College 5: Lineaire deelruimten, kern en kolomruimte, lineaire onafhankelijkheid en bases

Dinsdag 22 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Bij het huiswerk wordt iets meer van je gevraagd dan je misschien zou verwachten. (01:51)
Lever elke huiswerkopgave apart in: er zijn vier inleverplekken, één per opgave, zodat de nakijkers tegelijk online kunnen nakijken en feedback geven. (04:58)
Alles bij opgave 1 ingeleverd? Lever na dit college hetzelfde bestand ook in bij opgave 2, 3 en 4; opsplitsen hoeft deze keer niet. (05:20)
Op het werkcollege komen nog veel meer voorbeelden. (111:39)

2. Samenvatting

Uit de rekenregels voor \(Ax\) volgt dat de oplossingen van een homogeen stelsel \(Ax=0\) een lineaire deelruimte vormen: de kern van \(A\). Bij een inhomogeen stelsel krijg je alle oplossingen door bij één particuliere oplossing alle homogene oplossingen op te tellen. Daarna volgen meer (niet-)voorbeelden van deelruimten: de span, de kolom- en rijruimte, alles wat loodrecht op een verzameling staat, en doorsneden (verenigingen niet); de kern blijkt alles te zijn wat loodrecht op de rijruimte staat, en \(Ax=b\) is oplosbaar precies als \(b\) in de kolomruimte ligt. Tot slot worden lineaire (on)afhankelijkheid, een toets daarvoor met de kern, en een basis gedefinieerd.

3. Aantekeningen per onderwerp

Homogene stelsels en lineaire deelruimten (05:45)

Voor een \(m\times n\)-matrix \(A\), \(x,y\in\mathbb{R}^n\) en \(c\in\mathbb{R}\) geldt \(A(x+y)=Ax+Ay\) en \(A(cx)=c(Ax)\). (05:46)
Gevolg: als \(Ax=0\) en \(Ay=0\), dan [bord, gereconstrueerd] (06:51)

\[A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0,\qquad A(cx)=c(Ax)=0,\qquad A0=0\]
Dus \(\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}\) is een lineaire deelruimte van \(\mathbb{R}^n\). (07:49)
Definitie: \(W\subseteq\mathbb{R}^n\) (deelverzameling; niet verwarren met \(\in\), "is element van") heet een lineaire deelruimte van \(\mathbb{R}^n\) als (1) \(x+y\in W\) voor alle \(x,y\in W\); (2) \(cx\in W\) voor alle \(x\in W\) en \(c\in\mathbb{R}\); (3) \(0\in W\). [bord, gereconstrueerd] (08:30)
Welke nul? In \(W\subseteq\mathbb{R}^n\) kan het alleen de nulvector van \(\mathbb{R}^n\) zijn. In \(A0=0\) zijn het twee verschillende: links de nulvector van \(\mathbb{R}^n\) (of de nulmatrix met één kolom, wat hetzelfde is), rechts die van \(\mathbb{R}^m\). (11:08)

Niet-voorbeeld: \(Ax=b\) met \(b\neq0\) (12:37)

Voor \(b\in\mathbb{R}^m\), \(b\neq0\), is \(W=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=b\}\) geen lineaire deelruimte. Kortste argument: \(A0=0\neq b\), dus \(0\notin W\). Ook optellen gaat mis: als \(W\) niet leeg is, geldt voor \(x,y\in W\) [bord, gereconstrueerd] (13:53)

\[A(x+y)=Ax+Ay=b+b=2b\neq b,\]

want \(b\neq0\). Dus \(x+y\notin W\).
\(Ax=b\) heet homogeen als \(b=0\) en inhomogeen als \(b\neq0\). Alleen bij een homogeen stelsel is de oplossingsverzameling een lineaire deelruimte. (15:43)

Particuliere plus homogene oplossingen (17:03)

Als \(Ax=b\) en \(Ay=b\) (homogeen of niet), dan \(A(x-y)=b-b=0\): het verschil \(z=x-y\) lost \(Az=0\) op, en \(x=y+z\). (17:31)
Omgekeerd: als \(Ay=b\) en \(Az=0\), dan \(A(y+z)=b+0=b\). (19:37)
Conclusie: heb je één oplossing \(y\) van \(Ax=b\), een particuliere oplossing, dan krijg je alle oplossingen door daar alle oplossingen van de homogene vergelijking bij op te tellen [bord, gereconstrueerd] (20:15)

\[\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=b\}=\{y+z\mid z\in\mathbb{R}^n,\ Az=0\}\]

Voorbeeld (21:31)

Vegen overgeslagen; de aangevulde matrix staat al in rijtrapvorm, zelfs gereduceerd (nullen boven de spillen) [bord, gereconstrueerd] (21:54)

\[\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&3&-1&1\\0&1&-3&2&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\]
Spillen in kolom 1 en 2; vrije variabelen \(x_3=s\), \(x_4=t\). Rij 2 geeft \(x_2=1+3s-2t\), rij 1 geeft \(x_1=1-3s+t\). (23:49)
Splits in constant deel, \(s\)-deel en \(t\)-deel [bord, gereconstrueerd] (25:04)

\[x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\3\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\]
\((1,1,0,0)\) (bij \(s=t=0\)) is een particuliere oplossing: invullen geeft \(1\) en \(1\). De rest zijn precies de oplossingen van \(Ax=0\); controleer bijv. rij 1 met \((-3,3,1,0)\): \(-3+0+3+0=0\). De andere vector zelf narekenen. (26:25)
Dat moet ook: \((-3,3,1,0)\) is het verschil van de oplossingen bij \((s,t)=(1,0)\) en \((0,0)\). (27:43)
Snel aflezen: elke homogene vector hoort bij één vrije variabele; zet die op \(1\), de andere vrije variabelen op \(0\) en reken de spilvariabelen uit. Bij 17 vrije variabelen geeft dat 17 vectoren (parameters \(s_1,\dots,s_{17}\)). (28:44)

Kern (30:37)

Stelling: de oplossingsverzameling van een homogene vergelijking \(Ax=0\) is een lineaire deelruimte. (31:19)
Definitie: de kern van \(A\) (Engels: kernel) is [bord, gereconstrueerd] (32:12)

\[\ker A=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}\]

De span is een lineaire deelruimte (32:48)

Stelling: voor \(v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R}^n\) is [bord, gereconstrueerd] (32:58)

\[\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\{c_1v_1+\dots+c_kv_k\mid c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\}\]

een lineaire deelruimte.
De homogene oplossingen in het voorbeeld zijn zelf een span van twee vectoren. (34:20)
Bewijs, nul: met \(W=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\) is \(0=0v_1+\dots+0v_k\in W\). Ook bij \(k=0\), want een lege som is per afspraak \(0\). (35:37)
Bewijs, optelling: als \(x,y\in W\), dan zijn er \(c_1,\dots,c_k\) en \(d_1,\dots,d_k\) zodanig dat \(x=c_1v_1+\dots+c_kv_k\) en \(y=d_1v_1+\dots+d_kv_k\). Met de rekenregel \(cv+dv=(c+d)v\) volgt [bord, gereconstrueerd] (37:22)

\[x+y=(c_1+d_1)v_1+\dots+(c_k+d_k)v_k\in W\]
Bewijs, schaling: zelf doen; schaal alle coëfficiënten van \(x\) met dezelfde factor. (40:38)

Voorbeelden en niet-voorbeelden in \(\mathbb{R}^2\) (41:08)

\(W=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid x_1-2x_2=0\}\) is een lineaire deelruimte. Snelste argument: \(x_1-2x_2=(1,-2)\cdot x=Ax\) met de \(1\times2\)-matrix \(A=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}\), dus \(W=\ker A\). [bord, gereconstrueerd] (42:02)
Direct: \(0-2\cdot0=0\), dus \(0\in W\). Voor \(x,y\in W\) geldt \(x_1-2x_2=0\) en \(y_1-2y_2=0\), dus [bord, gereconstrueerd] (44:21)

\[(x_1+y_1)-2(x_2+y_2)=(x_1-2x_2)+(y_1-2y_2)=0+0=0\]

Schaling: zelf doen.
Niet-voorbeeld: \(W=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid x_1=0\text{ of }x_2=0\}\), de twee assen. \(0\in W\) en schalen gaat goed (een coördinaat \(0\) blijft \(0\)), maar \((1,0),(0,1)\in W\) terwijl \((1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W\). (46:26)
Om te laten zien dat een "voor alle"-eis niet geldt, volstaat één concreet tegenvoorbeeld. (48:29)

Kolomruimte en beeld (49:08)

Met kolommen \(w_1,\dots,w_n\) van \(A\) is \(Ax=x_1w_1+\dots+x_nw_n\); omgekeerd is elke lineaire combinatie van de kolommen zo'n product (zet de coëfficiënten in \(x\)). Dus [bord, gereconstrueerd] (49:24)

\[\{Ax\mid x\in\mathbb{R}^n\}=\operatorname{span}(w_1,\dots,w_n)\]
Dit heet de kolomruimte van \(A\), en ook het beeld van \(A\). (52:08)
"Beeld" is algemener: alles wat uit een functie ("machientje") kan komen; hier de functie \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), \(x\mapsto Ax\). (52:40)

Rijruimte en meer deelruimten (65:13)

Rijruimte van \(A\): de span van de rijen van \(A\); komt minder aan bod. (65:24)
\(\mathbb{R}^n\) zelf en \(\{0\}\) zijn lineaire deelruimten van \(\mathbb{R}^n\). (65:56)
De deelruimten van \(\mathbb{R}^2\): \(\{0\}\), lijnen door \(0\), en \(\mathbb{R}^2\). Een lijn door \(0\) is \(\operatorname{span}(v)\) met \(v\neq0\): alle positieve en negatieve veelvouden van \(v\). Een lijn plus een punt erbuiten spant heel \(\mathbb{R}^2\) op (komt later terug). Figuur: assenstelsel met een lijn door \(0\) en een vector \(v\) erop. [bord, gereconstrueerd] (66:34)
Een lijn die niet door \(0\) gaat, is geen lineaire deelruimte. (85:02)

Loodrecht op een vector of verzameling (68:31)

Voor \(a\in\mathbb{R}^n\) [bord, gereconstrueerd] (68:38)

\[a^\perp=\{x\in\mathbb{R}^n\mid a\cdot x=0\}\]

Dit is de kern van de \(1\times n\)-matrix met rij \(a\), maar het volgt ook direct uit het inproduct: als \(a\cdot x=0\) en \(a\cdot y=0\), dan \(a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y=0\). (69:15)
Algemeen, voor een deelverzameling \(S\subseteq\mathbb{R}^n\) [bord, gereconstrueerd] (74:14)

\[S^\perp=\{x\in\mathbb{R}^n\mid x\cdot z=0\text{ voor alle }z\in S\}\]

Kern en rijruimte (71:09)

Naar aanleiding van een opmerking van een student. Met rijen \(a_1,\dots,a_m\) is \(Ax=(a_1\cdot x,\dots,a_m\cdot x)\), dus [bord, gereconstrueerd] (71:19)

\[x\in\ker A\iff a_1\cdot x=\dots=a_m\cdot x=0\]

oftewel: \(x\) staat loodrecht op elke rij.
Staat \(x\) loodrecht op \(a_1\) en \(a_2\), dan ook op \(a_1+a_2\) en op veelvouden, dus op elke lineaire combinatie van de rijen. Met \(R_A\) de rijruimte [bord, gereconstrueerd] (73:14)

\[\ker A=R_A^{\perp}\]

Doorsnede en vereniging (76:54)

Voor \(a,b\in\mathbb{R}^n\) is \(\{a,b\}^\perp=a^\perp\cap b^\perp\): \(x\) moet aan beide eisen voldoen. [bord, gereconstrueerd] (78:38)
Doorsnede van twee verzamelingen: \(A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ en }x\in B\}\). (80:29)
Stelling: als \(V\) en \(W\) lineaire deelruimten van \(\mathbb{R}^n\) zijn, dan is \(V\cap W\) dat ook. (81:20)
Bewijsschets: \(0\in V\) en \(0\in W\), dus \(0\in V\cap W\). Voor \(x,y\in V\cap W\) zit \(x+y\) in \(V\) (deelruimte) en in \(W\) (deelruimte), dus in \(V\cap W\). Schaling en uitschrijven: zelf. (82:07)
Pas op: de vereniging \(V\cup W=\{x\mid x\in V\text{ of }x\in W\}\) is niet per se een lineaire deelruimte. Voorbeeld: de twee assen hierboven zijn elk een lijn door \(0\) en dus een deelruimte, hun vereniging niet. (83:01)

Kolomruimte en oplosbaarheid (85:28)

De kolomruimte van \(A\) heet vaak \(C(A)\) (Engels: column space). Bij een \(m\times n\)-matrix hebben de kolommen \(m\) coördinaten, dus \(C(A)\subseteq\mathbb{R}^m\). (85:43)
Voor \(b\in\mathbb{R}^m\) zijn equivalent [bord, gereconstrueerd] (86:40)

\[Ax=b\text{ is oplosbaar}\iff b\text{ is een lineaire combinatie van de kolommen van }A\iff b\in C(A)\]

Zuinig opspannen (88:23)

Omgekeerde vraag: vind bij een lineaire deelruimte \(W\) vectoren in \(W\) waarvan de span \(W\) is. Flauw antwoord: \(\operatorname{span}(W)=W\), want uit de drie eisen volgt dat elke lineaire combinatie van elementen van \(W\) weer in \(W\) zit. We willen er zo weinig mogelijk. (88:41)
Een lijn door \(0\) in \(\mathbb{R}^2\): één vector \(\neq0\). Een vlak door \(0\) in \(\mathbb{R}^3\): twee vectoren \(v,w\) in dat vlak. Figuur: vlak door de oorsprong met twee pijlen \(v\) en \(w\). [bord, gereconstrueerd] (90:43)
\(v+w\) erbij nemen is overbodig, want het is zelf een lineaire combinatie van \(v\) en \(w\) [bord, gereconstrueerd] (92:17)

\[av+bw+c(v+w)=(a+c)v+(b+c)w\]
Anders gezegd: er is een relatie \((v+w)-v-w=0\) waarin niet alle coëfficiënten \(0\) zijn. (93:25)

Lineaire (on)afhankelijkheid (94:21)

Definitie: een lineaire relatie (afhankelijkheidsrelatie) tussen \(v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R}^n\) is een rijtje scalairen \(c_1,\dots,c_k\), niet allemaal \(0\), met [bord, gereconstrueerd] (94:29)

\[c_1v_1+\dots+c_kv_k=0\]

Alle \(c_i=0\) geeft altijd \(0\); die flauwe keuze telt niet.
Bestaat zo'n relatie, dan zijn \(v_1,\dots,v_k\) lineair afhankelijk; anders lineair onafhankelijk. Voorbeeld: \(v+w\), \(v\), \(w\) met coëfficiënten \(1,-1,-1\). (96:22)
Lineair afhankelijk is equivalent met: minstens één van de \(v_i\) is een lineaire combinatie van de andere. Kies een \(c_i\neq0\), breng de rest naar de andere kant en deel door \(c_i\). (97:03)

Afhankelijkheid toetsen met de kern (98:45)

Zet \(v_1,\dots,v_k\) als kolommen in een matrix \(A\); die is nu \(n\times k\) (niet \(m\times n\)). Voor \(x=(c_1,\dots,c_k)\) is \(Ax=c_1v_1+\dots+c_kv_k\). (99:27)
Stelling [bord, gereconstrueerd] (101:30)

\[v_1,\dots,v_k\text{ lineair afhankelijk}\iff\text{er is een }x\neq0\text{ met }Ax=0\iff\ker A\neq\{0\}\]

Dus lineair onafhankelijk precies als \(\ker A=\{0\}\).
De kern bestaat dus uit de lineaire relaties tussen de kolommen (plus \(0\)), en is tegelijk alles wat loodrecht op de rijruimte staat. (103:01)

Basis (104:03)

Uitdunnen: gooi uit een eindig opspannend stel steeds één vector weg die een lineaire combinatie van de andere is. Nooit twee tegelijk: ze hebben elkaar misschien nodig. Begin niet met heel \(W\) (oneindig veel elementen). Je eindigt met een lineair onafhankelijk stel dat \(W\) nog steeds opspant. (104:13)
Definitie: een basis van een lineaire deelruimte \(W\) is een rijtje \(v_1,\dots,v_k\) zodanig dat (1) \(W=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\) en (2) \(v_1,\dots,v_k\) lineair onafhankelijk zijn. [bord, gereconstrueerd] (105:20)
Equivalent: elke \(x\in W\) is op een unieke manier te schrijven als \(c_1v_1+\dots+c_kv_k\). (106:28)
Bewijs (1) en (2) ⇒ uniek: bestaan volgt uit (1). Als \(x=c_1v_1+\dots+c_kv_k=d_1v_1+\dots+d_kv_k\), dan geeft aftrekken [bord, gereconstrueerd] (107:44)

\[(c_1-d_1)v_1+\dots+(c_k-d_k)v_k=x-x=0\]

Lineair onafhankelijk, dus alle \(c_i-d_i=0\), dus \(c_i=d_i\).
Uniek ⇒ (1) en (2): bestaan geeft (1); en \(0=0v_1+\dots+0v_k\) is de enige schrijfwijze van \(0\), dus er is geen lineaire relatie. (110:17)
Voorbeeld: de standaardbasis \(e_1,\dots,e_n\) van \(\mathbb{R}^n\): \((c_1,\dots,c_n)=c_1e_1+\dots+c_ne_n\), uniek omdat op plek \(i\) precies \(c_i\) moet staan. (110:41)

4. Begrippen & definities

Lineaire deelruimte: \(W\subseteq\mathbb{R}^n\) met \(0\in W\), gesloten onder optellen en schalen.
Homogeen / inhomogeen: \(Ax=b\) met \(b=0\) / met \(b\neq0\).
Particuliere oplossing: één vaste oplossing \(y\) van \(Ax=b\); alle oplossingen zijn \(y+z\) met \(Az=0\).
Kern: \(\ker A=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}\).
Span: \(\{c_1v_1+\dots+c_kv_k\mid c_i\in\mathbb{R}\}\); altijd een lineaire deelruimte.
Kolomruimte / beeld \(C(A)\): span van de kolommen, gelijk aan \(\{Ax\mid x\in\mathbb{R}^n\}\subseteq\mathbb{R}^m\).
Rijruimte \(R_A\): span van de rijen; \(\ker A=R_A^\perp\).
\(S^\perp\): \(\{x\in\mathbb{R}^n\mid x\cdot z=0\text{ voor alle }z\in S\}\); voor één vector \(a\) geschreven als \(a^\perp\).
Doorsnede \(A\cap B\): elementen in \(A\) én in \(B\); van twee deelruimten weer een deelruimte.
Vereniging \(A\cup B\): elementen in \(A\) of in \(B\); niet per se een deelruimte.
Lineaire relatie: \(c_1,\dots,c_k\), niet allemaal \(0\), met \(c_1v_1+\dots+c_kv_k=0\).
Lineair afhankelijk / onafhankelijk: er bestaat wel / geen lineaire relatie; met de vectoren als kolommen van \(A\): \(\ker A\neq\{0\}\) / \(\ker A=\{0\}\).
Basis van \(W\): lineair onafhankelijk rijtje dat \(W\) opspant; equivalent: elke \(x\in W\) is op unieke wijze een lineaire combinatie ervan.
Standaardbasis: \(e_1,\dots,e_n\) van \(\mathbb{R}^n\).

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Vraag je bij elke \(0\) af welke nul bedoeld is: getal, nulvector van \(\mathbb{R}^n\) of van \(\mathbb{R}^m\), nulmatrix. (11:57)
Aantonen dat iets een lineaire deelruimte is: controleer alle drie de eisen. (35:18)
Schrijf in een bewijs eerst op wat je weet (bijv. \(x_1-2x_2=0\) en \(y_1-2y_2=0\) omdat \(x,y\in W\)) voordat je het gebruikt; zo wil de docent het op een tentamen of toets zien. (45:50)
Aantonen dat iets geen lineaire deelruimte is: geef één concreet tegenvoorbeeld. (48:29)
Zelf afmaken: de schalingseis voor de span en voor \(\{x_1-2x_2=0\}\), en het bewijs dat een doorsnede van deelruimten een deelruimte is. (82:02)
Pas op: een vereniging van deelruimten is niet per se een deelruimte, een doorsnede wel. (83:01)
Bij uitdunnen tot een basis steeds één vector tegelijk weggooien. (104:20)

6. Oefenvragen

Toon met de drie eisen aan dat \(W_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\mid x_1+x_2-x_3=0\}\) een lineaire deelruimte is; schrijf eerst op wat je weet. Is \(W_2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\mid x_1+x_2-x_3=1\}\) ook een lineaire deelruimte?
Los \(Ax=b\) op met \((A\mid b)=\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&0&1&4\\0&0&1&-1&2\end{array}\right)\). Schrijf de oplossing als particuliere oplossing plus een lineaire combinatie van vectoren die \(\ker A\) opspannen.
Zij \(V\) en \(W\) lineaire deelruimten van \(\mathbb{R}^n\). (a) Bewijs dat \(V\cap W\) een lineaire deelruimte is. (b) Neem in \(\mathbb{R}^2\) de deelruimte \(V=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid x_1-2x_2=0\}\) uit het college en \(W=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid 2x_1-x_2=0\}\). Laat met één concreet tegenvoorbeeld zien dat \(V\cup W\) geen lineaire deelruimte is.
Is \(Ax=(1,1)\) oplosbaar voor \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)? Redeneer met de kolomruimte.
Neem de coëfficiëntenmatrix \(A\) uit het voorbeeld van het college (de aangevulde matrix zonder de laatste kolom), met kolommen \(w_1,\dots,w_4\). (a) Laat met \(\ker A\) zien dat \(w_1,\dots,w_4\) lineair afhankelijk zijn, en geef twee lineaire relaties. (b) Dun \(w_1,\dots,w_4\) uit tot een basis van \(C(A)\). Waarom mag je niet in één keer alle \(w_i\) weggooien die een lineaire combinatie van de andere zijn?

Antwoorden

\(0+0-0=0\), dus \(0\in W_1\). Neem \(x,y\in W_1\) en \(c\in\mathbb{R}\); je weet dan \(x_1+x_2-x_3=0\) en \(y_1+y_2-y_3=0\). Dus

\[(x_1+y_1)+(x_2+y_2)-(x_3+y_3)=(x_1+x_2-x_3)+(y_1+y_2-y_3)=0+0=0,\]

dus \(x+y\in W_1\), en \(cx_1+cx_2-cx_3=c(x_1+x_2-x_3)=c\cdot0=0\), dus \(cx\in W_1\). (Sneller: \(W_1=\ker\begin{pmatrix}1&1&-1\end{pmatrix}\).) \(W_2\) is geen lineaire deelruimte: \(0\notin W_2\), want \(0+0-0=0\neq1\) (inhomogeen stelsel).
Spillen in kolom 1 en 3; vrij: \(x_2=s\), \(x_4=t\). Rij 2 geeft \(x_3=2+t\), rij 1 geeft \(x_1=4-2s-t\):

\[x=(4,0,2,0)+s(-2,1,0,0)+t(-1,0,1,1)\]

\((4,0,2,0)\) is een particuliere oplossing; \((-2,1,0,0)\) en \((-1,0,1,1)\) spannen \(\ker A\) op.
(a) \(0\in V\) en \(0\in W\), want beide zijn deelruimten; dus \(0\in V\cap W\). Neem \(x,y\in V\cap W\) en \(c\in\mathbb{R}\). Dan \(x,y\in V\), dus \(x+y\in V\) en \(cx\in V\); evenzo \(x+y\in W\) en \(cx\in W\). Dus \(x+y\in V\cap W\) en \(cx\in V\cap W\). (b) \((2,1)\in V\) en \((1,2)\in W\), dus beide liggen in \(V\cup W\). Maar \((2,1)+(1,2)=(3,3)\) ligt in geen van beide: \(3-2\cdot3=-3\neq0\) en \(2\cdot3-3=3\neq0\). Dus \(V\cup W\) is niet gesloten onder optellen.
Nee. \(C(A)=\operatorname{span}((1,2),(2,4))\) en \((2,4)=2(1,2)\), dus \(C(A)\) is de lijn van veelvouden van \((1,2)\). \((1,1)\) is daar geen veelvoud van, dus \((1,1)\notin C(A)\).
(a) Uit het voorbeeld: \(\ker A=\operatorname{span}((-3,3,1,0),(1,-2,0,1))\neq\{0\}\), dus de kolommen zijn lineair afhankelijk. De twee kernvectoren geven de relaties \(-3w_1+3w_2+w_3=0\) en \(w_1-2w_2+w_4=0\). (b) \(w_3=3w_1-3w_2\): gooi \(w_3\) weg. Daarna geldt nog steeds \(w_4=-w_1+2w_2\): gooi \(w_4\) weg. Over blijven \(w_1=e_1\) en \(w_2=e_2\); die zijn onafhankelijk (\(c_1e_1+c_2e_2=(c_1,c_2,0,0)=0\) geeft \(c_1=c_2=0\)) en spannen nog steeds \(C(A)\) op, dus \((w_1,w_2)\) is een basis van \(C(A)\). Hier is elke \(w_i\) een combinatie van de andere, bijv. \(w_1=w_2+\tfrac13w_3\); alles tegelijk weggooien laat niets over, terwijl \(C(A)\neq\{0\}\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~01:51–04:58: wat de docent in de ruim drie minuten na de opmerking over het huiswerk zei, ontbreekt in deze notities; kijk dit stuk zelf terug.
~11:08–11:57: studentvraag over welke nul in \(A0\) bedoeld is slechts deels te horen.
~21:54–22:17: matrix van het voorbeeld deels onverstaanbaar; de \(-1\) in rij 1 en het aantal nulrijen zijn afgeleid uit de uitwerking (~24:50, ~28:27) en uit \(b=(1,1,0,0)\).
~48:02: docent zegt eerst "vectorruimte" en verbetert zich tot "lineaire deelruimte".
~49:24: de namen \(w_1,\dots,w_n\) voor de kolommen zijn niet uitgesproken (overgenomen uit college 3).
~71:07: de studentopmerking die tot het verband tussen kern en rijruimte leidde, is niet te horen.
~75:56: notatie voor de rijruimte onduidelijk (klinkt als "Ra"); hier \(R_A\).
~96:48: volgorde van de coëfficiënten \(1,-1,-1\) gereconstrueerd als horend bij \(v+w\), \(v\), \(w\).
~106:28: de docent lijkt "elke \(x\) in \(\mathbb{R}^n\)" te zeggen; bedoeld is "elke \(x\in W\)".