College 1: Introductie, vectoren in Rⁿ, lineaire combinaties en span

Dinsdag 1 september 2026

Door AI gegenereerd op basis van de collegeopname. Kan fouten bevatten; controleer twijfelgevallen met de tijdstempels. [bord, gereconstrueerd] = afgeleid uit de audio, niet letterlijk van het bord.

1. Mededelingen & praktische zaken

Mededelingen

Docent: Ronald van Luijk (wiskundige); e-mailadres: zie Brightspace. (06:17)
Dit is Lineaire Algebra 1 voor natuur- en sterrenkunde. Er is een aparte versie voor wiskunde (meer bewijzen en stellingen); dubbele studenten wis- en natuurkunde volgen die versie. (06:37)
Brightspace: praktische informatie, literatuur (boek van Fraleigh & Beauregard, een samenvatting en een woordenlijst) en contactgegevens van de assistenten. (08:00)
De docent volgt vooral de collegeaantekeningen van Peter Bruin (van twee jaar geleden), met eigen aanvullingen die wekelijks veranderen: niet printen, online gebruiken. (08:52)
Forum op Brightspace: vragen stellen en elkaar antwoorden mag, ook anoniem, maar niet over het huiswerk. (09:34)
Vijf huiswerkopdrachten; ze verschijnen met deadlines op Brightspace. (10:08)
Toets halverwege het semester; informatie over toets en tentamen volgt later. (10:27)
Hoorcollege elke week in dezelfde zaal. Werkcolleges sterk aanbevolen; zalen wisselen (o.a. B1017, BM126 en een zaal in het Huygens-gebouw), dus controleer het rooster. (10:33)
Je mag zelf kiezen naar welke van de drie werkcollegezalen uit het rooster je gaat. (110:55)

2. Samenvatting

Na de praktische zaken motiveert de docent het vak met demo's (gekoppelde slingers, een tol, de tennis racket theorem) die allemaal draaien om eigenwaarden en eigenvectoren, het eindpunt van het semester. Daarna volgen een overzicht van de inhoud en een eerste blik op stelsels lineaire vergelijkingen. Vectoren worden eerst intuïtief geïntroduceerd als pijlen met grootte en richting en daarna formeel gedefinieerd als rijtjes van \(n\) reële getallen in \(\mathbb{R}^n\), met coördinaatsgewijze optelling en schaling. Tot slot komen rekenregels (met bewijs), evenwijdigheid, lineaire combinaties, standaardbasisvectoren en de span aan bod.

3. Aantekeningen per onderwerp

Waarom lineaire algebra? Drie demo's (11:43)

Analyse en lineaire algebra zijn gereedschap voor de natuurkunde, net als vermenigvuldigen. (12:19)
Gekoppelde slingers: twee even lange slingers met een veer ertussen. Samen in fase of precies tegen elkaar in slingeren is stabiel. Geef je er één een zetje, dan gaat de beweging volledig over op de ander en weer terug. Bij verschillende frequenties staat geen van beide ooit helemaal stil. (13:04)
Tol: draait snel en gaat daarnaast langzaam heen en weer; met schroefjes uit balans te brengen. Ook de rotatieas van de aarde staat niet vast. Video via Brightspace (Links). (16:24)
Tennis racket theorem (intermediate axis theorem, Dzhanibekov-effect): draait een opgegooid racket om één bepaalde as, dan maakt het ook een halve slag om de as door het handvat. (19:33)
Een racket heeft drie natuurlijke assen: langs het handvat, loodrecht op het blad, en in het vlak van het blad loodrecht op het handvat. (22:16)
Elke as heeft een traagheidsmoment, groter naarmate de massa verder van de as ligt. Langs het handvat: klein. Loodrecht op het blad: grootst, want die afstand is (Pythagoras) de schuine zijde t.o.v. de afstanden tot de twee andere assen. De derde as heeft het middelste traagheidsmoment. (26:21)
Rotatie om de as met het kleinste of grootste traagheidsmoment is stabiel, om de middelste niet. In de formules zit een factor als [bord, gereconstrueerd] (28:39)

\[(I_1-I_2)(I_1-I_3)\]

positief als \(I_1\) de kleinste of grootste is, negatief als \(I_1\) de middelste is. Niet verder uitgewerkt.
Welke assen een willekeurig voorwerp heeft en of ze stabiel zijn, volgt uit eigenwaarden en eigenvectoren. Die komen aan het eind van het semester; alles daarvoor staat in het teken daarvan. (30:01)

Toepassingen en inhoud van het vak (31:07)

Toepassingen: klassieke mechanica, elektromagnetisme (vectorvelden), relativiteitstheorie (gekromde ruimtetijd), coördinatentransformaties, quantummechanica (Hilbertruimten), dynamische systemen, numerieke methoden; bij sterrenkunde ook statistiek en data-analyse. (31:21)
Wij werken over de reële getallen; bijna alles werkt ook met complexe getallen, waarin \(\sqrt{-1}=i\) bestaat. (32:21)
Inhoud: vectoren, matrices, stelsels lineaire vergelijkingen, euclidische ruimte en deelruimten, determinanten, lineaire afbeeldingen, eigenvectoren en eigenwaarden, projecties. (65:14)

Stelsels lineaire vergelijkingen (34:06)

Voorbeeld [bord, gereconstrueerd] (34:21)

\[3x+5y=7,\qquad 2x-y=8\]

Uit de tweede volgt \(y=2x-8\); invullen geeft \(13x=47\), dus \(x=\tfrac{47}{13}\), \(y=-\tfrac{10}{13}\) (in het college niet doorgerekend).
Niet elk stelsel heeft een oplossing [bord, gereconstrueerd] (34:58)

\[3x+5y=7,\qquad 6x+10y=10\]

Het linkerlid van de tweede is \(2\times\) dat van de eerste, dus het rechterlid zou \(14\) moeten zijn: tegenstrijdig.
Kernvraag van het vak: hoe zie je snel of er oplossingen zijn bij drie, of honderdduizend, vergelijkingen en onbekenden? (35:34)

Intuïtie: vectoren als pijlen (36:50)

Vage eerste definitie: een vector is "iets dat je kunt optellen en schalen". (37:13)
Karretje op een helling [bord, gereconstrueerd]: zwaartekracht \(F_z\) recht omlaag, ontbonden in \(F_{z\parallel}\) langs de helling en \(F_{z\perp}\) loodrecht erop; normaalkracht \(F_N\) even groot als \(F_{z\perp}\) maar tegengesteld; wrijving \(F_w\) langs de helling omhoog, iets kleiner dan \(F_{z\parallel}\). (37:58)
Krachten op één voorwerp tellen op tot één resulterende kracht; hier langs de helling omlaag, dus het karretje versnelt omlaag via \(\vec F=m\vec a\). (39:02)
Vectoren hebben een grootte en een richting. (41:44)
Een pijltje boven een vector mag, maar is niet nodig als je vooraf zegt wat elk symbool is; de docent laat het vaak weg. Het boek gebruikt vetgedrukte letters. (boek, §1.1) (41:10)
Ander voorbeeld: de uitrekking van een veer met een massa eraan is ook een vector. [bordinhoud onduidelijk ~43:24] (42:33)

Coördinaten en optellen in het vlak (44:43)

Kies een assenstelsel (oorsprong en richtingen); dan hoort bij elk punt en elke vector een rijtje coördinaten. (45:48)
Punten \((2,1)\) en \((1,3)\), ook te zien als pijlen vanuit de oorsprong; als krachten op een puntmassa [bord, gereconstrueerd] (47:45)

\[(2,1)+(1,3)=(2+1,\;1+3)=(3,4)\]
Optellen gaat coördinaatsgewijs, of meetkundig via de parallellogramregel (kop-staart): leg de staart van de ene pijl op de kop van de andere. Een vector mag je verschuiven; alleen grootte en richting tellen. (49:47)

Definitie van een vector (66:09)

Formeel worden de rijtjes zelf de vectoren; punten en pijlen zijn vanaf nu alleen nog een interpretatie. (68:13)
Definitie: een vector van lengte \(n\) is een rijtje van \(n\) reële getallen. \(\mathbb{R}^n\) is de verzameling van al die rijtjes: de \(n\)-dimensionale euclidische ruimte. Voorbeeld: \((7,-3,2,8,\pi)\in\mathbb{R}^5\), met \(\in\) voor "is element van". (68:23)
Optellen en schalen zijn per definitie coördinaatsgewijs: voor \(x=(x_1,\dots,x_n)\), \(y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n\) en \(c\in\mathbb{R}\) [bord, gereconstrueerd] (75:52)

\[x+y=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n),\qquad cx=(cx_1,\dots,cx_n)\]
Alleen vectoren van dezelfde lengte kun je optellen. Bij schalen is de één een getal en de ander een vector; er komt een vector uit. Voorbeelden [bord, gereconstrueerd] (71:51)

\[(7,-3,2,8,\pi)+(1,2,3,4,5)=(8,-1,5,12,\pi+5),\qquad 7\cdot(3,8)=(21,56)\]
"Lengte" heeft twee betekenissen: het aantal coördinaten, of de meetkundige lengte (vanaf het volgende college norm): \((1,2)\) heeft lengte \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\). (72:37)
Indices in plaats van letters, want \(n\) kan groot zijn: 4 in de relativiteitstheorie, 17 producten van een bedrijf, honderdduizenden variabelen bij data-analyse. De interpretatie is dus niet altijd meetkundig. (75:04)
Notatie hangt af van context: bij \((x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\) zijn de \(x_i\) getallen; bij \(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}^7\) zijn het drie vectoren met elk 7 coördinaten. (78:05)
Schrijf "\(x\in\mathbb{R}^n\)" om te zeggen wat voor object een symbool is. (80:03)
\(\mathbb{C}^n\) (rijtjes complexe getallen) kan ook. Gehele getallen gebruiken we niet: je moet door een schalingsfactor \(\neq0\) kunnen delen. (85:12)

Rekenregels (86:30)

Voor alle \(x,y,z\in\mathbb{R}^n\) en \(c,d\in\mathbb{R}\) [bord, gereconstrueerd]:

\((x+y)+z=x+(y+z)\) (87:09)
\(x+y=y+x\) (93:18)
\((c+d)x=cx+dx\), bijv. \(3x+5x=8x\) (93:51)
\(c(x+y)=cx+cy\) (94:31)
\(c(dx)=(cd)x\) (94:57)
\(0\cdot x=0\) en \(1\cdot x=x\) (96:52)
Het boek noemt ook \(x+0=x\) en \(x+(-x)=0\). (boek, §1.1)
Bewijs van de eerste regel door coördinaten uit te schrijven [bord, gereconstrueerd] (89:41)

\[(x+y)+z=\big((x_1+y_1)+z_1,\dots,(x_n+y_n)+z_n\big),\qquad x+(y+z)=\big(x_1+(y_1+z_1),\dots,x_n+(y_n+z_n)\big)\]

Elke coördinaat is gelijk omdat optellen van reële getallen associatief is, dus de vectoren zijn gelijk.
Deze regels gelden juist doordat optellen en schalen zo gedefinieerd zijn; nu zijn ze voor eens en altijd bewezen. (92:17)
Lees elke punt in context: in \(c(dx)=(cd)x\) is alleen de punt tussen \(c\) en \(d\) een product van getallen, de rest is schaling. In \(0\cdot x=0\) is links \(0\) een getal en rechts de nulvector \((0,\dots,0)\), ook \(\vec 0\). (95:17)

Evenwijdig en scalair veelvoud (98:42)

Schalen behoudt de richting, of keert die om bij een negatieve factor; dat wordt nu een definitie. (98:53)
Definitie: \(x,y\in\mathbb{R}^n\) zijn evenwijdig (parallel) als \(x\neq0\), \(y\neq0\) en er een \(c\in\mathbb{R}\) is met [bord, gereconstrueerd] (99:52)

\[x=c\,y\]
Dan is automatisch \(c\neq0\) (anders was \(x=0\)), dus ook \(y=\tfrac1c x\): de definitie is symmetrisch. (101:13)
Dezelfde richting als \(c>0\), tegengestelde richting als \(c<0\). (103:03)
\(x\) is een scalair veelvoud van \(y\) als \(x=cy\) voor een \(c\in\mathbb{R}\); hier mag \(x=0\), want \(0=0\cdot y\). (102:45)

Lineaire combinaties (103:48)

Met een assenstelsel is elk punt in de ruimte een som van veelvouden van de drie asrichtingen. (104:52)
Definitie: voor \(x_1,\dots,x_k\in\mathbb{R}^n\) en coëfficiënten \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\) is de lineaire combinatie [bord, gereconstrueerd] (105:42)

\[c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_kx_k\in\mathbb{R}^n\]

Let op: \(k\) is het aantal vectoren, \(n\) de lengte van elke vector.
Voorbeeld [bord, gereconstrueerd] (108:29)

\[2(1,2)+3(-1,5)+7(2,-1)=(2-3+14,\;4+15-7)=(13,12)\]

Meetkundig: schaal de drie pijlen en leg ze kop aan staart; je eindigt in \((13,12)\).

Standaardbasisvectoren (111:03)

\(e_i\) heeft een \(1\) op plek \(i\) en verder nullen. De betekenis hangt af van \(n\): \(e_1=(1,0)\) in \(\mathbb{R}^2\), maar \(e_1=(1,0,0)\) in \(\mathbb{R}^3\). Waarom ze "basis" heten, komt later. (111:11)
Elke vector is op precies één manier een lineaire combinatie van de \(e_i\), bijvoorbeeld (112:04)

\[(3,-4,7)=3e_1+(-4)e_2+7e_3\]

Span (113:09)

Definitie: de span (opspansel) van \(x_1,\dots,x_k\) is de verzameling van alle lineaire combinaties van die vectoren. [bord, gereconstrueerd] Het boek schrijft \(\mathrm{sp}(x_1,\dots,x_k)\). (boek, §1.1) (113:20)
In \(\mathbb{R}^3\): twee vectoren waarvan geen van beide een scalair veelvoud is van de andere, spannen een vlak op; een derde vector buiten dat vlak erbij geeft heel \(\mathbb{R}^3\). Twee evenwijdige vectoren spannen alleen een lijn op. (114:16)
Vraag voor later: hoe zie je aan een stel vectoren welke dimensie hun span heeft? (114:50)

4. Begrippen & definities

Vector (van lengte \(n\)): rijtje van \(n\) reële getallen.
\(\mathbb{R}^n\): verzameling van alle vectoren van lengte \(n\); de \(n\)-dimensionale euclidische ruimte.
Optellen en schalen: coördinaatsgewijs; schalen is een vector vermenigvuldigen met een reëel getal.
Nulvector: \((0,\dots,0)\in\mathbb{R}^n\), genoteerd als \(\vec 0\) of \(0\).
Scalair veelvoud: \(x=cy\) voor een \(c\in\mathbb{R}\).
Evenwijdig (parallel): \(x\neq0\), \(y\neq0\) en \(x=cy\) voor een \(c\in\mathbb{R}\); dezelfde richting als \(c>0\), tegengestelde als \(c<0\).
Lineaire combinatie: \(c_1x_1+\dots+c_kx_k\) met \(c_i\in\mathbb{R}\).
Standaardbasisvector \(e_i\): vector in \(\mathbb{R}^n\) met een \(1\) op plek \(i\) en verder nullen.
Span (opspansel): verzameling van alle lineaire combinaties van gegeven vectoren.
Lengte (norm): meetkundige lengte, bijv. \(\sqrt5\) voor \((1,2)\); niet te verwarren met het aantal coördinaten.

5. Benadrukt / waarschijnlijke tentamenstof

Tentamenstof

Eigenwaarden en eigenvectoren zijn het einddoel; alles in het vak werkt daarnaartoe. (30:47)
Een rustig begin betekent niet dat het een makkelijk vak is. (65:42)
"Lengte van een vector" op het tentamen betekent de meetkundige lengte (norm), niet het aantal coördinaten. (73:31)
Abstract met rijtjes kunnen werken, zonder meetkundige interpretatie. (89:13)
Rekenregels zelf kunnen bewijzen door coördinaten uit te schrijven. (89:41)
Formules nauwkeurig lezen: bepaal bij elk symbool en elke punt of het om een getal of een vector gaat. (95:56)
Wiskundig redeneren en bewijzen wordt serieus genomen. (07:08)

6. Oefenvragen

Los het stelsel \(x+2y=3\), \(2x-y=1\) op zoals in het college: druk \(y\) uit in \(x\) en vul in. Heeft het stelsel \(x+2y=3\), \(2x+4y=5\) een oplossing? Leg uit.
(a) Geef in de rekenregel \((c+d)x=cx+dx\) bij elke plus aan of het een optelling van getallen of van vectoren is. (b) Bewijs deze regel voor alle \(x\in\mathbb{R}^n\) en \(c,d\in\mathbb{R}\) door coördinaten uit te schrijven.
Zijn \((2,-4,6)\) en \((-1,2,-3)\) evenwijdig, en zo ja, met dezelfde of tegengestelde richting? Wat is hun span meetkundig? Is \((0,0,0)\) evenwijdig met \((1,2,3)\), en is het er een scalair veelvoud van?
Neem \(u=(1,0,-3)\) en \(v=(-1,2,1)\) in \(\mathbb{R}^3\). (a) Bereken \(w=2u+3v\), schrijf \(w\) als lineaire combinatie van \(e_1,e_2,e_3\) en bepaal de lengte van \(w\). (b) Ligt \((1,4,5)\) in de span van \(u\) en \(v\)? Wat is die span meetkundig, en wat is de span van \(u\), \(v\) en \((1,4,5)\)?

Antwoorden

Uit de tweede vergelijking volgt \(y=2x-1\); invullen in de eerste geeft \(x+4x-2=3\), dus \(x=1\) en \(y=1\). Het tweede stelsel heeft geen oplossing: het linkerlid van de tweede vergelijking is \(2\times\) dat van de eerste, dus het rechterlid zou \(6\) moeten zijn, niet \(5\).
(a) Links is \(c+d\) een optelling van getallen (\(c,d\in\mathbb{R}\)), rechts is \(cx+dx\) een optelling van vectoren (\(cx,dx\in\mathbb{R}^n\)). (b) Schrijf \(x=(x_1,\dots,x_n)\) uit; per coördinaat geldt de distributieve wet voor reële getallen:

\[(c+d)x=\big((c+d)x_1,\dots,(c+d)x_n\big)=(cx_1+dx_1,\dots,cx_n+dx_n)=(cx_1,\dots,cx_n)+(dx_1,\dots,dx_n)=cx+dx\]
Ja: beide zijn \(\neq0\) en \((2,-4,6)=-2\cdot(-1,2,-3)\) met \(c=-2<0\), dus tegengestelde richting. Omdat ze evenwijdig zijn, is hun span alleen een lijn door de oorsprong. \((0,0,0)\) is met niets evenwijdig (beide vectoren moeten \(\neq0\) zijn), maar is wel een scalair veelvoud van \((1,2,3)\), want \((0,0,0)=0\cdot(1,2,3)\).
(a) \(w=(2,0,-6)+(-3,6,3)=(-1,6,-3)=(-1)e_1+6e_2+(-3)e_3\). De lengte is de meetkundige lengte, niet het aantal coördinaten: met Pythagoras, net als \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\) voor \((1,2)\), is die \(\sqrt{1+36+9}=\sqrt{46}\). (b) \(au+bv=(a-b,\,2b,\,-3a+b)\); gelijk stellen aan \((1,4,5)\) geeft \(b=2\) en \(a=3\), maar dan is de derde coördinaat \(-9+2=-7\neq5\). Dus nee. Geen van beide is een scalair veelvoud van de andere (\(v=cu\) kan niet vanwege de tweede coördinaat, en \(u=cv\) geeft \(c=0\), dus \(u=0\)), dus de span van \(u\) en \(v\) is een vlak door de oorsprong. \((1,4,5)\) ligt buiten dat vlak, dus \(u\), \(v\) en \((1,4,5)\) spannen heel \(\mathbb{R}^3\) op.

7. Onduidelijke stukken om na te kijken in de opname

~10:49: zaalcodes van de werkcolleges (B1017, BM126) slecht verstaanbaar; controleer het rooster.
~24:00–25:50: geen audio (microfoon stond uit); een studentvraag en het begin van het antwoord ontbreken.
~28:39: symbool voor de traagheidsmomenten onduidelijk (klinkt als "L1, L2, L3"; mogelijk \(I\) of \(\lambda\)).
~42:33–44:27: veervoorbeeld; onduidelijk welke vector en formule precies op het bord stonden.
~101:05: "Ik bedoel, y ongelijk aan 0": onduidelijk welke correctie in de definitie van evenwijdig op het bord werd gemaakt.
~107:00: docent zegt "gehele getalletjes" voor de coëfficiënten, maar bedoelt reële getallen (\(c_i\in\mathbb{R}\)).