College 4: Causaliteit, het ruimtetijdinterval, viervectoren, relativistische impuls en energie, en een blik op de algemene relativiteit

Maandag 21 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Vandaag het laatste college speciale relativiteit; volgend college begint kwantummechanica. (06:36)
Gebruik het boek bij de werkcollegeopgaven (eventueel digitaal): naast de colleges is het een belangrijk onderdeel van het vak. De TA's helpen je graag, maar zelf iets uitzoeken in het boek geeft vaak beter begrip. (08:54)
Op een studentvraag: de afleiding in het boek rekent met differentialen (Analyse 2 of 3); die hoef je niet zelf te kunnen afleiden. (10:44)
Het werkcollegelokaal dat in de planning steeds wisselde tussen Gorlaeus en Huygens vervalt. Alle werkcolleges zijn nu steeds in het Huygens, in dezelfde lokalen. (11:06)

2. Samenvatting

Het college begint met de vraag wat niet sneller dan het licht kan: informatie (oorzaak en gevolg) en materie. Een gedachte-experiment met instantane communicatie tussen een trein en het perron laat in een ruimtetijddiagram zien dat sneller-dan-licht-signalen de causaliteit schenden. Daarna volgen het Lorentz-invariante ruimtetijdinterval, de indeling in tijdachtig, ruimteachtig en lichtachtig gescheiden events, lichtkegels en viervectoren. Door de impuls als viervector op te stellen, met een afgeleide naar de eigentijd, volgen \(p = \gamma mv\) en \(E = \gamma mc^2\); daarmee versnelt een constante kracht een deeltje nooit voorbij \(c\). Tot slot een blik op de algemene relativiteit en het Eddington-experiment.

3. Aantekeningen per onderwerp

Wat kan niet sneller dan het licht? (11:29)

Twee antwoorden, die vandaag allebei volgen uit de speciale relativiteit: (1) informatie, oftewel oorzaak en gevolg (causaliteit: een gevolg kan niet vóór zijn oorzaak komen); (2) materie, alles met massa. Dit is ons huidige begrip van het universum. (12:39)
Wél sneller: zwaai je een laserpen over een scherm ver weg (bij Saturnus), dan kan de stip sneller dan licht bewegen. Je kunt er geen informatie mee van punt A naar punt B op het scherm sturen. (13:41)
De uitdijing van het heelal: als je de ruimte zonder materie bedoelt, prima; de materie zelf gaat niet sneller dan licht. (15:28)

Gedachte-experiment: sneller dan licht communiceren (18:33)

Opzet (slide): B en C zitten in een trein (S') die met \(u\) naar rechts rijdt; A en D staan op het perron (S). B passeert A precies wanneer C D passeert. A↔B en C↔D seinen met vlaggetjes (ter plekke); B→C en D→A gebruiken een apparaatje dat een binair bericht (kop of munt) instantaan verstuurt. De redenering geldt voor elk signaal dat sneller gaat dan licht. (18:40)
Events: (1) A gooit een munt op en seint het resultaat naar B, die het instantaan naar C stuurt; (2) C ontvangt het en seint het naar D, die het instantaan naar A stuurt; (3) A ontvangt het resultaat. Kleine vertragingen (munt opgooien, vlag zien) worden verwaarloosd. (19:59)
De rustlengte \(L_{CB}\) van de trein is niet gelijk aan \(L_{AD}\), vanwege lengtecontractie. Op het bord: \(L_{CB} = L_{AD}/\gamma\) met \(\gamma = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}\) [bord, gereconstrueerd]. Zie sectie 7 voor een kanttekening. (21:16)
Ruimtetijddiagram: \(x\) horizontaal, \(ct\) verticaal, lichtlijn \(x = ct\) onder 45°; de assen \(x'\) en \(ct'\) van S' (groen) zijn naar de lichtlijn toe gekanteld. C en D op \(x = 0\), A en B op \(x = x_A\). [bord, gereconstrueerd] (22:44)
Event 1 gebeurt op \(x = x_A\) en \(t' = 0\). Alle punten met \(t' = 0\) vormen samen de \(x'\)-as, dus event 1 ligt op de \(x'\)-as boven \(x = x_A\). [bord, gereconstrueerd] (24:23)
B→C is instantaan in S' (\(\Delta t' = 0\)): het signaal loopt langs de \(x'\)-as naar \(x = 0\). Event 2 ligt in de oorsprong. [bord, gereconstrueerd] (26:03)
D→A is instantaan in S (\(\Delta t = 0\)): het signaal loopt horizontaal langs de \(x\)-as. Event 3 ligt op \(x = x_A\), \(t = 0\), recht onder event 1. [bord, gereconstrueerd] (27:29)
A ontvangt het resultaat dus vóórdat ze de munt opgooit: de causaliteit wordt geschonden. Sneller-dan-licht-communicatie kan daarom niet. (28:12)
Materie: als massa sneller dan licht kon, kon je er informatie mee versturen (een briefje, of een atoom in een van twee toestanden) en dit experiment uitvoeren. Daarom kan ook materie niet sneller dan licht. (30:51)

Probleem: de tweede wet van Newton (31:37)

Klassiek: \(p = mv\) en \(F = dp/dt = ma\). [bord, gereconstrueerd] (31:54)
Een constante kracht \(F_x\) op massa \(m\) geeft \(v_x(t) = (F_x/m)\,t\): de snelheid groeit lineair en eindeloos, ook voorbij \(c\) (grafiek \(v\) tegen \(t\) met \(c\) op de verticale as). [bord, gereconstrueerd] (32:35)
Conclusie: \(p = mv\) en \(F = ma\) kloppen niet meer (doorgestreept op het bord), \(F = dp/dt\) wel. [bord, gereconstrueerd] (33:58)

Het ruimtetijdinterval (34:58)

Doel: viervectoren begrijpen, als intuïtie voor de relativistische impuls; de volledige afleiding is te ingewikkeld. (34:13)
In het \(xy\)-vlak: punten met vectoren \(\vec r_1\), \(\vec r_2\) en verschilvector \(\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1\), die je naar de oorsprong kunt verschuiven. Bij een rotatie van de assen blijft de lengte gelijk [bord, gereconstrueerd] (35:30)

\[|\Delta\vec r| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\]

In een ruimtetijddiagram (\(x\) en \(\tau = ct\)) zijn de punten events, met vectoren \(\vec s_1\), \(\vec s_2\) en verschilvector \(\Delta\vec s\); ook die mag naar de oorsprong (event 1 op \((0, 0)\)). [bord, gereconstrueerd] (38:45)
De Lorentztransformatie roteert de assen niet maar drukt ze samen rond de lichtlijn \(x = \tau\); de gewone (cartesische) lengte van \(\Delta\vec s\) blijft dan niet behouden. (40:27)
Wel behouden: het ruimtetijdinterval (spacetime interval) [bord, gereconstrueerd] (42:14)

\[\|\Delta s\| = \sqrt{\Delta\tau^2 - \Delta x^2}\]

Bewijs: vul voor \(\Delta\tau\) en \(\Delta x\) de Lorentztransformatie in; in S' komt hetzelfde uit (werkcollegeopgave). (42:52)
Zo'n grootheid heet Lorentz-invariant. Krachtig: een theorie opgebouwd uit Lorentz-invariante grootheden is in elk stelsel hetzelfde, dus consistent met het relativiteitsprincipe. (43:39)

Tijdachtig, ruimteachtig en lichtachtig (44:49)

Leg een event in de oorsprong en teken de lichtlijnen \(x = \tau\) en \(x = -\tau\). Werk met \(\Delta s^2 = \Delta\tau^2 - \Delta x^2\) om wortels te vermijden. [bord, gereconstrueerd] (45:51)
Tussen de lichtlijnen, boven én onder (het teken van \(\Delta\tau\) doet er door het kwadraat niet toe): \(\Delta s^2 > 0\), tijdachtig (time-like). Zulke events kunnen een oorzaak-gevolgrelatie hebben: het vroegste kan het latere veroorzaken. (49:04)
Links en rechts van de lichtlijnen: \(\Delta s^2 < 0\), ruimteachtig (space-like). Geen oorzaak-gevolgrelatie mogelijk: dan zou informatie sneller dan licht gaan en kun je een diagram maken zoals in het gedachte-experiment. (50:21)
Precies op de lichtlijnen: \(\Delta x = \Delta\tau\), dus \(\Delta s^2 = 0\), lichtachtig (light-like). (51:42)

Lichtkegels en viervectoren (68:46)

De ruimte is driedimensionaal, de ruimtetijd dus vierdimensionaal. In een diagram met \(x\), \(y\) en \(ct\) worden de lichtlijnen een lichtkegel (light cone). Een event kan alleen events binnen of op zijn toekomstige lichtkegel beïnvloeden. Ligt een event binnen of op de lichtkegel van een ander event (toekomst of verleden), dan kunnen ze dus oorzaak en gevolg zijn; ligt het buiten beide kegels, dan zijn ze ruimteachtig gescheiden en is er geen oorzakelijk verband. De vierde dimensie moet je erbij denken. (69:53)
Op een studentvraag: alles wat jou beïnvloed heeft, ligt in je lichtkegel van het verleden (past light cone). (71:16)
Viervector, in indexnotatie met index \(\mu\) [bord, gereconstrueerd] (71:56)

\[x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z) = (\tau, \vec r)\]

De stand van de index hangt samen met hoe je matrices met vectoren vermenigvuldigt; daar hoef je je nu niet druk om te maken. (72:34)
Het interval in vier dimensies (de delta's weggelaten, want je kunt altijd naar de oorsprong verschuiven) [bord, gereconstrueerd] (73:17)

\[s = \sqrt{(x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2} = \sqrt{(ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2}\]

Bij een snelheid langs \(x\) mengen alleen \(ct\) en \(x\); \(y\) en \(z\) blijven gelijk. Langs \(y\) mengen \(ct\) en \(y\). Een willekeurige richting wordt erg ingewikkeld: kies dan je assen anders. (74:35)
Viervectoren zijn een van de krachtigste middelen om theorieën Lorentz-invariant te maken. (75:11)

Voorbeeld: de Maxwellvergelijkingen (75:23)

De Maxwellvergelijkingen beschrijven al het elektromagnetisme, ook licht. Op de slide: één viervector \(A^\mu\) met de elektrische potentiaal en de vectorpotentiaal \(\vec A\) (drie componenten), en een bron \(J^\mu\). (75:47)
Een veldentheorie: velden kunnen maar met de lichtsnelheid veranderen, dus er is geen instantane communicatie. (76:14)
Alle Maxwellvergelijkingen in één vergelijking, met 'het vierkantje' (afgeleiden naar \(t\), \(x\), \(y\) en \(z\)) [bord, gereconstrueerd] (76:35)

\[\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu, \qquad \Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\]

Relativistische impuls (78:40)

Terminologie: de docent zegt soms 'impulsmoment'; bedoeld is impuls (momentum), niet impulsmoment (angular momentum). (34:13)
Klassiek \(\vec p = m\vec v = m\,d\vec r/dt\). Maar welke \(t\)? In de speciale relativiteit is tijd niet universeel. (79:06)
Gok: een viervector \(p^\mu = m\,dx^\mu/dt_0\), met \(t_0\) de eigentijd van het deeltje: de tijd in een stelsel dat met \(u = v\) meebeweegt, waarin het deeltje stilstaat. De positie meet je in S. (79:37)
Uitgewerkt in twee dimensies [bord, gereconstrueerd] (81:52)

\[p^\mu = m\frac{dx^\mu}{dt_0} = \left(m\frac{d\tau}{dt_0},\; m\frac{dx}{dt_0}\right) = \left(mc\,\frac{dt}{dt_0},\; m\,\frac{dx}{dt}\,\frac{dt}{dt_0}\right)\]

Tijddilatatie \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\) geeft \(dt/dt_0 = \gamma\), dus [bord, gereconstrueerd] (83:26)

\[p^\mu = (\gamma mc,\; \gamma m\vec v)\]

De impuls is dus niet \(mv\) maar \(\gamma mv\). Dit was een gok (de goede, maar dat kon je vooraf niet weten); nu controleren we de gevolgen. (84:55)
Let op: \(\gamma\) bevat hier \(v\), omdat het meebewegende stelsel zo gekozen is dat \(u = v\). (91:27)

De eerste component: energie (86:26)

Taylorbenadering \(\gamma \approx 1 + \tfrac12 v^2/c^2\) (zie werkcollege) [bord, gereconstrueerd] (87:14)

\[cp^0 = \gamma mc^2 \approx mc^2 + \tfrac12 mv^2 + \ldots\]

\(\tfrac12 mv^2\) is de kinetische energie van Newton; \(mc^2\) is de rustenergie. De eerste component van de viervector is dus energie (gedeeld door \(c\)). (88:24)

De tweede wet van Newton, relativistisch (89:56)

\(F = dp/dt\) klopt zowel klassiek als relativistisch. Met alles langs \(x\) (algebra overgeslagen, zie boek) [bord, gereconstrueerd] (boek, §37.7) (90:26)

\[F_x = \frac{d}{dt}\,\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{m\,dv/dt}{(1 - v^2/c^2)^{3/2}} = \gamma^3 ma\]

Constante kracht vanuit rust [bord, gereconstrueerd] (93:00)

\[v(t) = \frac{F_x t/m}{\sqrt{1 + F_x^2t^2/(m^2c^2)}}\]

Grafiek: bij lage snelheid volgt \(v\) de klassieke lijn \(F_x t/m\), daarna nadert hij \(c\) asymptotisch en komt er nooit voorbij. Precies het gewenste gedrag. [bord, gereconstrueerd] (93:38)
Dit geldt voor een kracht evenwijdig aan de snelheid. Staat de kracht loodrecht op de snelheid, dan is \(F = \gamma ma\) (afleiding in het boek) (boek, §37.7) (94:53)
Relativistische impuls [bord, gereconstrueerd] (95:43)

\[\vec p = \gamma m\vec v\]

Relativistische energie (96:06)

Het werk op het deeltje is gelijk aan de kinetische energie; de integraal staat uitgewerkt in het boek [bord, gereconstrueerd] (boek, §37.8) (96:27)

\[W = \int_{x_1}^{x_2} F_x\,dx = K = (\gamma - 1)\,mc^2\]

Totale energie = kinetische energie + rustenergie [bord, gereconstrueerd] (97:20)

\[E = K + mc^2 = \gamma mc^2\]

Twee routes (de viervector, en de tweede wet van Newton plus het werk) geven een consistent beeld van impuls en energie. (97:58)
Omdat \(p^\mu\) een viervector is, mengen energie en impuls in een ander stelsel, zoals \(ct\) en \(x\): je gebruikt dezelfde Lorentz-boost, met \((E/c, p_x)\) in plaats van \((\tau, x)\). (99:00)
Ook de 'lengte' van de vierimpuls is invariant [bord, gereconstrueerd] (99:37)

\[p^\mu = \left(\frac{E}{c},\; \vec p\right), \qquad \frac{E^2}{c^2} - p^2 \;\text{ is Lorentz-invariant}\]

In het boek: \(E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\), dus de invariant is \(m^2c^2\) (boek, §37.8)

Algemene relativiteit (101:54)

Nog niet relativistisch: de gravitatiewet van Newton [bord, gereconstrueerd] (102:28)

\[F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}\]

Probleem: ontploft de zon, dan bereikt het licht ons pas na acht minuten, maar volgens Newton verandert de zwaartekracht op aarde (en de baan van de aarde) meteen. Informatie sneller dan licht: in strijd met de speciale relativiteit. (103:02)
Oplossing, net als bij elektromagnetisme (de wet van Coulomb \(F = q_1q_2/(4\pi\epsilon_0 r^2)\) lijkt erg op die van Newton [bord, gereconstrueerd]): een veldentheorie. Een massa produceert een veld, beschreven door massadichtheid en snelheid van die massa. (104:11)
Complicatie: waarnemers in verschillende stelsels zijn het niet eens over energie(dichtheid), dus ook niet over massadichtheid en hoe die stroomt (de rustmassa \(m\) zelf is wel invariant). De bron van de zwaartekracht is daarom niet één getal per punt, en ook geen viervector, maar een 4×4-matrix die de verdeling en stroming van massa en energie beschrijft. De vergelijkingen worden extreem ingewikkeld (masterstof), maar alles klopt: massa kromt de ruimtetijd om zich heen. (105:24)
Einsteins vergelijking staat als muurformule in Leiden (volgens de docent hebben de muurformules allemaal een band met Leiden). Het deel met de kosmologische constante is volgens hem gebaseerd op Einsteins discussies in Leiden met Willem de Sitter. (106:34)

Het Eddington-experiment (107:34)

Eerste bevestiging van een nieuwe voorspelling van de algemene relativiteit: licht van sterren achter de zon buigt af door de massa van de zon (kromming van de ruimtetijd: zwaartekrachtlenswerking, gravitational lensing). Die sterren zie je alleen tijdens een totale zonsverduistering; Eddington leidde de expeditie. (107:37)
Ook klassiek is er een afbuiging, maar de algemene relativiteit voorspelt een factor 2 meer; daarvoor was een grote meetprecisie nodig. (108:15)
Pas na dit experiment werd Einstein beroemd. (108:37)

4. Begrippen & definities

Causaliteit: een gevolg kan niet vóór zijn oorzaak plaatsvinden; oorzaak en gevolg zijn dus niet sneller dan het licht verbonden.
Ruimtetijdinterval (spacetime interval): \(\|\Delta s\| = \sqrt{\Delta\tau^2 - \Delta x^2}\) met \(\tau = ct\); in drie ruimtelijke dimensies \(\sqrt{(c\Delta t)^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2}\).
Lorentz-invariant: in alle inertiaalstelsels gelijk, dus onveranderd onder de Lorentztransformatie.
Tijdachtig (time-like): \(\Delta s^2 > 0\); de events kunnen oorzaak en gevolg zijn.
Ruimteachtig (space-like): \(\Delta s^2 < 0\); geen oorzaak-gevolgrelatie mogelijk.
Lichtachtig (light-like): \(\Delta s^2 = 0\); de events liggen op een lichtlijn en kunnen via een lichtsignaal oorzaak en gevolg zijn.
Lichtkegel (light cone): de lichtlijnen rond een event in een diagram met twee ruimteassen; de toekomstige kegel bevat (binnen of op de kegel) de events die het kan beïnvloeden, de kegel van het verleden alles wat het kan hebben beïnvloed.
Viervector \(x^\mu\): \((ct, x, y, z)\), met index \(\mu = 0, 1, 2, 3\) (indexnotatie).
Vierimpuls: \(p^\mu = m\,dx^\mu/dt_0 = (\gamma mc, \gamma m\vec v) = (E/c, \vec p)\).
Relativistische impuls: \(\vec p = \gamma m\vec v\).
Rustenergie: \(mc^2\).
Relativistische kinetische energie: \(K = (\gamma - 1)\,mc^2\).
Totale (relativistische) energie: \(E = \gamma mc^2 = K + mc^2\).
Zwaartekrachtlenswerking (gravitational lensing): afbuiging van licht door de kromming van de ruimtetijd rond een massa.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Maak bij elk relativiteitsprobleem een schets en kies vooraf je referentiestelsels; werk met hooguit twee. Een derde object beschrijf je met een snelheid in een van die stelsels (voorbeeld: twee ruimteschepen en een afgevuurde raket). (09:30)
Het gedachte-experiment over sneller-dan-licht-communicatie was vorig jaar een tentamenopgave: de events aangeven in een gegeven ruimtetijddiagram. (17:49)
Je moet \(\gamma\) snel kunnen reproduceren. (22:31)
Aantonen dat het ruimtetijdinterval Lorentz-invariant is, door de Lorentztransformatie in te vullen: werkcollegeopgave. (43:19)
Je moet kunnen nadenken over lichtkegels en welke events causaal verbonden kunnen zijn. (71:00)
Viervectoren: begrijpen waar ze nuttig voor zijn, niet ermee rekenen (masterstof); de Maxwellvergelijkingen in viervectorvorm hoef je niet te reproduceren. (77:30)
Let op de richting van de kracht: \(F = \gamma^3 ma\) bij een kracht evenwijdig aan de snelheid, \(F = \gamma ma\) bij een kracht loodrecht erop. (94:53)
De invariant \(E^2/c^2 - p^2\): oefenen in het werkcollege; je gebruikt het veel bij de relativistische botsingen aan het eind van het vak, dat studenten vaak het moeilijkste deel vinden. (100:29)
Onthouden: 'deze twee formules', vermoedelijk \(p = \gamma mv\) en \(E = \gamma mc^2\) (zie sectie 7). (100:55)

6. Oefenvragen

In het gedachte-experiment uit het college zitten B en C in een trein (S') die met \(u\) in de \(+x\)-richting rijdt; A en D staan op het perron (S). B stuurt het resultaat van A's muntworp instantaan in S' door naar C, en D stuurt het instantaan in S door naar A. Geef in een ruimtetijddiagram van S (C en D op \(x = 0\), A en B op \(x = x_A > 0\)) de drie events aan en leg uit waarom de causaliteit wordt geschonden.
Event 1 vindt plaats in de oorsprong van S, event 2 op \(x = 600\) m. Zijn de events tijdachtig, ruimteachtig of lichtachtig gescheiden als event 2 plaatsvindt op (a) \(t = 1{,}0\) µs, (b) \(t = 2{,}0\) µs, (c) \(t = 3{,}0\) µs? Kan event 1 telkens de oorzaak zijn van event 2? (\(c = 3{,}0\cdot10^8\) m/s)
(a) Toon aan dat \(\Delta s^2 = \Delta\tau^2 - \Delta x^2\) Lorentz-invariant is door de Lorentz-boost \(\Delta\tau' = \gamma\,(\Delta\tau - \beta\,\Delta x)\), \(\Delta x' = \gamma\,(\Delta x - \beta\,\Delta\tau)\) in te vullen. (b) S' beweegt met \(u = 0{,}60c\) in de \(+x\)-richting. Bereken \(\Delta\tau'\) en \(\Delta x'\) voor de events uit vraag 2(a) en 2(c) en controleer dat \(\Delta s^2\) niet verandert. Wat valt op aan de volgorde van de events in S' bij vraag 2(a)?
Event O ligt in de oorsprong. Drie andere events hebben de coördinaten \(x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)\), in meters: P \(= (5, 3, 3, 0)\), Q \(= (-5, 0, 3, 4)\) en R \(= (5, 4, 0, 4)\). (a) Geef voor elk event aan of het binnen, op of buiten de toekomstige lichtkegel of de lichtkegel van het verleden van O ligt. Welke events kunnen met O als oorzaak en gevolg verbonden zijn? (b) Waarom komt elke waarnemer, in welk inertiaalstelsel ook, tot dezelfde indeling?
(a) Een deeltje met massa \(m\) beweegt met \(v = 0{,}60c\) en voelt een kracht \(F\). Bereken de versnelling, uitgedrukt in \(F/m\), als de kracht evenwijdig aan de snelheid staat en als hij er loodrecht op staat. Vergelijk met de klassieke waarde. (b) Een deeltje met massa \(m\) start in rust en krijgt een constante kracht \(F\) in de bewegingsrichting. Op welk tijdstip zou het klassiek \(c\) bereiken? Wat is op dat tijdstip de relativistische snelheid?
(a) Een proton (\(mc^2 = 938\) MeV) beweegt in S met \(v = 0{,}80c\) in de \(+x\)-richting. Bereken \(E\), \(K\) en \(pc\), en controleer dat \(E^2/c^2 - p^2 = m^2c^2\). (b) S' beweegt met \(u = 0{,}60c\) in de \(+x\)-richting. Bereken met de snelheidstransformatie de snelheid \(v'\) van het proton in S', en daarmee \(E'\) en \(p'c\). Laat zien dat ook \(E'^2/c^2 - p'^2 = m^2c^2\), terwijl \(E\) en \(p\) zelf veranderd zijn.
Waarom is de gravitatiewet van Newton in strijd met de speciale relativiteit, en hoe lost de algemene relativiteit dat op?

Antwoorden

Event 1 (A gooit de munt op en seint naar B) ligt op \(x = x_A\) en \(t' = 0\), dus op de gekantelde \(x'\)-as, boven de \(x\)-as (\(ct = \beta x_A > 0\) met \(\beta = u/c\)). B→C is instantaan in S' (\(\Delta t' = 0\)): het signaal loopt langs de \(x'\)-as naar \(x = 0\), dus event 2 (C ontvangt het en seint naar D) ligt in de oorsprong. D→A is instantaan in S (\(\Delta t = 0\)): het signaal loopt langs de \(x\)-as, dus event 3 (A ontvangt het resultaat) ligt op \(x = x_A\), \(t = 0\), recht onder event 1. A ontvangt het resultaat dus vóórdat ze de munt opgooit: het gevolg komt vóór de oorzaak.
(a) \(c\Delta t = 300\) m, dus \(\Delta s^2 = 300^2 - 600^2 = -2{,}7\cdot10^5\) m² \(< 0\): ruimteachtig. Geen oorzaak-gevolg: een signaal zou met \(2c\) moeten gaan. (b) \(c\Delta t = 600\) m \(= \Delta x\), dus \(\Delta s^2 = 0\): lichtachtig. Event 1 kan event 2 alleen via een lichtsignaal veroorzaken. (c) \(c\Delta t = 900\) m, dus \(\Delta s^2 = 900^2 - 600^2 = 4{,}5\cdot10^5\) m² \(> 0\): tijdachtig; event 1 kan de oorzaak zijn.
(a) \(\Delta\tau'^2 - \Delta x'^2 = \gamma^2\left[(\Delta\tau - \beta\,\Delta x)^2 - (\Delta x - \beta\,\Delta\tau)^2\right] = \gamma^2(1 - \beta^2)(\Delta\tau^2 - \Delta x^2) = \Delta\tau^2 - \Delta x^2\): de kruistermen \(-2\beta\,\Delta\tau\,\Delta x\) vallen tegen elkaar weg en \(\gamma^2 = 1/(1 - \beta^2)\). (b) \(\gamma = 1{,}25\). Bij 2(a): \(\Delta\tau' = 1{,}25\,(300 - 0{,}60\cdot600) = -75\) m en \(\Delta x' = 1{,}25\,(600 - 0{,}60\cdot300) = 525\) m, dus \(\Delta s^2 = 75^2 - 525^2 = -2{,}7\cdot10^5\) m², net als in S. Bij 2(c): \(\Delta\tau' = 1{,}25\,(900 - 360) = 675\) m en \(\Delta x' = 1{,}25\,(600 - 540) = 75\) m, dus \(\Delta s^2 = 675^2 - 75^2 = 4{,}5\cdot10^5\) m². Bij 2(a) is \(\Delta t' = -0{,}25\) µs: in S' vindt event 2 vóór event 1 plaats. Bij ruimteachtig gescheiden events hangt de volgorde dus af van het stelsel; zou event 1 event 2 veroorzaken, dan kwam in S' het gevolg vóór de oorzaak. Bij 2(c) blijft \(\Delta t' = 2{,}25\) µs positief.
(a) Bereken telkens \(s^2 = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2\). P: \(s^2 = 25 - 9 - 9 = 7\) m² \(> 0\) en \(x^0 > 0\), dus binnen de toekomstige lichtkegel (tijdachtig): O kan P veroorzaken. Q: \(s^2 = 25 - 9 - 16 = 0\) en \(x^0 < 0\), dus op de lichtkegel van het verleden (lichtachtig): Q kan O via een lichtsignaal hebben beïnvloed. R: \(s^2 = 25 - 16 - 16 = -7\) m² \(< 0\), dus buiten beide kegels (ruimteachtig): geen oorzakelijk verband, ook al is \(x^0 > 0\). (b) \(s^2\) is Lorentz-invariant: in elk stelsel komt hetzelfde getal uit, dus alle waarnemers zijn het eens over tijdachtig, ruimteachtig of lichtachtig, en daarmee over welke events causaal verbonden kunnen zijn (daarom zijn viervectoren en hun invariante 'lengte' zo nuttig). Bij tijdachtig of lichtachtig gescheiden events verandert bovendien de volgorde niet (zoals bij 2(c) in vraag 3), dus ook over toekomst en verleden is iedereen het eens.
(a) \(\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}36} = 1{,}25\). Evenwijdig: \(a = F/(\gamma^3 m) = F/(1{,}95\,m) \approx 0{,}51\,F/m\). Loodrecht: \(a = F/(\gamma m) = 0{,}80\,F/m\). Klassiek is \(a = F/m\): relativistisch is de versnelling kleiner, en bij een kracht evenwijdig aan de snelheid het kleinst. Voor \(v \to c\) gaat \(\gamma^3 \to \infty\) en dus \(a \to 0\). (b) Klassiek \(v = Ft/m = c\) bij \(t = mc/F\). Relativistisch \(v = (Ft/m)/\sqrt{1 + F^2t^2/(m^2c^2)} = c/\sqrt{2} \approx 0{,}71c\): het deeltje nadert \(c\) alleen asymptotisch.
(a) \(\gamma = 5/3\). \(E = \gamma mc^2 \approx 1563\) MeV; \(K = (\gamma - 1)\,mc^2 \approx 625\) MeV (klassiek \(\tfrac12 mv^2\) zou ca. 300 MeV geven); \(pc = \gamma\,(v/c)\,mc^2 = \tfrac43 \cdot 938 \approx 1251\) MeV. Controle: \(E^2 - (pc)^2 = \left(\tfrac{25}{9} - \tfrac{16}{9}\right)(mc^2)^2 = (mc^2)^2\), dus \(E^2/c^2 - p^2 = m^2c^2\). (b) \(v' = (v - u)/(1 - uv/c^2) = (0{,}80 - 0{,}60)/(1 - 0{,}48)\,c = \tfrac{5}{13}\,c\), dus \(\gamma' = 1/\sqrt{1 - 25/169} = \tfrac{13}{12}\). Dan \(E' = \gamma' mc^2 = \tfrac{13}{12}\cdot 938 \approx 1016\) MeV en \(p'c = \gamma'\,(v'/c)\,mc^2 = \tfrac{5}{12}\cdot 938 \approx 391\) MeV. Controle: \(E'^2 - (p'c)^2 = \left(\tfrac{169}{144} - \tfrac{25}{144}\right)(mc^2)^2 = (mc^2)^2\), dus ook in S' is \(E'^2/c^2 - p'^2 = m^2c^2\), terwijl \(E\) en \(p\) zelf veranderd zijn. Hetzelfde volgt uit de Lorentz-boost op \((E/c, p_x)\), zoals voor \((\tau, x)\): \(E' = \gamma_u\,(E - \beta\,pc)\) en \(p'c = \gamma_u\,(pc - \beta E)\), met \(\gamma_u = 1{,}25\) en \(\beta = u/c = 0{,}60\).
Volgens \(F = Gm_1m_2/r^2\) voel je een verandering van de massaverdeling (de zon ontploft) meteen, terwijl licht er acht minuten over doet: informatie sneller dan licht. De algemene relativiteit is een veldentheorie, net als het elektromagnetisme: massa (en energie) produceert een veld en kromt de ruimtetijd. Veranderingen in dat veld planten zich met de lichtsnelheid voort (zwaartekrachtgolven), dus niet instantaan: de aarde merkt de verandering pas na ca. acht minuten, tegelijk met het licht. De bron van het veld is daarbij een 4×4-matrix en geen viervector, omdat waarnemers het niet eens zijn over energie- en massadichtheid (de rustmassa \(m\) zelf is wel invariant).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~10:44: De studentvraag is onverstaanbaar; welke afleiding in het boek bedoeld is (vermoedelijk die van de snelheidstransformatie) is onzeker.
~11:06: De gebouwnamen zijn slecht verstaanbaar; controleer je werkcollegezaal in MyTimetable of op Brightspace.
~15:04: Een student noemt iets dat wél sneller dan licht zou kunnen; onverstaanbaar, en de docent zegt er nog over na te moeten denken.
~16:18: Het plaatje bij het gedachte-experiment stond op de slide (het scherm haperde); de opzet is uit de audio afgeleid.
~22:17: De docent motiveert \(L_{CB} \neq L_{AD}\) vanuit S ('de rustlengte moet wat langer'); dat geeft \(L_{CB} = \gamma L_{AD}\) als de passages gelijktijdig zijn in S. De uitgesproken formule \(L_{CB} = L_{AD}/\gamma\) klopt als ze gelijktijdig zijn in S', zoals in het diagram (events 1 en 2 allebei op \(t' = 0\)). Vergelijk met de opgave op het oude tentamen.
~48:13: De docent wisselt tussen vector- en getalnotatie voor \(\Delta s\) en corrigeert zichzelf; notatie op het bord nakijken.
~72:34: De docent zegt dat 'het nulletje naar beneden is gegaan'; nakijken hoe de index op het bord stond (hier geschreven als \(x^\mu\), bovenindex).
~75:23: De docent noemt het 'vierkantje' een belofte uit het eerste college (niet terug te vinden in de notities van college 1). De vergelijking stond op de slide; de vorm \(\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu\) is gereconstrueerd en hangt af van conventies, nakijken.
~83:51: De docent schreef de tijddilatatie eerst verkeerd om en corrigeerde naar \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\).
~93:12: De formule voor \(v(t)\) werd eerst verminkt uitgesproken en bij ~94:27 aangevuld; gereconstrueerde vorm nakijken.
~100:55: Welke 'twee formules' de docent aanwees is niet te horen; vermoedelijk \(p = \gamma mv\) en \(E = \gamma mc^2\).
~102:38: De docent twijfelt aan de gravitatiewet en noemt de constante \(G\) pas later; correct is \(F = Gm_1m_2/r^2\).
~104:31: De constante in de wet van Coulomb is onverstaanbaar ('mu 1'); correct is \(F = q_1q_2/(4\pi\epsilon_0 r^2)\).
~107:55: In de opname klinkt 'Hawaï'; de expeditie van 1919 nam waar op Príncipe (West-Afrika) en in Sobral (Brazilië).
~108:29: '0,02 graden' klopt niet met de gemeten afbuiging aan de rand van de zon: ca. 1,75 boogseconde (ongeveer 0,0005°). Controleer het getal in de opname.
~109:23: De afsluitende studentvraag (vermoedelijk of alleen een berekening volstaat) en het antwoord zijn slecht verstaanbaar.