Ga naar inhoud

College 7: Basisuitbreiding, dimensie, rang en lineaire afbeeldingen

Dinsdag 6 oktober 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

  • Het bord met de equivalente uitspraken bij rang \(m\) is niet in beeld van de camera geweest; de docent liet het daarom even staan. (90:29)
  • Na het college is er werkcollege. (112:14)

2. Samenvatting

Na een herhaling van bases voor rijruimte, kern en kolomruimte laat de docent zien dat je uit een opspannend stel een basis krijgt door elke vector weg te laten die een combinatie van de vorige is. Daarmee volgen de basisuitbreidingsstelling en het feit dat alle bases van een deelruimte even groot zijn; dat aantal is de dimensie. Gevolgen: een deelruimte binnen een andere met dezelfde dimensie is daaraan gelijk, en bij precies \(\dim W\) vectoren volstaat één van de twee basisvoorwaarden. Na de pauze volgen de dimensies van rijruimte, kern en kolomruimte (uitgedrukt in het aantal spillen), de rang met \(\dim\ker A+\operatorname{rang}(A)=n\), en equivalente uitspraken voor rang \(m\) en rang \(n\). Tot slot definieert hij lineaire afbeeldingen en bewijst hij dat elke lineaire afbeelding \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) vermenigvuldiging met een matrix is.

3. Aantekeningen per onderwerp

Herhaling: rijruimte, kern en kolomruimte (04:42)

  • \(A\) is een \(m\times n\)-matrix met kolommen \(v_1,\dots,v_n\in\mathbb{R}^m\). Kolomruimte \(C(A)=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)\subseteq\mathbb{R}^m\) (C van column), rijruimte \(R_A\subseteq\mathbb{R}^n\), kern \(\ker A=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}\subseteq\mathbb{R}^n\). [bord, gereconstrueerd] (05:59)
  • Veeg \(A\) tot een rijtrapvorm \(H\) (spillen hoeven geen \(1\) te zijn). Welke kolommen een spil hebben, ligt dan al vast. (07:23)
  • Rijoperaties veranderen de kern niet; de kern bestaat uit de relaties tussen de kolommen, dus die zijn voor \(A\) en \(H\) hetzelfde. (09:01)
  • Met \(r\) het aantal spilkolommen: (12:44)
    • basis van \(\ker A\): per kolom zonder spil één vector (die vrije variabele \(1\), de andere \(0\), spilvariabelen uitrekenen); samen \(n-r\) vectoren. (10:26)
    • basis van \(R_A\): de niet-nulrijen van \(H\). (14:00)
    • basis van \(C(A)\): de kolommen van \(A\), niet van \(H\), op de plekken van de spilkolommen van \(H\). (14:20)

Waarom de spilkolommen een basis geven (15:18)

  • Feit (college 6): \(x_1,\dots,x_k\) zijn lineair afhankelijk precies als er een \(j\) is met \(x_j\in\operatorname{span}(x_1,\dots,x_{j-1})\). [bord, gereconstrueerd] (16:17)

  • Voorbeeld in gereduceerde rijtrapvorm met kolommen \(v_1,\dots,v_6\) en vijf rijen; de eerste vijf kolommen [bord, gereconstrueerd] (17:36)

    \[\begin{pmatrix}1&0&3&0&4\\0&1&2&0&2\\0&0&0&1&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]

    Kolom 6 bevat een spil; de getallen erin zijn niet te reconstrueren [bordinhoud onduidelijk ~18:08]

  • De spilkolommen \(v_1,v_2,v_4\) zijn \(e_1,e_2,e_3\), dus de coëfficiënten lees je direct af: \(v_3=3v_1+2v_2\) en \(v_5=4v_1+2v_2-v_4\). (19:02)

  • Zonder gereduceerde vorm weet je eerst alleen \(v_5\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_4)\); vul daarna de uitdrukking voor \(v_3\) in. Zo schrijf je elke combinatie van alle kolommen met alleen de spilkolommen. (20:30)

Uitdunnen tot een basis (24:41)

  • Feit: voor \(x_1,\dots,x_k\in\mathbb{R}^m\) krijg je een basis van \(\operatorname{span}(x_1,\dots,x_k)\) door alle \(x_j\) met \(x_j\in\operatorname{span}(x_1,\dots,x_{j-1})\) weg te laten. [bord, gereconstrueerd] (26:17)
  • Daar is geen matrix voor nodig. Bij de kolommen van een matrix laat je precies de kolommen zonder spil weg; de rijtrapvorm hoeft niet gereduceerd te zijn. (27:29)

Onafhankelijk versus opspannend (29:42)

  • Stelling (college 6): als \(W=\operatorname{span}(w_1,\dots,w_l)\) en \(v_1,\dots,v_k\in W\) lineair onafhankelijk zijn, dan \(k\le l\). Dus hooguit \(n\) onafhankelijke vectoren in \(\mathbb{R}^n\). (30:20)

Basisuitbreidingsstelling (31:55)

  • Stelling: zij \(W\) een lineaire deelruimte, \(v_1,\dots,v_k\in W\) lineair onafhankelijk (ook \(k=0\) mag) en \(w_1,\dots,w_l\in W\) met [bord, gereconstrueerd] (32:17)

    \[W=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_l).\]

    Dan zijn er indices \(i_1,\dots,i_t\in\{1,\dots,l\}\) zodat \(v_1,\dots,v_k,w_{i_1},\dots,w_{i_t}\) een basis van \(W\) is.

  • Mildere aanname dan bij \(k\le l\): de \(w\)'s hoeven alleen samen met de \(v\)'s \(W\) op te spannen. In de praktijk neem je \(w\)'s die \(W\) zelf al opspannen. (34:06)

  • Bewijs: dun \(v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_l\) uit. Geen \(v_i\) is een combinatie van de vorige, dus er vallen alleen \(w\)'s weg. (36:52)

Voorbeeld: uitbreiden tot een basis van \(\mathbb{R}^4\) (37:42)

  • Lijkt op opgave 27: \(v_1=(1,3,2,-1)\), \(v_2=(-1,0,2,1)\). Onafhankelijk: \(v_1\neq0\) en \(v_2\) is geen veelvoud van \(v_1\) (\(v_2\neq0\) heeft een \(0\) op plek 2, \(v_1\) niet). (38:17)

  • Zet \(e_1,\dots,e_4\) erachter (die spannen \(\mathbb{R}^4\) al op) en veeg [bord, gereconstrueerd] (40:07)

    \[\begin{pmatrix}1&-1&1&0&0&0\\3&0&0&1&0&0\\2&2&0&0&1&0\\-1&1&0&0&0&1\end{pmatrix}\]

  • Niet uitgerekend in het college; bij willekeurige vectoren verwacht je geen toevallige relatie (in opgaven vaak wel, expres), dus spillen in kolom 1 t/m 4 en basis \(v_1,v_2,e_1,e_2\). (41:27)

  • (Controle: op plek 3 en 4 hebben \(e_1,e_2\) nullen en \(v_1,v_2\) de onafhankelijke paren \((2,-1)\) en \((2,1)\), dus \(e_1\notin\operatorname{span}(v_1,v_2)\) en \(e_2\notin\operatorname{span}(v_1,v_2,e_1)\).)

Alle bases even groot: dimensie (42:51)

  • Stelling: zijn \(v_1,\dots,v_k\) en \(w_1,\dots,w_l\) bases van dezelfde deelruimte \(W\subseteq\mathbb{R}^n\), dan \(k=l\). Bewijs: \(k\le l\) en, met de rollen omgedraaid, \(l\le k\). (43:11)
  • Definitie: heeft \(W\) een basis \(v_1,\dots,v_k\), dan is de dimensie \(\dim W=k\). Er zijn veel bases, maar het aantal ligt vast. (44:40)
  • Elke deelruimte van \(\mathbb{R}^n\) heeft een basis, en \(\dim W\le n\). (boek, §2.1)

Gevolgen: deelruimten vergelijken (45:47)

  • Als \(U\subseteq W\) deelruimten zijn, dan \(\dim U\le\dim W\): breid een basis van \(U\) met voortbrengers van \(W\) uit tot een basis van \(W\). (46:54)
  • Als bovendien \(\dim U=\dim W\), dan voegt het uitbreiden niets toe; de basis van \(U\) is al een basis van \(W\), dus \(U=W\). (48:08)
  • Twee deelruimten gelijk bewijzen: laat zien dat de ene in de andere zit en dat ze dezelfde dimensie hebben. (49:16)

Het juiste aantal vectoren (49:51)

  • Zij \(\dim W=k\) en \(w_1,\dots,w_l\in W\). Lineair onafhankelijk ⇒ \(l\le k\); opspannend ⇒ \(l\ge k\). (50:15)

  • Bij precies \(k\) vectoren \(w_1,\dots,w_k\in W\) geldt [bord, gereconstrueerd] (52:16)

    \[w_1,\dots,w_k\text{ lineair onafhankelijk}\iff\operatorname{span}(w_1,\dots,w_k)=W\]

  • Bewijs: onafhankelijk ⇒ uitbreiden tot een basis van \(k\) elementen voegt niets toe; opspannend ⇒ uitdunnen tot een basis van \(k\) elementen laat niets weg. (53:02)

  • Dus bij het juiste aantal hoef je maar één van de twee basisvoorwaarden te controleren. (53:55)

Na de pauze: wat is een basis? (66:08)

  • Equivalent: elke vector in \(W\) is op unieke wijze een lineaire combinatie van de basis (college 5), zoals bij een assenstelsel in \(\mathbb{R}^3\); loodrecht op elkaar hoeft niet. (66:23)

Dimensies van rijruimte, kern en kolomruimte (69:02)

  • Zij \(A\) een \(m\times n\)-matrix en \(H\) een matrix in rijtrapvorm die uit \(A\) ontstaat door rijoperaties, met \(r\) spillen. Dan (\(r\) niet-nulrijen, \(n-r\) kolommen zonder spil, \(r\) spilkolommen) [bord, gereconstrueerd] (70:03)

    \[\dim R_A=r,\qquad\dim\ker A=n-r,\qquad\dim C(A)=r\]

  • Beeld: \(\operatorname{Im}(A)=\{Ax\mid x\in\mathbb{R}^n\}\) (image). Dat zijn precies de lineaire combinaties van de kolommen, dus \(\operatorname{Im}(A)=C(A)\). (72:22)

  • Definitie: \(\operatorname{rang}(A)=\dim\operatorname{Im}(A)\), zo gekozen omdat lineaire afbeeldingen straks geen kolommen hebben. Dus \(\operatorname{rang}(A)=\dim C(A)=r\). (73:20)

  • Daaruit volgt, ook als je \(r\) niet kent [bord, gereconstrueerd] (74:08)

    \[\dim\ker A+\operatorname{rang}(A)=n\]

  • Het boek definieert de rang als de dimensie van de rij- of kolomruimte (die gelijk zijn), noemt \(\dim\ker A\) de nulliteit (nullity) en deze formule de rank equation. (boek, §2.2)

  • Vierkant (\(m=n\)): \(A\) inverteerbaar ⇔ \(\ker A=\{0\}\) ⇔ \(\operatorname{rang}(A)=n\) ⇔ \(\operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n\) (deelruimte van \(\mathbb{R}^n\) met dimensie \(n\)), oftewel: voor elke \(b\) is \(Ax=b\) oplosbaar. Niets nieuws, wel hoe het samenpast. (74:33)
  • \(\operatorname{rang}(A)\le m\) en \(\operatorname{rang}(A)\le n\): hooguit één spil per rij en per kolom. (77:39)

Voorbeeld: rang zonder vegen (78:12)

  • \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\): de kolommen liggen in \(\mathbb{R}^2\), dus de rang is \(0\), \(1\) of \(2\). [bord, gereconstrueerd] (78:41)
  • Rang \(0\) zou betekenen dat alles nul is. De rijen zijn geen veelvoud van elkaar, dus onafhankelijk, dus \(\dim R_A\ge2\). Dus \(\operatorname{rang}(A)=2\). (79:12)
  • De rang is ook \(\dim R_A\). Rijoperaties veranderen de rijruimte niet, dus ook de rang niet, of je nu naar een rijtrapvorm toe werkt of niet. (80:45)

Equivalente uitspraken: rang \(m\) en rang \(n\) (82:40)

  • Voor een \(m\times n\)-matrix \(A\) zijn equivalent: (a) \(\operatorname{rang}(A)=m\), elke rij een spil (kan alleen als \(n\ge m\)); (b) \(\operatorname{Im}(A)=C(A)=\mathbb{R}^m\), de kolommen spannen \(\mathbb{R}^m\) op; (c) voor elke \(b\in\mathbb{R}^m\) is er minstens één \(x\in\mathbb{R}^n\) met \(Ax=b\); (d) er is een matrix \(C\) met \(AC=I_m\). [bord, gereconstrueerd] (82:56)
  • (c) ⇒ (d): los \(Ax=e_i\) op voor \(i=1,\dots,m\) en zet de oplossingen als kolommen in \(C\). \(C\) is niet per se een inverse: \(CA=I_n\) hoeft niet te gelden. (85:41)
  • Ook equivalent: (a) \(\operatorname{rang}(A)=n\), elke kolom een spil (kan alleen als \(n\le m\)); (b) \(\ker A=\{0\}\), geen vrije variabelen; (c) voor elke \(b\in\mathbb{R}^m\) is er hooguit één \(x\) met \(Ax=b\) (alle oplossingen zijn één oplossing plus de kern); (d) de kolommen van \(A\) zijn lineair onafhankelijk; (e) er is een matrix \(D\) met \(DA=I_n\) (via de getransponeerde; niet uitgewerkt). [bord, gereconstrueerd] (86:50)
  • Als \(m=n\) en de rang \(n\) is, geldt alles: de kolommen vormen een basis van \(\mathbb{R}^n\). (89:10)

Lineaire afbeeldingen (90:42)

  • Veel boeken gooien lineaire afbeeldingen en matrices op één hoop; houd ze in je hoofd apart. (90:56)
  • Zij \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) en \(W\subseteq\mathbb{R}^m\) deelruimten. Een functie (afbeelding, transformatie, map) \(f:U\to W\) heeft domein \(U\) (de toegestane invoer) en codomein \(W\) (bevat alle uitvoer; niet alles hoeft bereikt te worden). (92:33)

  • Definitie: \(f\) is lineair als voor alle \(x,y\in U\) en \(c\in\mathbb{R}\) geldt [bord, gereconstrueerd] (93:40)

    \[f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(cx)=cf(x)\]

  • Pas op: links is \(+\) de optelling in \(\mathbb{R}^n\), rechts die in \(\mathbb{R}^m\). (94:31)

  • Het boek schrijft \(T\) voor een lineaire afbeelding (linear transformation) en neemt domein en codomein meteen \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\). (boek, §2.3)

Voorbeeld: \(f_A\) bij een \(3\times2\)-matrix (95:36)

  • \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\) geeft \(f_A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\), \(f_A(x)=Ax\); het domein is \(\mathbb{R}^2\) omdat \(A\) twee kolommen heeft. [bord, gereconstrueerd] (96:51)

    \[f_A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}\]

  • Bereik (= beeld): alles wat er echt uitkomt, hier \(\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}(e_1,e_2)\), het vlak door \(e_1\) en \(e_2\). Het codomein is heel \(\mathbb{R}^3\). (98:06)

  • Surjectief: het bereik is het hele codomein. Deze \(f_A\) is dat niet. (99:30)
  • Algemeen: voor elke \(m\times n\)-matrix \(A\) is \(f_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), \(f_A(x)=Ax\) lineair, wegens de rekenregels voor matrixvermenigvuldiging. (101:54)

Lineaire afbeeldingen liggen vast op voortbrengers (102:26)

  • Om te laten zien dat twee functies gelijk zijn, moet je in principe in oneindig veel punten controleren; voor lineaire afbeeldingen volstaan er eindig veel. (102:44)
  • Stelling: zij \(U=\operatorname{span}(w_1,\dots,w_k)\) en \(f,g:U\to W\) lineair met \(f(w_i)=g(w_i)\) voor \(i=1,\dots,k\). Dan \(f=g\), dus \(f(x)=g(x)\) voor alle \(x\in U\). [bord, gereconstrueerd] (103:14)

  • Bewijs: schrijf \(x=c_1w_1+\dots+c_kw_k\) en pas de lineariteit herhaald toe [bord, gereconstrueerd] (105:13)

    \[f(x)=c_1f(w_1)+\dots+c_kf(w_k)=c_1g(w_1)+\dots+c_kg(w_k)=g(x)\]

Elke lineaire afbeelding \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) is een matrix (107:56)

  • Zij \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) lineair. Zet de beelden van de standaardbasis als kolommen in een \(m\times n\)-matrix [bord, gereconstrueerd] (108:47)

    \[A=\big(f(e_1)\;f(e_2)\;\cdots\;f(e_n)\big)\]

  • \(Ae_j\) is de \(j\)-de kolom, dus \(f_A(e_j)=f(e_j)\) voor alle \(j\). De \(e_j\) spannen \(\mathbb{R}^n\) op, dus volgens de stelling \(f=f_A\). (109:43)

  • Daarom identificeren veel boeken lineaire afbeeldingen met matrices. Toch apart houden: het begrip is conceptueler (geen keuze van basis) en algemener, bijv. voor ruimten van functies, waar "functie ↦ afgeleide" lineair is. (111:08)
  • In het boek heet \(A\) de standaardmatrix (standard matrix representation) van \(T\). (boek, §2.3)
  • Al gezien in college 3: de rotatie van het vlak om de oorsprong over hoek \(\alpha\) is \(f_A\) met \(A=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\) (dit keer niet op het bord). (111:40)

4. Begrippen & definities

  • Basis van \(W\): rijtje in \(W\) dat \(W\) opspant en lineair onafhankelijk is.
  • Dimensie \(\dim W\): aantal vectoren in een basis van \(W\); voor elke basis gelijk.
  • Beeld \(\operatorname{Im}(A)\): \(\{Ax\mid x\in\mathbb{R}^n\}\); gelijk aan \(C(A)\).
  • Rang \(\operatorname{rang}(A)\): \(\dim\operatorname{Im}(A)\); gelijk aan het aantal spillen in een rijtrapvorm, aan \(\dim C(A)\) en aan \(\dim R_A\).
  • Nulliteit: \(\dim\ker A\). (boek, §2.2)
  • Lineaire afbeelding: functie \(f:U\to W\) met \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) en \(f(cx)=cf(x)\) voor alle \(x,y\in U\), \(c\in\mathbb{R}\).
  • Domein / codomein: verzameling van mogelijke invoer / verzameling waarin alle uitvoer ligt.
  • Bereik (beeld) van \(f\): \(\{f(x)\mid x\in U\}\), alles wat er echt uitkomt.
  • Surjectief: bereik is gelijk aan het codomein.
  • \(f_A\): de lineaire afbeelding \(x\mapsto Ax\) van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^m\) bij een \(m\times n\)-matrix \(A\).

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

  • Basis van de kolomruimte: neem de kolommen van \(A\) zelf, niet die van \(H\). (14:44)
  • Twee vectoren zijn onafhankelijk als de eerste \(\neq0\) is en de tweede geen veelvoud ervan; dit snelle criterium werkt alleen bij twee. (38:17)
  • Twee deelruimten gelijk bewijzen: de ene zit in de andere en de dimensies zijn gelijk. Volgens de docent supersterk en in de praktijk vaak nuttig. (49:16)
  • Ken je de dimensie en heb je het juiste aantal vectoren, dan volstaat het om óf onafhankelijkheid óf opspannen te controleren. (53:55)
  • De rang vind je vaak met een argument (rang \(\le m\) en \(\le n\), rijen geen veelvoud van elkaar) in plaats van blind te vegen. (79:55)
  • \(AC=I_m\) betekent niet dat \(C\) de inverse van \(A\) is. (86:35)
  • Zelf bedenken: hoeveel rijen en kolommen heeft \(D\) met \(DA=I_n\)? (90:01)
  • Houd lineaire afbeeldingen en matrices in je hoofd apart. (91:05)
  • Pas op: in \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) staan twee verschillende optellingen. (94:31)

6. Oefenvragen

  1. In het college werden \(v_1=(1,3,2,-1)\) en \(v_2=(-1,0,2,1)\) uitgebreid tot een basis van \(\mathbb{R}^4\) door \(e_1,\dots,e_4\) erachter te zetten. Waarom zijn \(v_1,v_2\) lineair onafhankelijk? Veeg de matrix (dat gebeurde in het college niet) en geef de basis.
  2. Zij \(W=\operatorname{span}(v_1,v_2)\) met \(v_1,v_2\) uit vraag 1. Laat zonder te vegen zien dat \(\operatorname{span}(v_1+v_2,\,v_1-v_2)=W\).
  3. Bepaal voor \(A=\begin{pmatrix}1&2&1&3\\2&4&0&2\\3&6&1&5\end{pmatrix}\) de rang, \(\dim\ker A\) en een basis van \(C(A)\). Is \(f_A\) surjectief?
  4. Waar of niet waar? (a) Een \(3\times5\)-matrix kan rang \(4\) hebben. (b) Heeft een \(3\times5\)-matrix \(A\) rang \(3\), dan heeft \(Ax=b\) voor elke \(b\) precies één oplossing. (c) Drie vectoren die een deelruimte van dimensie \(3\) opspannen, zijn lineair onafhankelijk.
  5. \(A\) is een \(m\times n\)-matrix met rang \(n\). Hoeveel rijen en kolommen heeft een matrix \(D\) met \(DA=I_n\)? Geef twee verschillende \(D\) voor \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\), en laat zien dat zo'n \(D\) geen inverse van \(A\) is.
  6. Zij \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) lineair met \(f(e_1)=(1,2,0)\) en \(f(e_2)=(0,1,-1)\). Waarom ligt \(f\) hiermee helemaal vast? Geef de matrix \(A\) met \(f=f_A\) en bereken \(f(3,-2)\).
Antwoorden

  1. \(v_1\neq0\) en \(v_2\) is geen veelvoud van \(v_1\): \(v_2\neq0\) heeft een \(0\) op plek 2, \(v_1\) niet. Vegen: \(R_2-3R_1\), \(R_3-2R_1\) en \(R_4+R_1\), dan \(R_3-\tfrac43R_2\) en \(R_4-\tfrac12R_3\) geven

    \[\begin{pmatrix}1&-1&1&0&0&0\\0&3&-3&1&0&0\\0&0&2&-\frac43&1&0\\0&0&0&\frac23&-\frac12&1\end{pmatrix}\]

    Spillen in kolom 1 t/m 4, dus \((v_1,v_2,e_1,e_2)\) is een basis van \(\mathbb{R}^4\); \(e_3\) en \(e_4\) vallen weg.

  2. \(v_1+v_2=(0,3,4,0)\) en \(v_1-v_2=(2,3,0,-2)\) liggen in \(W\), dus \(U=\operatorname{span}(v_1+v_2,\,v_1-v_2)\subseteq W\). \((v_1,v_2)\) spant \(W\) op en is onafhankelijk (vraag 1), dus een basis van \(W\) en \(\dim W=2\). \(v_1+v_2\neq0\) en \(v_1-v_2\) is er geen veelvoud van (\(v_1+v_2\) heeft een \(0\) op plek 1, \(v_1-v_2\) niet), dus \(\dim U=2\). Uit \(U\subseteq W\) en \(\dim U=\dim W\) volgt \(U=W\).

  3. \(R_2-2R_1\), \(R_3-3R_1\) en dan \(R_3-R_2\) geven \(H\) met rijen \((1,2,1,3)\), \((0,0,-2,-4)\), \((0,0,0,0)\). Dus \(\operatorname{rang}(A)=2\), \(\dim\ker A=4-2=2\), en kolom 1 en 3 van \(A\), \((1,2,3)\) en \((1,0,1)\), vormen een basis van \(C(A)\). Niet surjectief: \(\operatorname{Im}(A)\) heeft dimensie \(2<3\).
  4. (a) Niet waar: \(\operatorname{rang}(A)\le\min(3,5)=3\). (b) Niet waar: rang \(3=m\) geeft minstens één oplossing, maar \(\dim\ker A=5-3=2\), dus oneindig veel. (c) Waar: het juiste aantal vectoren en opspannend, dus ook onafhankelijk.
  5. \(DA\) moet bestaan, dus \(D\) heeft \(m\) kolommen; \(DA=I_n\) is \(n\times n\), dus \(D\) heeft \(n\) rijen: \(D\) is \(n\times m\). Bijvoorbeeld \(D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&7\end{pmatrix}\); de derde kolom van \(D\) wordt vermenigvuldigd met de nulrij van \(A\) en doet er dus niet toe. \(D\) is niet uniek. Geen inverse: voor de eerste \(D\) is \(AD=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq I_3\), en voor elke \(D\) is de derde rij van \(AD\) nul, omdat de derde rij van \(A\) nul is.
  6. \(e_1,e_2\) spannen \(\mathbb{R}^2\) op, en twee lineaire afbeeldingen die op voortbrengers gelijk zijn, zijn overal gelijk: \(f(x_1,x_2)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)\). De beelden van \(e_1,e_2\) als kolommen geven \(A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}\), en \(f(3,-2)=3(1,2,0)-2(0,1,-1)=(3,4,2)\).

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

  • ~12:02–13:06: de docent noemt \(r\) eerst het aantal kolommen zonder spil en verbetert dat tot het aantal spilkolommen.
  • ~17:36–18:15: de voorbeeldmatrix is maar deels uitgesproken; kolom 6 en de exacte plaats van de getallen zijn onzeker.
  • ~22:17–23:27: een student merkte op dat \(v_5\in\operatorname{span}(v_3,v_4)\); dat gold toevallig omdat kolom 5 eerst \((3,2,-1,0,0)\) was. De docent veranderde die in \((4,2,-1,0,0)\).
  • ~43:11: "\(v_1\) tot en met \(v_r\)" moet \(v_1,\dots,v_k\) zijn.
  • ~46:05–46:54: de docent verwisselt eerst \(U\) en \(W\); uit het bewijs volgt \(U\subseteq W\Rightarrow\dim U\le\dim W\).
  • ~71:57, ~80:06 en ~81:54: vragen en opmerkingen van studenten niet te horen; uit de antwoorden gaan ze over \(\dim\ker A=n-r\), of de rang verandert onder rijoperaties, en waarom \(\dim\ker A+\operatorname{rang}(A)=n\).
  • ~72:27–73:36: notatie op het bord voor beeld en rang onbekend ("M staat voor image"); hier \(\operatorname{Im}(A)\) en \(\operatorname{rang}(A)\).
  • ~82:56–90:29: deze equivalente uitspraken waren deels niet in beeld; nummering en volgorde zijn gereconstrueerd.
  • ~89:36–90:20: de uitspraak over \(D\) (via de getransponeerde) is niet uitgewerkt.
  • ~91:26–94:53: de docent zegt eerst \(U\subseteq\mathbb{R}^m\), \(W\subseteq\mathbb{R}^n\) en verbetert dat ("pardon, \(W\) zit in de \(\mathbb{R}^m\)").
  • ~95:58–96:51: studentvraag niet te horen; de docent twijfelt over zijn voorbeeldmatrix. De matrix is gereconstrueerd uit "1, 0, 0, 1, 0, 0" (rijsgewijs gelezen) en de uitkomst \((x,y,0)\).
  • ~101:11–101:28: een student wijst op iets op het bord ("hier staat is gelijk aan"); niet duidelijk wat er verbeterd werd.
  • ~103:14–105:13: de docent noemt het domein eerst \(W\) en daarna \(U\); hier overal \(U\).