|=1\]
Eenheidsvectoren zijn te zien als richtingen: twee vectoren met dezelfde richting (de ene is een positief veelvoud van de andere) geven dezelfde eenheidsvector. Zelf te bewijzen in één of twee regels. (71:25)

Van lineaire combinaties naar matrices (72:06)

Lineaire combinatie uit het werkcollege [bord, gereconstrueerd] (72:32)

\[a(1,3,2)+b(5,-1,3)=(a+5b,\;3a-b,\;2a+3b)\]
Schrijf vectoren verticaal, dan staan overeenkomstige coördinaten naast elkaar. Compacter: zet de vectoren als kolommen in één blok en de coëfficiënten in een kolom [bord, gereconstrueerd] (73:27)

\[\begin{pmatrix}1&5\\3&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+5b\\3a-b\\2a+3b\end{pmatrix}\]

Zo combineer je dezelfde vectoren snel met andere coëfficiënten: \((2,-1)\) geeft \((-3,7,1)\). (75:05)

Matrices (76:03)

Definitie: een \(m\times n\)-matrix is een blok getallen met \(m\) rijen en \(n\) kolommen. Notatie [bord, gereconstrueerd] (76:34)

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}=(a_{ij}),\qquad 1\le i\le m,\;1\le j\le n\]

Eerste index: rij; tweede index: kolom. (77:14)
Bij grote matrices zet je een komma tussen de indices, bijv. \(a_{13,17}\). (80:14)

Matrix maal vector (80:36)

Noem de kolommen van \(A\) \(b_1,\dots,b_n\in\mathbb{R}^m\). Voor \(x=(x_1,\dots,x_n)\), als kolom geschreven, is [bord, gereconstrueerd] (81:37)

\[Ax=x_1b_1+x_2b_2+\dots+x_nb_n\in\mathbb{R}^m\]

\(x\) moet evenveel coördinaten hebben als \(A\) kolommen.
Voorbeeld [bord, gereconstrueerd] (83:02)

\[\begin{pmatrix}1&2&7\\3&4&8\\5&6&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+2+21\\-6+4+24\\-10+6+27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\22\\23\end{pmatrix}\]
Elke coördinaat is ook een inproduct van een rij met \(x\), bijv. \((1,2,7)\cdot(-2,1,3)=21\). Met rijen \(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{R}^n\) [bord, gereconstrueerd] (86:52)

\[Ax=\begin{pmatrix}a_1\cdot x\\a_2\cdot x\\\vdots\\a_m\cdot x\end{pmatrix}\]
Twee interpretaties van hetzelfde product: lineaire combinatie van de kolommen, of rij van inproducten met de rijen. (86:35)
Eigenschappen: voor een \(m\times n\)-matrix \(A\), \(x,y,z\in\mathbb{R}^n\) en \(c\in\mathbb{R}\) [bord, gereconstrueerd] (88:37)

\[A(y+z)=Ay+Az,\qquad A(cx)=c(Ax)\]

Bewijs via de rijen: per coördinaat is \(a_i\cdot(y+z)=a_i\cdot y+a_i\cdot z\) (eigenschap 2), daarna splits je de vector in twee; de tweede volgt zo uit eigenschap 4. (89:41)
In \(A(cx)\) moet de punt schaling zijn: \(A\) werkt op een vector en er moet een vector uitkomen. (91:36)

Matrices schalen en optellen (92:28)

Schalen: elk getal met \(c\) vermenigvuldigen, bijv. [bord, gereconstrueerd] (92:52)

\[c\begin{pmatrix}2&3&5\\1&-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c&3c&5c\\c&-c&2c\end{pmatrix}\]
Optellen kan alleen bij gelijke afmetingen (evenveel rijen én kolommen), getal voor getal [bord, gereconstrueerd] (93:49)

\[\begin{pmatrix}2&1\\3&7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&2\\4&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\7&13\end{pmatrix}\]
De kolommen van \(A+B\) zijn de sommen van de kolommen, dus voor \(m\times n\)-matrices \(A,B\) geldt \((A+B)x=Ax+Bx\). (95:01)

Matrixvermenigvuldiging (96:34)

\(AB\) bestaat alleen als het aantal kolommen van \(A\) gelijk is aan het aantal rijen van \(B\): \(A\) is \(m\times n\), \(B\) is \(n\times p\), en \(AB\) is \(m\times p\). (96:39)
Definitie: de \(j\)-de kolom van \(AB\) is \(A\) maal de \(j\)-de kolom \(b_j\) van \(B\) [bord, gereconstrueerd] (98:21)

\[AB=\begin{pmatrix}Ab_1&Ab_2&\cdots&Ab_p\end{pmatrix}\]

Let op: \(b_j\) is nu een kolom van \(B\), niet meer van \(A\) zoals eerder. (98:38)
Per element: op plek \((i,j)\) staat het inproduct van de \(i\)-de rij van \(A\) met de \(j\)-de kolom van \(B\) [bord, gereconstrueerd] (101:01)

\[(AB)_{ij}=a_i\cdot b_j\]
Rekenschema van de docent: zet \(B\) rechtsboven \(A\); het product komt rechts van \(A\) en onder \(B\), zodat rij \(i\) van \(A\) en kolom \(j\) van \(B\) bij plek \((i,j)\) uitkomen. Meer vectoren of kolommen zet je naast elkaar; \(A\) blijft staan. [bord, gereconstrueerd] (99:22)

Matrix als functie (101:34)

Een \(m\times n\)-matrix \(A\) geeft een functie \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), \(x\mapsto Ax\). Een functie is een "machientje" met een verzameling toegestane invoer (hier \(\mathbb{R}^n\)) en uitvoer (hier \(\mathbb{R}^m\)). (101:47)
Veel boeken identificeren de functie met de matrix; de docent houdt ze gescheiden: de matrix geeft een functie. (102:56)
De functie respecteert optelling en scalaire vermenigvuldiging: eerst optellen en dan invoeren geeft hetzelfde als eerst invoeren en dan optellen. (103:13)
Samenstellen: voor \(A\) (\(m\times n\)), \(B\) (\(n\times p\)) en \(x\in\mathbb{R}^p\) is \(Bx\in\mathbb{R}^n\) en \(A(Bx)\in\mathbb{R}^m\), en ook \((AB)x\in\mathbb{R}^m\). Stelling [bord, gereconstrueerd] (104:19)

\[A(Bx)=(AB)x\]

Dit is de reden voor de definitie van het matrixproduct: de functie van \(AB\) is eerst \(B\), dan \(A\). (106:17)

Bewijs van \(A(Bx)=(AB)x\) (107:21)

\(Ae_j\) is de \(j\)-de kolom van \(A\): alle kolommen worden met \(0\) vermenigvuldigd, behalve de \(j\)-de. (107:37)
Voor \(e_j\in\mathbb{R}^p\): \((AB)e_j\) = \(j\)-de kolom van \(AB\) = \(A\) maal \(j\)-de kolom van \(B\) = \(A(Be_j)\). (108:11)
Schrijf \(x=x_1e_1+\dots+x_pe_p\) en gebruik de eigenschappen van matrix maal vector [bord, gereconstrueerd] (109:09)

\[(AB)x=x_1(AB)e_1+\dots+x_p(AB)e_p=x_1A(Be_1)+\dots+x_pA(Be_p)=A\big(x_1Be_1+\dots+x_pBe_p\big)=A\big(B(x_1e_1+\dots+x_pe_p)\big)=A(Bx)\]

De stap waarin je de eigenschappen nog eens voor \(B\) toepast, liet de docent wegens tijdgebrek aan de studenten; volgende keer gaat het verder. (111:03)

4. Begrippen & definities

Verzamelingsnotatie: \(\{\text{objecten}\mid\text{voorwaarde}\}\); \(x\in A\): \(x\) is element van \(A\).
Inproduct (dot product): \(x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i\in\mathbb{R}\) voor \(x,y\in\mathbb{R}^n\).
Norm (lengte): \(\|x\|=\sqrt{x\cdot x}\).
Eenheidsvector: vector met norm \(1\); bij \(x\neq0\) hoort \(\frac{1}{\|x\|}x\).
Hoek tussen \(x,y\neq0\): de unieke \(\alpha\in[0,\pi]\) met \(\cos\alpha=\dfrac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}\).
Loodrecht (aangekondigd): \(x\cdot y=0\); in het boek perpendicular of orthogonal. (boek, §1.2)
Cauchy-Schwarz: \(|x\cdot y|\le\|x\|\,\|y\|\).
Driehoeksongelijkheid: \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\).
\(m\times n\)-matrix: blok getallen \((a_{ij})\) met \(m\) rijen en \(n\) kolommen; \(a_{ij}\) staat in rij \(i\), kolom \(j\).
Matrix maal vector: \(Ax=x_1b_1+\dots+x_nb_n\) (kolommen \(b_j\)); coördinaat \(i\) is \(a_i\cdot x\) (rijen \(a_i\)).
Matrixproduct: voor \(A\) (\(m\times n\)) en \(B\) (\(n\times p\)) de \(m\times p\)-matrix met \((AB)_{ij}=a_i\cdot b_j\).
Functie bij een matrix: \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), \(x\mapsto Ax\).

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Notatie nauwkeurig lezen: \(x,y,z\in\mathbb{R}^n\) zijn drie vectoren, \((x,y,z)\in\mathbb{R}^n\) is één vector met \(n=3\). (06:47)
Symbolen altijd eerst introduceren: zeg of iets een getal of een vector is. (12:43)
Bij elke punt bepalen of het een product van getallen, een schaling of een inproduct is; het inproduct geen vermenigvuldiging noemen. (14:27)
Formules langzaam lezen en impliciete betekenis (welke nul, welke punt) uit de context halen. (38:40)
Lengtes en hoeken zijn in elke \(\mathbb{R}^n\) gedefinieerd en voldoen aan de vertrouwde eigenschappen, zoals de driehoeksongelijkheid. (55:41)
Zelf bewijzen: dezelfde richting geeft dezelfde eenheidsvector. (71:41)
De matrix en de bijbehorende functie uit elkaar houden. (103:03)
Het matrixproduct is zo gedefinieerd dat \(A(Bx)=(AB)x\); maak het bewijs zelf af. (111:03)

6. Oefenvragen

Bereken \(x\cdot y\), \(\|x\|\), \(\|y\|\) en de hoek tussen \(x=(1,1,0)\) en \(y=(1,0,1)\).
(a) Met alle punten uitgeschreven luidt eigenschap 4: \(x\cdot(c\cdot y)=c\cdot(x\cdot y)\). Geef bij elke punt aan of het een product van getallen, een schaling of een inproduct is. (b) Bewijs met de eigenschappen van het inproduct: staat \(x\) loodrecht op \(y\) en op \(z\) (dus \(x\cdot y=0\) en \(x\cdot z=0\)), dan staat \(x\) loodrecht op elke lineaire combinatie \(cy+dz\).
Neem de vectoren uit het college, \(x=(-3,5,2)\) en \(y=(2,3,4)\), met \(x\cdot y=17\). Controleer de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de driehoeksongelijkheid. Waarom heb je Cauchy-Schwarz nodig om de hoek tussen twee vectoren te kunnen definiëren?
(a) Bepaal de eenheidsvector in de richting van \((3,0,-4)\). (b) Bewijs: als \(x\neq0\) en \(y=dx\) met \(d>0\), dan hebben \(x\) en \(y\) dezelfde eenheidsvector. Wat krijg je als \(d<0\)?
Bereken \(Ax\) op beide manieren (via de kolommen en via de rijen) voor de matrix \(A=\begin{pmatrix}1&5\\3&-1\\2&3\end{pmatrix}\) uit het college en \(x=(3,-2)\). Van welke ruimte naar welke ruimte gaat de functie \(x\mapsto Ax\)?
Bereken \(AB\) voor \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&-1\end{pmatrix}\). Bestaat \(BA\)? Controleer voor \(x=(1,-1,2)\) dat \(A(Bx)=(AB)x\).

Antwoorden

\(x\cdot y=1\) en \(\|x\|=\|y\|=\sqrt2\), dus \(\cos\alpha=\tfrac12\) en \(\alpha=\tfrac{\pi}{3}\).
(a) Links is de eerste punt een inproduct (van \(x\) met de vector \(c\cdot y\)) en de tweede een schaling. Rechts is de eerste punt een product van getallen (\(c\) en het getal \(x\cdot y\)) en de tweede een inproduct. (b) Met eigenschap 2 en daarna eigenschap 4:

\[x\cdot(cy+dz)=x\cdot(cy)+x\cdot(dz)=c\,(x\cdot y)+d\,(x\cdot z)=c\cdot0+d\cdot0=0\]
\(\|x\|=\sqrt{38}\) en \(\|y\|=\sqrt{29}\), dus \(\|x\|\,\|y\|=\sqrt{1102}\approx33{,}2\ge|x\cdot y|=17\). Verder is \(x+y=(-1,8,6)\), dus \(\|x+y\|=\sqrt{101}\approx10{,}05\le\|x\|+\|y\|\approx6{,}16+5{,}39=11{,}55\). De hoek is gedefinieerd via \(\cos\alpha=\frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}\), en zo'n \(\alpha\in[0,\pi]\) bestaat alleen als dit quotiënt in \([-1,1]\) ligt; dat is precies wat Cauchy-Schwarz garandeert.
(a) \(\|(3,0,-4)\|=\sqrt{9+16}=5\), dus \(\tfrac15(3,0,-4)=(\tfrac35,0,-\tfrac45)\). (b) \(\|y\|=|d|\,\|x\|=d\|x\|\neq0\) (eigenschap 5), dus \(\frac{1}{\|y\|}y=\frac{1}{d\|x\|}\,dx=\frac{1}{\|x\|}x\). Bij \(d<0\) is \(|d|=-d\) en krijg je \(-\frac{1}{\|x\|}x\): de tegengestelde eenheidsvector.
Kolommen: \(3(1,3,2)-2(5,-1,3)=(-7,11,0)\). Rijen: \((1,5)\cdot(3,-2)=-7\), \((3,-1)\cdot(3,-2)=11\), \((2,3)\cdot(3,-2)=0\). Beide geven \((-7,11,0)\). \(A\) is een \(3\times2\)-matrix, dus de functie gaat van \(\mathbb{R}^2\) naar \(\mathbb{R}^3\).
\(AB=\begin{pmatrix}2&1&0\\4&3&2\end{pmatrix}\), bijv. \((AB)_{23}=(3,4)\cdot(2,-1)=2\). \(BA\) bestaat niet: \(B\) heeft 3 kolommen en \(A\) heeft 2 rijen. Controle: \(Bx=(3,-1)\), dus \(A(Bx)=(3-2,\,9-4)=(1,5)\), en ook \((AB)x=(2-1+0,\,4-3+4)=(1,5)\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~11:19: de derde vector in het voorbeeld met drie vectoren in \(\mathbb{R}^2\) wordt niet uitgesproken.
~31:26–40:21: nummering 1–5 van de eigenschappen afgeleid uit latere verwijzingen ("regeltje 3" ~48:32, "vijf" ~70:13); controleer op het bord.
~45:41–46:47: docent vergat eerst de factor 2 in de cosinusregel (door een student gecorrigeerd); zijn controle met \(\alpha=0\) is in de audio onvolledig.
~74:32 en ~96:47: precieze opstelling van het rekenschema (waar de vector of \(B\) staat) is uit de audio niet zeker.
~92:52 en ~93:44: onduidelijk of de matrices rij- of kolomsgewijs zijn uitgesproken; de tweede matrix in het optelvoorbeeld is afgeleid uit de genoemde sommen.
~109:47: docent zegt \(x_n\) en \(e_n\) waar \(x_p\) en \(e_p\) bedoeld is (\(x\in\mathbb{R}^p\)).